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1、非线性回归模型的线非线性回归模型的线性化性化本讲稿第一页，共十七页 在这样一些非线性关系中，有些可以通过代数在这样一些非线性关系中，有些可以通过代数变换变为线性关系处理，另一些则不能。下面我们变换变为线性关系处理，另一些则不能。下面我们通过一些例子来讨论这个问题。通过一些例子来讨论这个问题。2022/9/22中山学院经济与管理系2本讲稿第二页，共十七页3线性模型的含义线性模型的含义 线性模型的基本形式是线性模型的基本形式是:其其特特点点是是可可以以写写成成每每一一个个解解释释变变量量和和一一个个系系数数相相乘乘的形式。的形式。线性模型的线性包含两重含义：线性模型的线性包含两重含义：（1）变量的
2、线性）变量的线性 变量以其原型出现在模型之中，而不是以变量以其原型出现在模型之中，而不是以 或或 之类的函数形式出现在模型中。之类的函数形式出现在模型中。本讲稿第三页，共十七页2022/9/22中山学院经济与管理系4（2）参数的线性）参数的线性 因变量因变量Y是各参数的线性函数。是各参数的线性函数。本讲稿第四页，共十七页非线性回归模型的分类：非线性回归模型的分类：1 虽然被解释变量虽然被解释变量Y与解释变量与解释变量 之间不存在线之间不存在线性关系，但与未知参数性关系，但与未知参数 之间存在着线性关系，之间存在着线性关系，这种类型的非线性回归模型被称为这种类型的非线性回归模型被称为非标准线性回
3、归模型非标准线性回归模型。其一般形式为：其一般形式为：其中其中 是关于是关于 的的p个已知的非线性函数，个已知的非线性函数，是（是（p+1）个未知参数）个未知参数 2022/9/22中山学院经济与管理系5本讲稿第五页，共十七页2 虽然被解释变量虽然被解释变量Y与解释变量与解释变量 和未知参和未知参数数 之间不存在线性关系，但是可以通过适之间不存在线性关系，但是可以通过适当的变换将其化为标准的线性回归模型，这种类型的当的变换将其化为标准的线性回归模型，这种类型的非线性回归模型称为可非线性回归模型称为可线性化的非线性回归模型线性化的非线性回归模型 3 如果被解释变量如果被解释变量Y与解释变量与解释
4、变量 和未知参数和未知参数 之间都不存在线性关系，而且也不能通过适当的变换之间都不存在线性关系，而且也不能通过适当的变换将其化为标准的线性回归模型，这种类型的非线性回将其化为标准的线性回归模型，这种类型的非线性回归模型称为归模型称为不可线性化的非线性回归模型不可线性化的非线性回归模型2022/9/22中山学院经济与管理系6本讲稿第六页，共十七页4.2线性化方法线性化方法1非标准线性回归模型的线性化方法非标准线性回归模型的线性化方法非标准线性回归模型的线性化方法是变量替换法非标准线性回归模型的线性化方法是变量替换法 非标准线性回归模型的一般形式为：非标准线性回归模型的一般形式为：2022/9/2
5、2中山学院经济与管理系7本讲稿第七页，共十七页令令则可以把原模型转化为一个标准的多元线性回归模型则可以把原模型转化为一个标准的多元线性回归模型2022/9/22中山学院经济与管理系8本讲稿第八页，共十七页下面介绍几种典型的可以做线性化处理的非标准线性下面介绍几种典型的可以做线性化处理的非标准线性回归模型回归模型1多项式函数模型多项式函数模型多项式函数模型的一般形式为：多项式函数模型的一般形式为：令令则可将原模型化为标准的线性回归模型则可将原模型化为标准的线性回归模型 2022/9/22中山学院经济与管理系9本讲稿第九页，共十七页2 双曲函数模型双曲函数模型双曲函数模型的一般形式为：双曲函数模型
6、的一般形式为：令令则可将原模型化为标准的线性回归模型则可将原模型化为标准的线性回归模型2022/9/22中山学院经济与管理系10本讲稿第十页，共十七页3 对数函数模型对数函数模型对数函数模型的一般形式为：对数函数模型的一般形式为：令令则可将原模型化为标准的线性回归模型则可将原模型化为标准的线性回归模型2022/9/22中山学院经济与管理系11本讲稿第十一页，共十七页4 S-型曲线模型型曲线模型S-性曲线模型的一般形式为：性曲线模型的一般形式为：首先对上式做倒数变换得：首先对上式做倒数变换得：令令则可将原模型化为标准的线性回归模型则可将原模型化为标准的线性回归模型2022/9/22中山学院经济与
7、管理系12本讲稿第十二页，共十七页2 可线性化的非线性回归模型的线性化方法可线性化的非线性回归模型的线性化方法下面几种在研究经济问题时经常遇到的可线性化的非下面几种在研究经济问题时经常遇到的可线性化的非线性回归模型线性回归模型（1）指数函数模型）指数函数模型指数函数模型的一般形式为指数函数模型的一般形式为对上式两边取对数得到对上式两边取对数得到令令则可将原模型化为标准的线性回归模型；则可将原模型化为标准的线性回归模型；2022/9/22中山学院经济与管理系13本讲稿第十三页，共十七页（2）幂函数模型）幂函数模型幂函数模型的一般形式为：幂函数模型的一般形式为：对上式两边取对数得到：对上式两边取对
8、数得到：令令则可将原模型化为标准的线性回归模型：则可将原模型化为标准的线性回归模型：2022/9/22中山学院经济与管理系14本讲稿第十四页，共十七页例：对于柯布例：对于柯布-道格拉斯（道格拉斯（C-D）生产函数模型）生产函数模型其中，其中，Y表示产出量，表示产出量，K表示资金投入量，表示资金投入量，L表示劳动投表示劳动投入量，入量，u是随机误差项，是随机误差项，A、和和 为未知参数。试为未知参数。试利用天津市利用天津市1980年年1996年的有关统计资料，估计年的有关统计资料，估计天津市全社会的天津市全社会的C-D生产函数模型。生产函数模型。2022/9/22中山学院经济与管理系15本讲稿第十五页，共十七页首先建立天津市的首先建立天津市的C-D生产函数模型生产函数模型 i=1，2，17两边取对数得到：两边取对数得到：令令则可将则可将C-D生产函数模型转换成标准的二元线性回归模生产函数模型转换成标准的二元线性回归模型型2022/9/22中山学院经济与管理系16本讲稿第十六页，共十七页得到估计的回归方程为（括号内的数字为得到估计的回归方程为（括号内的数字为t统计量值）统计量值）（-8.1304）（）（34.7271）（）（6.1513）最后得到估计的最后得到估计的C-D生产函数方程为：生产函数方程为：2022/9/22中山学院经济与管理系17本讲稿第十七页，共十七页