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1、,2006年考研数学一真题一、 填空题（16小题，每小题4分，共24分。）(1) limx0xln(1+x)1-cosx= 。【答案】2。【解析】等价无穷小代换：当x0时，ln1+xx,1-cosx12x2所以limx0xln(1+x)1-cosx=limx0x212x2=2综上所述，本题正确答案是2。【考点】高等数学函数、极限、连续无穷小量的性质及无穷小量的比较(2) 微分方程y=y(1-x)x的通解为_。【答案】y=Cxe-x(x0)，C为任意常数。【解析】原式等价于dyy=1-xxdxdyy=1-xxdx lny=lnx-lnex+lnC（两边积分）即y=Cxe-x(x0)，C为任意常数
2、综上所述，本题正确答案是y=Cxe-x(x0)。【考点】高等数学常微分方程一阶线性微分方程(3) 设是锥面z=x2+y2(0z1)的下侧，则 xdydz+2ydzdx+3z-1dxdy= 。【答案】2。【解析】设1：z=1(x2+y21)，取上侧，则 xdydz+2ydzdx+3z-1dxdy= +1 xdydz+2ydzdx+3z-1dxdy-1 xdydz+2ydzdx+3z-1dxdy 而+1 xdydz+2ydzdx+3z-1dxdy=V 6dv =602d01rdrr1dz=21 xdydz+2ydzdx+3z-1dxdy=0所以 xdydz+2ydzdx+3z-1dxdy=2综上所
3、述，本题正确答案是2。【考点】高等数学多元函数积分学两类曲面积分的概念、性质及计算(4) 点(2,1,0)到平面3x+4y+5z=0的距离d= 。【答案】2。【解析】点到平面的距离公式：d=|Ax0+By0+Cz0+D|A2+B2+C2其中(x0,y0,z0)为点的坐标，Ax+By+Cz+D=0为平面方程所以d=|32+41+50+0|32+42+52=2综上所述，本题正确答案是2。【考点】高等数学向量代数和空间解析几何点到平面和点到直线的距离(5) 设矩阵A=21-12，E为二阶单位矩阵，矩阵B满足BA=B+2E，则B=_。【答案】2。【解析】BA=B+2E BA-E=2E B(A-E)=2
4、E BA-E=22=4因为A-E=11-11=2，所以B=2。综上所述，本题正确答案是2。【考点】线性代数行列式行列式的概念和基本性质线性代数矩阵矩阵的线性运算(6) 设随机变量X与Y相互独立，且均服从区间0,3上的均匀分布，则PmaxX,Y1=_。【答案】19。【解析】本题考查均匀分布，两个随机变量的独立性和他们的简单函数的分布。事件maxX,Y1=X1,Y1=X1Y1, 又根据X,Y相互独立，均服从均匀分布，可以直接写出PX1=1313=19。综上所述，本题正确答案是19。【考点】概率论多维随机变量的分布二维随机变量的分布二、 选择题（714小题，每小题4分，共32分，下列每题给出的四个选
5、项中，只有一个选项是符合题目要求的。）(7) 设函数y=f(x)具有二阶导数，且fx0,fx0，x为自变量x在点x0处的增量，y与dy分别为f(x)在点x0处对应的增量与微分，若x0，则(A)0dyy (B)0ydy(C)ydy0 (D)dyy0【答案】A。【解析】【方法一】由函数y=f(x)单调上升且凹，根据y和dy的几何意义，得如下所示的图由图可得0dyfx0+fx0x,x0，于是fx0+x-fx0fx0x0,x0，即0dyy综上所述，本题正确答案是A。【考点】高等数学一元函数微分学导数和微分的概念，导数的几何意义和物理意义(8) 设f(x,y)为连续函数，则04d01f(rcos,rsi
6、n)rdr等于(A)022dxx1-x2f(x,y)dy (B) 022dx01-x2f(x,y)dy(C)022dyy1-y2f(x,y)dx (D)022dy01-y2f(x,y)dx【答案】C。【解析】如图所示，显然是y型域，则原式=022dyy1-y2f(x,y)dx综上所述，本题正确答案是C【考点】高等数学多元函数微积分学二重积分的概念、基本性质和计算(9) 若级数n=1an收敛，则级数(A) n=1an收敛 (B) n=1(-1)nan收敛(C) n=1anan+1收敛 (D) n=1an+an+12收敛【答案】D。【解析】由n=1an收敛知n=1an+1收敛，所以级数n=1an+
7、an+12收敛。综上所述，本题正确答案是D。【考点】高等数学无穷级数收敛级数的和的概念(10) 设f(x,y)与(x,y)均为可微函数，且y(x,y)0。已知(x0,y0)是f(x,y)在约束条件x,y=0下的一个极值点，下列选项正确的是(A)若fxx0,y0=0，则fyx0,y0=0(B)若fxx0,y0=0，则fyx0,y00(C)若fxx0,y00，则fyx0,y0=0(D)若fxx0,y00，则fyx0,y00【答案】D。【解析】本题主要考查了二元函数极值的必要条件和拉格朗日乘数法。作拉格朗日函数Fx,y,=fx,y+x,y, 并记对应x0,y0的参数的值为0, 则Fxx0,y0,0=
8、0Fyx0,y0,0=0, 即fxx0,y0+0xx0,y0=0fyx0,y0+0yx0,y0=0, 消去0得：fxx0,y0yx0,y0-fyx0,y0xx0,y0=0, 整理得：fxx0,y0=1yx0,y0fyx0,y0xx0,y0 (因为yx,y0),若fxx0,y00, 则fyx0,y00。综上所述，本题正确答案是D【考点】高等数学多元函数微积分学二元函数的极限(11) 设1,2,s均为n维列向量，A是mn矩阵，下列选项正确的是(A)若1,2,s线性相关，则A1,A2,As线性相关(B)若1,2,s线性相关，则A1,A2,As线性无关(C)若1,2,s线性无关，则A1,A2,As线性
9、相关(D)若1,2,s线性无关，则A1,A2,As线性无关【答案】A。【解析】【方法一】因为1,2,s线性相关，故存在不全为零的数k1,k2,ks使得k11+k22+kss=0从而有A(k11+k22+kss)=A0=0即k1A1+k2A2+ksAs=0, 由于k1,k2,ks不全为0而是上式成立，说明A1,A2,As线性相关。【方法二】利用秩来求解，利用分块矩阵有A1,A2,As=A(1,2,s)那么rA1,A2,Asr(1,2,s)因为1,2,s线性相关，有r1,2,ss从而rA1,A2,As0,PAB=1,则必有(A)PABP(A) (B)PABP(B)(C)PAB=P(A) (D)PA
10、B=P(B)【答案】C。【解析】由PAB=P(AB)P(B)=1，得到PAB=P(B)，又已知PAB=PA+PB-PAB=PA综上所述，本题正确答案是C。【考点】概率论与数理统计随机事件和概率条件概率，概率的基本公式(14) 设随机变量X服从正态分布N1,12,Y服从正态分布N2,22, 且PX-1PY-21, 则必有(A)12(C)12【答案】A。【解析】由于X与Y的分布不同，不能直接判断PX-11和PY-21的大小与参数的关系，将其标准化，就可以方便比较。PX-11=PX-1111, 随机变量X-11N0,1, 且其概率密度函数为偶函数，故 PX-1111=2P0X-1111=211-(0
11、)=211-1同理PY-21=212-1。因为(x)是单调增函数，当PX-1PY-2212-1, 即1112, 所以1112, 即12。综上所述，本题正确答案是A【考点】概率论与数理统计随机变量及其分布正态分布及应用三、 解答题（1523小题，共94分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）(15) （本题满分10分）设区域D=(x,y)x2+y21,x0，计算二重积分I=D 1+xy1+x2+y2dxdy.【解析】本题需要用到二重积分的对称性，又因为积分区域为圆域的一部分，所以化为极坐标下的累次积分来求解。积分区域D如图所示，因为区域D关于x轴对称，函数fx,y=11+x2+y2是变量y
12、的偶函数，函数gx,y=xy1+x2+y2是变量y的奇函数，则D 11+x2+y2dxdy=2D1 11+x2+y2dxdy=202d01rr2+1dr =ln22D xy1+x2+y2dxdy=0,y故D 1+xy1+x2+y2dxdy=D 11+x2+y2dxdy+D xy1+x2+y2dxdy=ln22。0D1x2+y2=1x1【考点】高等数学多元函数积分学二重积分与三重积分的概念、性质、计算和应用(16) （本题满分12分）设数列xn满足0x1,xn+1=sinxn(n=1,2,).(I)证明limnxn存在，并求该极限；(II)计算limnxn+1xn1xn2.【解析】本题数列是由递
13、推关系给出的，通常用单调有界准则证明极限存在，并求出极限，第二问转化为函数的极限来求解。(I) 用归纳法证明xn单调减且有下界：由于sinxx,x0,则由0x1知，0x2=sinx1x1, 设0xn, 则0xn+1=sinxnxn0内，函数f(x,y)具有连续偏导数，且对任意的t0都有ftx,ty=t-2f(x,y)证明：对D内的任意分段光滑的有向简单闭曲线L，都有L yfx,ydx-xf(x,y)dy=0【解析】ftx,ty=t-2f(x,y)两边对t求导得 xfxtx,ty+yfytx,ty=-2t-3f(x,y)令t=1，则xfxx,y+yfyx,y=-2f(x,y)设Px,y=yfx,
14、y,Qx,y=-xf(x,y)，则Qx=-fx,y-xfxx,y,Py=fx,y+yfyx,y Py-Qx=2fx,y+xfxx,y+yfyx,y=0 即Py=Qx，所以对D内的任意分段光滑的有向简单闭曲线L，都有L yfx,ydx-xf(x,y)dy=0【考点】高等数学多元函数积分学平面曲线积分与路径无关的条件(20) （本题满分9分）已知非齐次线性方程组x1+x2+x3+x4=-1,4x1+3x2+5x3-x4=-1,ax1+x2+3x3+bx4=1有三个线性无关的解。(I)证明方程组系数矩阵A的秩rA=2；(II)求a,b的值及方程组的通解。【解析】本题主要考查含参数的非齐次线性方程组的
15、求解问题。(I) 设1,2,3是非齐次线性方程组的三个线性无关的解，那么1-2,1-3, 是Ax=0线性无关的解，所以n-rA2,即r(A)2,显然矩阵A中有2阶子式不为0, 又有rA2, 从而秩rA=2.(II) 对增广矩阵作初等行变换，有A=1111435-1a13b-1-1111110-11-501-a3-ab-a-13a+1 111101-15004-2ab+4a-5-1-34-2a.由题设和第一问知，rA=rA=2, 故有4-2a=0,b+4a-5=0解出a=2,b=-3, 此时A102-401-1500002-30那么=(2,-3,0,0)T是Ax=b的解，且1=(-2,1,1,0
16、)T,2=(4,-5,0,1)T是Ax=0的基础解系，所以方程组的通解是+k11+k22(k1,k2为任意常数)。【考点】线性代数线性方程组非齐次线性方程组的通解 线性代数矩阵矩阵的秩(21) （本题满分9分）设三阶实对称矩阵A的各行元素之和均为3，向量1=(-1,2,-1)T,2=(0,-1,1)T是线性方程组Ax=0的两个解。(I)求A的特征值与特征向量；(II)求正交矩阵Q和对角矩阵，使得QTAQ=;【解析】本题中A未知，故用定义法求解。(I) 因为矩阵A的各行元素之和均为3, 即有A111=333=3111, 所以3是矩阵A的特征值，=(1,1,1)T是A属于3的特征向量。又A1=0=
17、02, 故1,2是矩阵A属于=0的两个线性无关的特征向量。因此矩阵A的特征值是3,0,0.=3的特征向量为k(1,1,1)T, 其中k0为常数；=0的特征向量为k1(-1,2,-1)T+k2(0,-1,1)T, 其中k1,k2是不全为0的常数。(II) 因为1,2不正交，故需要Schmidt正交化，1=1=(-1,2,-1)T,2=2-2,11,11=0-11-36-12-1=12-101,单位化1=16-12-1,2=12-101,3=13111.那么令Q=1,2,3=-16-121326013-161213, 得 QTAQ=0 0 3 【考点】线性代数矩阵的特征值和特征向量矩阵的特征值和特
18、征向量的概念、性质、计算(22) （本题满分9分）设随机变量X的概率密度为fXx=12 -1x0,14 0x2,0 其他 . 令Y=X2,Fx,y为二维随机变量(X,Y)的分布函数，求：(I) Y的概率密度fYy;(II) F(-12,4).【解析】(I) 设Y的分布函数为FYy, 则FYy=PYy=PX2y当y0时，FYy=0, fYy=0;当0y1时，FYy=P-yXy=P-yX0+P0Xy=12y+14y=34y, fYy=FYy=38y;当0y4时，FYy=P-1X0+P0Xy=12+14y,fYy=FYy=18y;当y4时，FYy=1, fYy=0,故Y的概率密度为fYy=38y 0
19、y1,18y 1y4,0 其他 . (II) F-12,4=PX-12,Y4=PX-12,X24 =PX-12,-2X2, =P-2X-12=P-1X-12 =-1-1212dx=14 【考点】概率论与数理统计多维随机变量的分布二维连续型随机变量的概率密度、分布函数概率论与数理统计随机变量的数字特征随机变量的数学期望(均值)、协方差(23) （本题满分9分）设总体X的概率密度为fx;= 0x0,1- 1x2,0 其他 . 其中是未知参数01,X1,X2,Xn为来自总体X的简单随机样本，记N为样本值x1,x2,xn中小于1的个数，求的最大似然估计【解析】似然函数为L=i=1nfxi;=N(1-)n-N,取对数,得lnL=Nln+n-Nln1-,两边对求导，得dlnLd=N-n-N1-令dlnLd=0，得=Nn, 显然=Nn, L最大，所以的最大似然估计为=Nn。【考点】概率论与数理统计参数估计最大似然估计法