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1、1.3.2球的体积和表面积【选题明细表】 知识点、方法题号球的表面积、体积1,3,7,9与球有关的“切”“接”问题2,4,5,6,8,10,111.两个球的表面积之差为48,它们的大圆周长之和为12,这两个球的半径之差为(C)(A)4(B)3(C)2(D)1解析:令S球1=4R2,S球2=4r2,由题可知4R2-4r2=48, 又2R+2r=12, 得R-r=2.2.(2018河南平顶山高一期末)长方体ABCDA1B1C1D1的八个顶点落在球O的表面上,已知AB=3,AD=4,BB1=5,那么球O的表面积为(D)(A)25 (B)200 (C)100 (D)50解析:由长方体的体对角线为外接球
2、的直径,设球半径为r,则2r=5,则r=,4r2=4()2=50.3.已知球的两个平行截面的面积分别为5和8,它们位于球心的同一侧,且相距为1,那么这个球的半径是(B)(A)4(B)3(C)2(D)5解析:BD=,AC=2,CD=OD-OC=-=-=1.解得R=3.4.圆柱形容器内盛有高度为8 cm的水,若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后,水恰好淹没最上面的球(如图),则球的半径是(D)(A) cm(B)2 cm(C)3 cm(D)4 cm解析:设球的半径为r,则V水=8r2,V球=4r3,加入小球后,液面高度为6r,所以r26r=8r2+4r3,解得r=4.故选D.5.已知
3、圆柱的高为2,它的两个底面的圆周在直径为4的同一个球的球面上,则该圆柱的体积是(D)(A)(B)(C)(D)6解析:如图所示,圆柱的高为2,它的两个底面的圆周在直径为4的同一个球的球面上,所以该圆柱底面圆周半径为r=,所以该圆柱的体积为V=Sh=()22=6.故选D.6.(2018湖南郴州二模)底面为正方形,顶点在底面的投影为底面中心的棱锥PABCD的五个顶点在同一球面上,若该棱锥的底面边长为4,侧棱长为2,则这个球的表面积为.解析:正四棱锥PABCD外接球的球心在它的高PO1上,记为O,OP=OA=R,PO1=4,OO1=4-R,或OO1=R-4(此时O在PO1的延长线上).在RtAO1O中
4、,R2=8+(R-4)2得R=3,所以球的表面积S=36.答案:367.如图所示(单位:cm)四边形ABCD是直角梯形,求图中阴影部分绕AB旋转一周所成几何体的表面积和体积.解:S球=422=8(cm2),S圆台侧=(2+5)=35(cm2),S圆台下底=52=25(cm2),即该几何体的表面积为8+35+25=68(cm2).又V圆台=(22+25+52)4=52(cm3),V半球=23=(cm3).所以该几何体的体积为V圆台-V半球=52-=(cm3).8.(2018南昌八一中学高一测试)一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切,已知这个球的体积是,那么这个三棱柱的体积是(D)(A)
5、96(B)16(C)24(D)48解析:设球的半径为R,由R3=,得R=2.所以正三棱柱的高为h=4,设其底面边长为a,得a=2,a=4.所以V=(4)24=48.9.某街心花园有许多钢球(钢的密度为7.9 g/cm3),每个钢球重145 kg,并且外径等于50 cm,试根据以上数据,判断钢球是空心的还是实心的.如果是空心的,请你计算出它的内径(取3.14,结果精确到1 cm,2.24311.240 98).解:由于外径为50 cm的钢球的质量为7.9()3516 792(g),街心花园中钢球的质量为145 000 g,而145 000516 792,所以钢球是空心的.设球的内径为2x cm,
6、那么球的质量为7.9()3-x3=145 000.解得x311 240.98,所以x22.4,2x45(cm).即钢球是空心的,其内径约为45 cm.10.(2018陕西咸阳二模)已知一个三棱锥的所有棱长均为,求该三棱锥的内切球的体积.解:如图,AE平面BCD,设O为正四面体A-BCD内切球的球心,则OE为内切球的半径,设OA=OB=R,又正四面体ABCD的棱长为,在等边BCD中,BE=,所以AE=.由OB2=OE2+BE2,得R2=(-R)2+,解得R=,所以OE=AE-R=,即内切球的半径是,所以内切球的体积为()3=.11.据说伟大的阿基米德死了以后,敌军将领马塞拉斯给他建了一块墓碑,在墓碑上刻了一个如图所示的图案,图案中球的直径与圆柱底面的直径和圆柱的高相等,圆锥的顶点为圆柱上底面的圆心,圆锥的底面是圆柱的下底面.试计算出图形中圆锥、球、圆柱的体积比.解:设圆柱的底面半径为r,高为h,则V圆柱=r2h,由已知知圆锥的底面半径为r,高为h,所以V圆锥=r2h,球的半径为r,所以V球=r3.又h=2r,所以V圆锥V球V圆柱=(r2h)(r3)(r2h)=(r3)(r3)(2r3)=123.5