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1、高考数学一轮总复习 第十一章 直接证明与间接证明课件本讲稿第一页，共四十三页第十一章复数、算法、推理与证明第十一章复数、算法、推理与证明第第4节直接证明与间接证明节直接证明与间接证明本讲稿第二页，共四十三页1了解直接证明的两种基本方法分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程和特点2了解反证法的思考过程和特点本讲稿第三页，共四十三页要点梳理1直接证明内容综合法分析法定义从_出发，经过逐步的推理，最后达到_的方法，是一种从_推导到_的思维方法从_出发，一步一步寻求结论成立的_，最后达到题设的已知条件或已被证明的事实的方法，是一种从_追溯到_ _的思维方法已知条件待证结论原因结果待证结论充分条件
2、结果产生这一结果的原因本讲稿第四页，共四十三页特点从“_”看“_”，逐步推向“_”，其逐步推理，实际上是要寻找它的_从“_”看“_”，逐步靠拢“_”，其逐步推理，实际上是要寻找它的_步骤的符号表示P0(已)P1P2P3P4(结论)B(结论)B1B2BnA(已知)已知可知未知必要条件未知需知已知充分条件本讲稿第五页，共四十三页质疑探究：综合法和分析法有什么区别与联系？提示：(1)分析法的特点是：从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”，其逐步推理，实际上是寻求它成立的充分条件(2)综合法的特点是：从“已知”看“可知”，逐步推向“未知”，其逐步推理，实际上是寻找它成立的必要条件(3)分析法易于探索解
3、题思路，综合法易于过程表述，在应用中视具体情况择优选之本讲稿第六页，共四十三页2间接证明反证法定义要证明某一结论Q是正确的，但不直接证明，而是先去假设_(即Q的反面非Q是正确的)，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设非Q是错误的，从而断定结论Q是正确的，这种证明方法叫做反证法证明步骤(1)分清命题的条件和结论；(2)假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立；(3)由假设出发进行正确的推理，直到推出矛盾为止；(4)由矛盾断言假设不成立，从而肯定原命题的结论成立Q不成立本讲稿第七页，共四十三页适用范围(1)否定性命题；(2)命题的结论中出现“至少”、“至多”、“惟一”等词语的；(3)当命题
4、成立非常明显，而要直接证明所用的理论太少，且不容易说明，而其逆否命题又是非常容易证明的；(4)要讨论的情况很复杂，而反面情况很少.本讲稿第八页，共四十三页本讲稿第九页，共四十三页解析因为a2b21a2b20(a21)(b21)0.答案D本讲稿第十页，共四十三页3(2014山东高考)用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x2axb0至少有一个实根”时，要做的假设是()A方程x2axb0没有实根B方程x2axb0至多有一个实根C方程x2axb0至多有两个实根D方程x2axb0恰好有两个实根解析“方程x2axb0至少有一个实根”等价于“方程x2axb0有一个实根或两个实根”，所以该命题的否定是“方
5、程x2axb0没有实根”答案A本讲稿第十一页，共四十三页答案3本讲稿第十二页，共四十三页答案b本讲稿第十三页，共四十三页本讲稿第十四页，共四十三页思路点拨(1)取特殊值代入计算即可证明；(2)对照新定义中的3个条件，逐一代入验证，只有满足所有条件，才能得出“是理想函数”的结论，否则得出“不是理想函数”的结论本讲稿第十五页，共四十三页本讲稿第十六页，共四十三页本讲稿第十七页，共四十三页本讲稿第十八页，共四十三页拓展提高用综合法证题是从已知条件出发，逐步推向结论，综合法的适用范围：(1)定义明确的问题，如证明函数的单调性、奇偶性，求证无条件的等式或不等式(2)已知条件明确，并且容易通过分析和应用条
6、件逐步逼近结论的题型在使用综合法证明时，易出现的错误是因果关系不明确，逻辑表达混乱本讲稿第十九页，共四十三页本讲稿第二十页，共四十三页本讲稿第二十一页，共四十三页本讲稿第二十二页，共四十三页本讲稿第二十三页，共四十三页思路点拨本题若使用综合法，不易寻求证题思路可考虑使用分析法证明m0，1m0.所以要证原不等式成立，只需证(amb)2(1m)(a2mb2)，即证m(a22abb2)0，即证(ab)20，而(ab)20显然成立，故原不等式得证本讲稿第二十四页，共四十三页拓展提高分析法的特点和思路是“执果索因”，即从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”或本身已经成立的定理、性质或已经证明成立的结论等
7、，运用分析法必须考虑条件的必要性是否成立通常采用“欲证只需证已知”的格式，在表达中要注意叙述形式的规范性本讲稿第二十五页，共四十三页本讲稿第二十六页，共四十三页本讲稿第二十七页，共四十三页本讲稿第二十八页，共四十三页本讲稿第二十九页，共四十三页本讲稿第三十页，共四十三页本讲稿第三十一页，共四十三页拓展提高当一个命题的结论是以“至多”，“至少”、“唯一”或以否定形式出现时，宜用反证法来证，反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾，矛盾可以是：与已知条件矛盾；与假设矛盾；与定义、公理、定理矛盾；与事实矛盾等方面，反证法常常是解决某些“疑难”问题的有力工具，是数学证明中的一件有力武器本讲稿第三十二页，共
8、四十三页本讲稿第三十三页，共四十三页本讲稿第三十四页，共四十三页规范答题11反证法证明题的规范答题典例(2013陕西高考)(本小题满分12分)设an是公比为q的等比数列(1)推导an的前n项和公式；(2)设q1，证明：数列an1 不是等比数列审题视角(1)利用等比数列的概念及通项公式推导前n项和公式；(2)利用反证法证明要证的结论满分展示本讲稿第三十五页，共四十三页本讲稿第三十六页，共四十三页本讲稿第三十七页，共四十三页提醒：(1)推导Sn时，不可漏掉q1.(2)假设an1是等比数列时，不可用a11，a21与a31建立关系来说明矛盾【答题模板】第1步：当q1时，求Sn.第2步：当q1时，构造q
9、Sn.第3步：错位相减第4步：假设结论、构造等式第5步：转化为关于q的方程，得出矛盾第6步：得出正确结论本讲稿第三十八页，共四十三页本讲稿第三十九页，共四十三页本讲稿第四十页，共四十三页本讲稿第四十一页，共四十三页思维升华【方法与技巧】1分析法的特点：从未知看需知，逐步靠拢已知2综合法的特点：从已知看可知，逐步推出未知3分析法和综合法各有优缺点分析法思考起来比较自然，容易寻找到解题的思路和方法，缺点是思路逆行，叙述较繁；综合法从条件推出结论，较简捷地解决问题，但不便于思考实际证题时常常两法兼用，先用分析法探索证明途径，然后再用综合法叙述出来本讲稿第四十二页，共四十三页【失误与防范】1用分析法证明数学问题时，要注意书写格式的规范性，常常用“要证(欲证)”“即要证”“就要证”等分析到一个明显成立的结论2利用反证法证明数学问题时，要假设结论错误，并用假设命题进行推理，没有用假设命题推理而推出矛盾结果，其推理过程是错误的本讲稿第四十三页，共四十三页