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1、第1章数学模型本讲稿第一页，共二十四页绪论绪论 把把实际问题实际问题进行数学描述进行数学描述,建立一组建立一组数学表达式数学表达式，称，称数学模型数学模型 寻找一种寻找一种数值计算方法数值计算方法和相应的和相应的计算机程序计算机程序 上机上机求解求解 1.最优化问题最优化问题最优化：用最少的付出获得最大的受益。最优化：用最少的付出获得最大的受益。对于工程设计问题，即寻求设计参数的一组最佳值，使其既满足各种设计标对于工程设计问题，即寻求设计参数的一组最佳值，使其既满足各种设计标准和要求，又使一项或多项技术经济指标达到极值。分准和要求，又使一项或多项技术经济指标达到极值。分直观最优化：没有明确的量
2、化标准直观最优化：没有明确的量化标准 数学最优化：即极值问题数学最优化：即极值问题 2.工程最优化问题的求解的三个步骤工程最优化问题的求解的三个步骤本讲稿第二页，共二十四页第第1章章 数学模型数学模型用长用长3m的薄板的薄板做一无盖做一无盖方形方形货箱，货箱，n要求容积要求容积最大最大。3mxn于是该问题可描述为于是该问题可描述为n求变量：求变量：xn使函数使函数V(x)=x(32x)2极大化极大化则货箱的容积为则货箱的容积为 V(x)=x(3-2x)2 解解:设四角裁去的设四角裁去的小方块小方块的的边长为边长为 x1.简例简例例例1-1 板金下料问题板金下料问题本讲稿第三页，共二十四页例例1
3、-2 生产计划问题生产计划问题n某厂生产甲乙两种产品某厂生产甲乙两种产品n每件产品的消耗和利润，以及每天的生产条件如下表所示每件产品的消耗和利润，以及每天的生产条件如下表所示n要求给出每天的生产计划，使得利润最大化要求给出每天的生产计划，使得利润最大化产品材料/kg工时/h用电/kw.h利润/元甲93460乙4105120供应量360300200？本讲稿第四页，共二十四页使函数使函数f(x1,x2)=60 x1+120 x2极大化极大化满足条件满足条件 设每天生产甲产品设每天生产甲产品 x1 件，件，乙产品乙产品 x2 件，于是件，于是 该生产计划问题可归结如下数学模型该生产计划问题可归结如下
4、数学模型求变量求变量 x1，x2本讲稿第五页，共二十四页轴的类别 规格：长度/m 每台机床所需件数 ABC3.12.11.2124 三种轴件的规格和需求量如下三种轴件的规格和需求量如下某厂生产某厂生产同一同一种型号的机床，每台机床需要种型号的机床，每台机床需要三种轴件三种轴件,每种轴件都每种轴件都用用5.5m长的同一种圆钢下料。现计划生产这种机床长的同一种圆钢下料。现计划生产这种机床100台台，问，问最少最少需需要要多少根多少根圆钢？圆钢？例例1-3 最佳下料问题最佳下料问题本讲稿第六页，共二十四页分析可知，长分析可知，长5.5m的圆钢截成的圆钢截成A、B、C三种坯料三种坯料,有下表所列的五有
5、下表所列的五种下料方案种下料方案一二三四五需求量A(3.1)11000100B(2.1)10210200C(1.2)02124400料头/m0.300.110.7设按第设按第i（i=1,2,5）种截法）种截法下料的下料的圆钢根数圆钢根数为为xi，则该问题的数学模型如下：则该问题的数学模型如下：求变量求变量x1,x2,x3,x4,x5极小化极小化f=x1+x2+x3+x4+x5满足条件满足条件x1+x2100 x1+2x3+x42002x2+x3+2x4+4x5400 x1,x2,x3,x4,x50本讲稿第七页，共二十四页2.2.数学模型的一般形式数学模型的一般形式 求设计变量求设计变量极小化函
6、数极小化函数满足约束条件满足约束条件其中：其中：称称不等式约束条件不等式约束条件，简称，简称不等式约束不等式约束；称称等式约束条件等式约束条件，简，简称称等式约束等式约束。最优化设计的数学模型由最优化设计的数学模型由设计变量设计变量、目标函数目标函数和和约束条件约束条件三部分组三部分组成，其一般形式如下：成，其一般形式如下：本讲稿第八页，共二十四页用用X=x1,x2,xnT表示表示设计变量设计变量min表示表示极小化极小化s.t.表示表示满足于满足于数学模型可数学模型可写为写为向量形式向量形式：本讲稿第九页，共二十四页如例如例1-2的一般形式为的一般形式为本讲稿第十页，共二十四页2.1 数学模
7、型的组成数学模型的组成n设计变量是一组待定的设计变量是一组待定的未知数、未知数、或或特征主参数特征主参数n以设计变量为坐标轴所成空间称以设计变量为坐标轴所成空间称设计空间设计空间n 设计空间中的点称设计空间中的点称设计点设计点n一个设计点代表一个一个设计点代表一个设计方案设计方案 用用 X X=x x1 1,x x2 2,x xn n T T 代表一个代表一个设计点设计点,同时它也代表一个同时它也代表一个向量向量（矢量矢量），例），例224（4，2）x1x22.1.1 设计变量设计变量本讲稿第十一页，共二十四页最优化问题的目的：最优化问题的目的：在设计空间中在设计空间中无穷无穷多个设计点中，找
8、到一个既满足多个设计点中，找到一个既满足所有约束条件，又使目标函数取得极小值的点，称所有约束条件，又使目标函数取得极小值的点，称最最优点优点。它所代表的解称。它所代表的解称最优解最优解。2.1.2 约束条件约束条件将将设设计计的的要要求求和和限限制制表表示示成成设设计计变变量量的的函函数数，构成的构成的 gu(X)0(u=1,2,p)hv(X)=0(v=1,2,m)称称约束条件约束条件，简称，简称约束约束。本讲稿第十二页，共二十四页把不等式约束中的把不等式约束中的不等号不等号改成改成等号等号后后得到得到的方程称的方程称约束方程约束方程（边界）（边界）其图形相当于一条其图形相当于一条约束边界约束
9、边界，把设计，把设计空间空间一分为二一分为二，一部分，一部分满足约束满足约束，另一部分另一部分不满足约束不满足约束。如右图所示。如右图所示。由由约束边界约束边界围成的满足所有约束的区域围成的满足所有约束的区域，称最优化问题的，称最优化问题的可行域可行域.如如9040X1X2x1x2可行域可行域g 5=0g 4=0g 3=0g 2=0g 1=0本讲稿第十三页，共二十四页2.2.3 目标函数目标函数令函数令函数f(X)等于任意等于任意常数常数cf(X)=cf(X)=c 目标函数是衡量设计方案目标函数是衡量设计方案好坏、优劣好坏、优劣的的定量定量标准。标准。一般选择设计问题的某项一般选择设计问题的某
10、项技术经济指标作技术经济指标作为目标函数为目标函数。如。如利润利润、成本成本、功率功率、重量重量等。等。由此得到的图形称目标函数的由此得到的图形称目标函数的等值线（面）等值线（面）。本讲稿第十四页，共二十四页2.3 最优化问题的图解法最优化问题的图解法对对简单的简单的最优化问题，可以用作图法，得到近似最优点。最优化问题，可以用作图法，得到近似最优点。x220406080100 x120408060100X*=20,24Tf*=-4080例例1-2的图解过程如图所示的图解过程如图所示本讲稿第十五页，共二十四页1）确定）确定设计空间设计空间；2）画出由约束边界围成的）画出由约束边界围成的约束约束可
11、行域可行域；3）作出两条目标函数的）作出两条目标函数的等值线等值线；4）判断并判断并确定确定最优点最优点。最优点最优点：位于位于目标函数的目标函数的下降方向上，下降方向上，等值线等值线与与可行域可行域的的最最后后一个一个交点交点或或切点切点上。上。最优点的判断方法最优点的判断方法：图解法的步骤是图解法的步骤是：x220406080100 x120 408060100本讲稿第十六页，共二十四页2.4 下降迭代解法下降迭代解法按照某一按照某一迭代算式迭代算式，从任意一个，从任意一个初始点初始点X0开始，开始，按某一递推的按某一递推的格式格式产生出如下产生出如下点列点列X0，X1，X2，Xk，Xk+
12、1，则构成此点列的则构成此点列的算式和递推迭代格式算式和递推迭代格式就成为一种就成为一种下降迭代算法下降迭代算法。必有必有若对应的函数值有如下的关系若对应的函数值有如下的关系本讲稿第十七页，共二十四页2.4.1下降迭代算法的基本格式下降迭代算法的基本格式 上述点的产生一般采用如下上述点的产生一般采用如下迭代算式迭代算式 用以求最优步长因子的数值算法称用以求最优步长因子的数值算法称一维搜索法一维搜索法 下降迭代算法的下降迭代算法的基本迭代格式基本迭代格式可归纳如下：可归纳如下：称称搜索方向搜索方向称称最优步长因子最优步长因子其中其中本讲稿第十八页，共二十四页 （1 1）给定）给定初始点初始点 和
13、和收敛精度收敛精度 ，并置，并置计数单元计数单元 ；（2）选取选取搜索方向搜索方向 ；（3）确定确定最优步长因子最优步长因子，计算得到，计算得到新的迭代点新的迭代点；否则，以它作为新的起点，即令否则，以它作为新的起点，即令 转（转（2 2）进行进行下一轮迭代下一轮迭代。（4）终止判断终止判断：若点若点满足收敛精度满足收敛精度，则以它为，则以它为最优点最优点，输出，输出X*=Xk+1，并，并终止迭代终止迭代；下降迭代算法的计算框图如下：下降迭代算法的计算框图如下：本讲稿第十九页，共二十四页给定初始点、收敛精度、置给定初始点、收敛精度、置k0选择搜索方向选择搜索方向Sk终止准则令令X*=Xk+1f
14、*=f(Xk+1)输出输出X*、f*终止计算终止计算k=k+1下降迭代解法的程序框图下降迭代解法的程序框图一维搜索一维搜索得得 和和 本讲稿第二十页，共二十四页（1）选择合适的）选择合适的搜索方向搜索方向。（2）确定）确定最优步长因子最优步长因子。（3）给定适当的）给定适当的终止判断准则终止判断准则。不难看出，要不难看出，要构成构成一个一个下降迭代算法下降迭代算法必须解决以下三个问必须解决以下三个问题：题：本讲稿第二十一页，共二十四页2.4.2 终止准则终止准则迭迭代代点点向向极极小小点点的的逼逼近近速速度度是是逐逐渐渐变变慢慢的的，越越接接近近极极小小点点，相相邻邻迭迭代代点间的点间的距离越
15、近距离越近。一般取收敛精度一般取收敛精度 。（1）点距准则点距准则时，令时，令，输出，输出和和,终止迭代。终止迭代。当当本讲稿第二十二页，共二十四页（2）值差准则）值差准则或或则则令令,输输出出和和终止迭代。终止迭代。因此，也可将因此，也可将相邻迭代点的函数值之差相邻迭代点的函数值之差作为判断近似最优解作为判断近似最优解的准则，这就是的准则，这就是值差准则值差准则。即如果有。即如果有在迭代点向极小点逼近的过程中，不仅相邻迭代点间的距离逐在迭代点向极小点逼近的过程中，不仅相邻迭代点间的距离逐渐缩渐缩短，它们的短，它们的函数值也越来越接近函数值也越来越接近。本讲稿第二十三页，共二十四页多元函数在某点取得极值的多元函数在某点取得极值的必要条件必要条件是函数在是函数在该点的该点的梯度梯度等于等于零零。由此构成如下由此构成如下梯度梯度终止准则。终止准则。（3）梯度准则）梯度准则令令，输出，输出和和,终止迭代。终止迭代。本讲稿第二十四页，共二十四页