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1、近世代数课件 子群本讲稿第一页，共十五页8.1定义与例定义与例 讨论子对象是一个常用的代数方法.我们看一个群 假如由 里取出一个非空子集 来，那么利用 的乘法可以把 的两个元相乘对于这个乘法来说，很可能也作成一个群定义定义一个群 的一个非空子集 叫做 的一个子子群群，假如 对于 的乘法来说作成一个群,用符号 表示例例给了一个任意群 ，至少有两个子群：；只包含单位元 的子集本讲稿第二页，共十五页例例 ，那么 是 的一个子群因为：对于 的乘法来说是闭的，；结合律对于所有 的元都对，对于 的元也对；，更多的例子注1:的乘法必须是 的乘法注2:验证 是子群时有些条件可以省略.本讲稿第三页，共十五页8.
2、2 等价条件等价条件引理引理:设设 ,那么(1)(2),对于 中运算定理定理一个群 的一个不空子集 作成 的一个子群的充分而且必要条件是：（）（）本讲稿第四页，共十五页证明证明若是（），（）成立，作成一个群由于（），是闭的；结合律在 中成立，在中自然成立；因为 至少有一个元 ，由（），也有 元 ，所以由（），由（），对于 的任意元 来说，有 元 ，使得反过来看，假如 是一个子群，（）显然成立我们证明，这时（）也一定成立 证完（），（）两个条件也可以用一个条件来代替本讲稿第五页，共十五页定理定理一个群 的一个不空子集 作成 的一个子群的充分而且必要条件是：（）证明证明 I.我们先证明，（）和（）
3、成立，（）就也成立 假定 ，属于 ，由（），由（），II.现在我们反过来证明，由（）可以得到（）和（）假定 由（），于是 （）成立本讲稿第六页，共十五页假定 ，由刚证明的，；由（），,即(i)成立证完假如所给子集 是一个有限集合，那么 作成子群的条件更要简单定理定理一个群 的一个不空有限子集 作成 的一个子群的充分而且必要条件是：证明证明这个条件是必要的，无须证明我们证明它是充分的因为 是有限集合，我们使用有限的定义证明.本讲稿第七页，共十五页8.3 生成子群生成子群 现在我们要认识一种找一个子群的一般方法 我们在一个群 里任意取出一个非空子集 来，包含元 ，.那么 当然不见得是一个子群,但是
4、我们可以把 扩大一点，而得到一个包含的子群 利用 的元以及这些元的逆元我们可以作各种乘积，比方说，等等设集合 刚好包含所有这样的乘积,可以证明:本讲稿第八页，共十五页 (1).作成一个子群因为两个这样的乘积乘起来还是一个这样的乘积，一个这样的乘积的逆元也是一个这样的乘积,由定理，(2)对任何一个包含 的子群 ,一定包含 这一点容易看出：既是一个子群，它又包含所有 的元 ，两个条件，因而根据定理1，它必须包含所有的上面所作的那些乘积；这就是说，由(1)和(2)，是包含 的最小的子群 本讲稿第九页，共十五页 定义定义如上得到的 叫做由 生成的子群，我们用符号 来表示它 假如我们取一个只包含一个元
5、的子集 ，那么是一个循环子群例例3 生成子群很复杂,给出一些简单的例子本讲稿第十页，共十五页8.4 子群的运算子群的运算两个子群的交仍然是子群两个子群的并不一定是子群群的子集的运算容易证明:,设A，B是群G的两个非空子集,规定本讲稿第十一页，共十五页等价条件的另外表达 定理定理1一个群 的一个不空子集 作成 的一个子群的充分而且必要条件是：（）（）定理定理一个群 的一个不空子集 作成 的一个子群的充分而且必要条件是：（）定理定理3一个群 的一个不空有限子集 作成 的一个子群的充分而且必要条件是：本讲稿第十二页，共十五页证明:仅证明定理1 设H是G的子群,那么 ,(?)另一方面,所以 ,注意:,
6、所以 .反过来,构成 的一个子群.本讲稿第十三页，共十五页子群的乘积例例4 两个子群的乘积一般不是子群.S3 中，H=(1),(12)N=(1),(13),HN=(1),(13),(12),(132)不是子群定理4 设H,K是G的两个子群,那么 HK是子群 HK=KH证明:如果HK是子群,那么 (HK)-1=HK,同时,(HK)-1=K-1H-1=KH,所以 HK=KH反过来,如果HK=KH (HK)(HK)=(HK)(KH)=.=HK (HK)-1=K-1H-1=KH=HK注:HK=KH hk=kh (k,h分别属于K和H)?本讲稿第十四页，共十五页作业作业:P64-65:2,3,4本讲稿第十五页，共十五页