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1、积分变换讲稿本讲稿第一页，共二十二页例1 求单位阶跃函数根据拉氏变换的定义,有这个积分在Re(s)0时收敛,而且有本讲稿第二页，共二十二页例2 求指数函数f(t)=ekt的拉氏变换(k为实数).根据(2.1)式,有这个积分在Re(s)k时收敛,而且有其实k为复数时上式也成立,只是收敛区间为 Re(s)Re(k)本讲稿第三页，共二十二页拉氏变换的存在定理 若函数f(t)满足:1,在t0的任一有限区间上分段连续2,当t时,f(t)的增长速度不超过某一指数函数,即存在常数M0及c0,使得|f(t)|Mect,0tc上一定存在,右端的积分在Re(s)c1c上绝对收敛而且一致收敛,并且在Re(s)c的半
2、平面内,F(s)为解析函数.本讲稿第四页，共二十二页MMectf(t)tO本讲稿第五页，共二十二页例3 求 f(t)=sinkt (k为实数)的拉氏变换本讲稿第六页，共二十二页同理可得本讲稿第七页，共二十二页例4 求幂函数f(t)=tm(常数m-1)的拉氏变换.为求此积分,若令st=u,s为右半平面内任一复数,则得到复数的积分变量u.因此,可先考虑积分本讲稿第八页，共二十二页积分路线是OB直线段,B对应着sR=rRcosq+jrRsinq,A对应着rRcosq,取一很小正数,则C对应s=rcosq+jrsinq,D对应rcosq.考察R,的情况.qaODCAt(实轴)虚轴Bv本讲稿第九页，共二
3、十二页根据柯西积分定理,有本讲稿第十页，共二十二页本讲稿第十一页，共二十二页本讲稿第十二页，共二十二页同理本讲稿第十三页，共二十二页本讲稿第十四页，共二十二页例5 求周期性三角波且f(t+2b)=f(t)的拉氏变换bOb2b3b4btf(t)本讲稿第十五页，共二十二页本讲稿第十六页，共二十二页本讲稿第十七页，共二十二页本讲稿第十八页，共二十二页例6 求单位脉冲函数d(t)的拉氏变换.本讲稿第十九页，共二十二页例7 求函数f(t)=e-btd(t)-be-btu(t)(b0)的拉氏变换.本讲稿第二十页，共二十二页在今后的实际工作中,我们并不要求用广义积分的方法来求函数的拉氏变换,有现成的拉氏变换表可查,就如同使用三角函数表,对数表及积分表一样.本书已将工程实际中常遇到的一些函数及其拉氏变换列于附录II中,以备查询.本讲稿第二十一页，共二十二页例8 求sin 2t sin 3t的拉氏变换本讲稿第二十二页，共二十二页