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1、核心素养测评 四十空间中的平行关系(30分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.如果AB,BC,CD是不在同一平面内的三条线段,则经过它们中点的平面和直线AC的位置关系是()A.平行B.相交C.AC在此平面内D.平行或相交【解析】选A.把这三条线段放在正方体内如图,显然ACEF,AC平面EFG.EF平面EFG,故AC平面EFG.2.给出下列关于互不相同的直线l,m,n和平面,的三个命题:若l与m为异面直线,l,m,则;若,l,m,则lm;若=l,=m,=n,l,则mn.其中真命题的个数为()A.3B.2C.1D.0【解析】选C.中当与不平行时,也可能存在符合题意的l,m.中l与m也可
2、能异面.中lm,同理ln,则mn,正确.3.如图是正方体的平面展开图,则在这个正方体中,下列判断正确的是()A.平面BME平面ACNB.AFCNC.BM平面EFDD.BE与AN相交【解析】选A.作出如图所示的正方体.易知ANBM,ACEM,所以AN平面BEM,AC平面BEM,又ANAC=A,所以平面ACN平面BEM.4.在三棱锥P-ABC中,点D在PA上,且PD=DA,过点D作平行于底面ABC的平面,交PB,PC于点E,F,若ABC的面积为9,则DEF的面积是()A.1B.2C.4D.【解析】选A.由于平面DEF底面ABC,因此DEAB,DFAC,EFBC,所以=,所以DEFABC,所以=,而
3、SABC=9,所以SDEF=1.5.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为棱AB,CC1的中点, 在平面ADD1A1内且与平面D1EF平行的直线()A.不存在B.有1条C.有2条D.有无数条【解析】选D.由题设知平面ADD1A1与平面D1EF有公共点D1,由平面的基本性质中的公理知必有过该点的公共直线l,在平面ADD1A1内与l平行的线有无数条,且它们都不在平面D1EF内,由线面平行的判定定理知它们都与平面D1EF平行.二、填空题(每小题5分,共15分)6.如图所示,CD,AB均与平面EFGH平行,E,F,G,H分别在BD,BC,AC,AD上,且CDAB.则四边形EFGH的形
4、状为_.【解析】因为CD平面EFGH,而平面EFGH平面BCD=EF,所以CDEF.同理HGCD,所以EFHG.同理HEGF,所以四边形EFGH为平行四边形.又因为CDAB,所以HEEF,所以平行四边形EFGH为矩形.答案:矩形7.已知平面平面,P是,外一点,过点P的直线m与,分别交于A,C,过点P的直线n与,分别交于B,D且PA=6,AC=9,PD=8,则BD的长为_.【解析】根据题意可得到如图两种情况:可求出BD的长分别为或24.答案:24或8.,是两个平面,m,n是两条直线,有下列四个命题:世纪金榜导学号如果mn,m,n,那么;如果m,n,那么mn;如果,m,那么m;如果mn,那么m与所
5、成的角和n与所成的角相等.其中正确的命题有_.(填写所有正确命题的序号)【解析】当mn,m,n时,两个平面的位置关系不确定,故错误,经判断知均正确,故正确命题为.答案:三、解答题(每小题10分,共20分)9.如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,点M,N分别为线段A1B,AC1的中点.世纪金榜导学号求证:MN平面BB1C1C.【证明】如图,连接A1C.在直三棱柱ABC-A1B1C1中,侧面AA1C1C为平行四边形.又因为N为线段AC1的中点,所以A1C与AC1相交于点N,即A1C经过点N,且N为线段A1C的中点.因为M为线段A1B的中点,所以MNBC.又因为MN平面BB1C1C,BC平面BB
6、1C1C,所以MN平面BB1C1C.10.如图所示的一块木料中,棱BC平行于平面ABCD.世纪金榜导学号(1)要经过平面ABCD内的一点P和棱BC将木料锯开,应怎样画线?(2)所画的线与平面ABCD是什么位置关系?并证明你的结论.【解析】(1)过点P作BC的平行线,交AB,CD于点E,F,连接BE,CF;作图如下:(2)EF平面ABCD.证明如下:易知BE,CF与平面ABCD相交,因为BC平面ABCD,又因为平面BCCB平面ABCD=BC,所以BCBC,因为EFBC,所以EFBC,又因为EF平面ABCD,BC平面ABCD,所以EF平面ABCD.(15分钟35分)1.(5分)(多选)下列四个正方
7、体图形中,A,B为正方体的两个顶点,M,N,P分别为其所在棱的中点,能得出AB平面MNP的图形的选项是()【解析】选AD.A中易知NPAA,MNAB,NPMN=N,AAAB=A,所以平面MNP平面AAB,又AB平面AAB,可得出AB平面MNP(如图).D中,NPAB,NP平面MNP,能得出AB平面MNP.2.(5分)如图所示,ABCD-A1B1C1D1是棱长为a的正方体,M,N分别是下底面的棱A1B1,B1C1的中点,P是上底面的棱AD上的一点,AP=,过P,M,N的平面交上底面于PQ,Q在CD上,则PQ=_.【解析】因为平面ABCD平面A1B1C1D1,所以MNPQ.因为M,N分别是A1B1
8、,B1C1的中点,AP=,所以CQ=,从而DP=DQ=,所以PQ=a.答案:a3.(5分)空间四边形ABCD的两条对棱AC,BD的长分别为5和4,则平行于两条对棱的截面四边形EFGH在平移过程中,周长的取值范围是_.【解析】设=k,所以=1-k,所以GH=5k,EH=4(1-k),所以周长=8+2k.又因为0k1,所以周长的范围为(8,10).答案:(8,10)4.(10分)如图,四边形ABCD是平行四边形,点P是平面ABCD外一点,M是PC的中点,在DM上取一点G,过G和AP作平面GHAP交平面BDM于GH.世纪金榜导学号求证:APGH.【证明】如图,连接AC交BD于O,连接MO,因为四边形
9、ABCD是平行四边形,所以O是AC中点,又M是PC的中点,所以APOM,则有AP平面BMD.因为平面PAHG平面BMD=GH,所以APGH.5.(10分)如图,四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形.世纪金榜导学号(1)证明:平面A1BD平面CD1B1.(2)若平面ABCD平面B1D1C=直线l,证明:B1D1l.【证明】(1)由题设知BB1DD1且BB1=DD1,所以四边形BB1D1D是平行四边形,所以BDB1D1.又BD平面CD1B1,B1D1平面CD1B1,所以BD平面CD1B1.因为A1D1B1C1BC且A1D1=B1C1=BC,所以四边形A1BCD1是平行四边形,所以A1BD1C.又A1B平面CD1B1,D1C平面CD1B1,所以A1B平面CD1B1.又因为BDA1B=B,BD,A1B平面A1BD,所以平面A1BD平面CD1B1.(2)由(1)知平面A1BD平面CD1B1,又平面ABCD平面B1D1C=直线l,平面ABCD平面A1BD=直线BD,所以直线l直线BD,在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,四边形BDD1B1为平行四边形,所以B1D1BD,所以B1D1l.- 8 -