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1、1.3.2球的体积和外表积选题明细表知识点、方法题号球的外表积、体积1,2,6,8,11,12与球有关的三视图4,7与球有关的切接问题3,5,9,10根底稳固1.两个球的体积之比为827,那么这两个球的外表积之比为(B)(A)23 (B)49(C) (D)解析:(r3)(R3)=r3R3=827,所以rR=23,所以S1S2=r2R2=49.2.一个正方体的外表积与一个球的外表积相等,那么它们的体积比是(A)(A) (B) (C) (D)解析:设正方体的边长为a,球的半径为R,那么6a2=4R2.那么=,那么=()3=.应选A.3.(2022河北保定高一期末)棱长为2的正方体的内切球的体积为(
2、C)(A)4 (B)16 (C) (D)解析:由正方体的性质可得正方体的内切球的半径R=a(a是边长),正方体的边长为2,可得R=1.球的体积V=R3=.应选C.4.(2022合肥高一期末)某几何体的三视图如下图,其中正视图和侧视图都由半圆及矩形组成,俯视图由正方形及其内切圆组成,那么该几何体的外表积等于(D)(A)48+8(B)48+4(C)64+8(D)64+4解析:由三视图可知,该几何体由上下两局部组成,下面是一个底面边长为4的正方形,高为2的直四棱柱;上面是一个大圆与四棱柱的底面相切的半球.所以S外表积=44+216+44-22+222=64+4.应选D.5.(2022云南玉溪一中高二
3、期末)?九章算术?中,将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马;将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑.假设三棱锥PABC为鳖臑,PA平面ABC, PA=AB=2,AC=2,三棱锥PABC的四个顶点都在球O的球面上,那么球O的外表积为(A)(A)12 (B)16 (C)20 (D)24解析:由题意,PA平面ABC,PA=AB=2,AC=2,所以平面ABC是直角三角形,补形底面为长方形.所以球心到底面长方形外接圆圆心的距离为1,底面长方形的外接圆的半径r=.所以R2=r2+1,即R=.所以球O的外表积S=4R2=12.应选A.6.将一钢球放入底面半径为3 cm的圆柱形玻璃容器中,
4、水面升高4 cm,那么钢球的半径是.解析:圆柱形玻璃容器中水面升高4 cm,那么钢球的体积为V=324 =36,即有R3=36,所以R=3.答案:3 cm7.某几何体的三视图如下图,那么该几何体的体积为.解析:由三视图可知几何体为组合体,上方是半径为1的球,下方是长方体,其底面是边长为2的正方形,侧棱长为4,故其体积V= 13+224=16+.答案:16+8.某组合体的直观图如下图,它的中间为圆柱形,左右两端均为半球形,假设图中r=1,l=3,试求该组合体的外表积和体积.解:该组合体的外表积S=4r2+2rl=412+213=10,该组合体的体积V=r3+r2l=13+123=.能力提升9.球
5、内切于圆柱,那么此圆柱的外表积与球外表积之比是(C)(A)11 (B)21 (C)32 (D)43解析:设球的半径为R,那么圆柱的底面半径为R,高为2R,所以S圆柱=2R2R+2R2=6R2,S球=4R2.所以此圆柱的外表积与球外表积之比是=.应选C.10.(2022南昌高二八校联考)圆锥的母线长为2,高为,那么该圆锥的外接球的外表积是.解析:因为圆锥的母线长为2,高为,所以该圆锥的底面半径为r=1,由题意,圆锥轴截面的顶角为60,设该圆锥的底面圆心为O,球O的半径为R,由勾股定理可得R2=(-R)2+12,解得R=,所以球O的外表积为4R2=4()2=.答案:11.如下图,半径为R的半圆内的
6、阴影局部以直径AB所在直线为轴,旋转一周得到一几何体,求该几何体的外表积.(其中BAC=30)解:如下图,过C作CO1AB于O1.在半圆中可得BCA=90,BAC=30,AB=2R,所以AC=R,BC=R,CO1=R,所以S球=4R2,=RR=R2,=RR=R2,所以S几何体表=S球+=R2+R2=R2.故旋转所得几何体的外表积为R2.探究创新12.如下图,一个圆锥形的空杯子上放着一个直径为8 cm的半球形的冰淇淋,请你设计一种这样的圆锥形杯子(杯口直径等于半球形的冰淇淋的直径,杯子壁厚忽略不计),使冰淇淋融化后不会溢出杯子,怎样设计最省材料?解:设圆锥形杯子的高为h cm,要使冰淇淋融化后不会溢出杯子,那么必须V圆锥V半球,而V半球=r3=43,V圆锥=Sh=r2h=42h.依题意:42h43,解得h8,即当圆锥形杯子杯口直径为8 cm,高大于或等于8 cm时,冰淇淋融化后不会溢出杯子.又因为S圆锥侧=rl=r,当圆锥高取最小值8时,S圆锥侧最小,所以高为8 cm时,制造的杯子最省材料.