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1、关于非线性回归模型关于非线性回归模型的线性化的线性化现在学习的是第1页，共24页 在这样一些非线性关系中，有些可以通过代数在这样一些非线性关系中，有些可以通过代数变换变为线性关系处理，另一些则不能。下面我们变换变为线性关系处理，另一些则不能。下面我们通过一些例子来讨论这个问题。通过一些例子来讨论这个问题。2023/3/312现在学习的是第2页，共24页3线性模型的含义线性模型的含义 线性模型的基本形式是线性模型的基本形式是:线性模型的线性包含两重含义：线性模型的线性包含两重含义：（1）变量的线性）变量的线性 变量以其原型出现在模型之中，而不是以变量以其原型出现在模型之中，而不是以 或或 之类的
2、函数形式出现在模型中。之类的函数形式出现在模型中。（2）参数的线性）参数的线性 因变量因变量Y是各参数是各参数i i的线性函数。的线性函数。这种模型称为这种模型称为标准的线性回归模型标准的线性回归模型现在学习的是第3页，共24页非线性回归模型的分类：非线性回归模型的分类：1 虽然被解释变量虽然被解释变量Y与解释变量与解释变量 之间不存在之间不存在线性关系，但与未知参数线性关系，但与未知参数 之间存在着线性之间存在着线性关系，这种类型的非线性回归模型被称为关系，这种类型的非线性回归模型被称为非标准线性非标准线性回归模型回归模型。其一般形式为：其一般形式为：其中其中 是关于是关于 的的p个已知的非
3、线性函数，个已知的非线性函数，是（是（p+1）个未知参数）个未知参数 4现在学习的是第4页，共24页2 虽然被解释变量虽然被解释变量Y与解释变量与解释变量 和未知参和未知参数数 之间不存在线性关系，但是可以通过之间不存在线性关系，但是可以通过适当的变换将其化为标准的线性回归模型，这种类适当的变换将其化为标准的线性回归模型，这种类型的非线性回归模型称为可型的非线性回归模型称为可线性化的非线性回归模型线性化的非线性回归模型如柯布道格拉斯生产函数模型：如柯布道格拉斯生产函数模型：3 如果被解释变量如果被解释变量Y与解释变量与解释变量 和未知和未知参数参数 之间都不存在线性关系，而且也之间都不存在线性
4、关系，而且也不能通过适当的变换将其化为标准的线性回归模型，不能通过适当的变换将其化为标准的线性回归模型，这种类型的非线性回归模型称为这种类型的非线性回归模型称为不可线性化的非线性不可线性化的非线性回归模型回归模型5现在学习的是第5页，共24页4.2线性化方法线性化方法1、非标准线性回归模型的线性化方法、非标准线性回归模型的线性化方法非标准线性回归模型的线性化方法是非标准线性回归模型的线性化方法是变量替换法。变量替换法。非标准线性回归模型的一般形式为：非标准线性回归模型的一般形式为：2023/3/316现在学习的是第6页，共24页1、非标准线性回归模型的线性化方法、非标准线性回归模型的线性化方法
5、非标准线性回归模型的线性化方法是非标准线性回归模型的线性化方法是变量替换法。变量替换法。非标准线性回归模型的一般形式为：非标准线性回归模型的一般形式为：u令令则可以把原模型转化为一个标准的多元线性回归模型则可以把原模型转化为一个标准的多元线性回归模型74.2线性化方法线性化方法现在学习的是第7页，共24页下面介绍在经济问题时经常遇到的几种非标准线性回归下面介绍在经济问题时经常遇到的几种非标准线性回归模型模型（1）多项式函数模型）多项式函数模型多项式函数模型的一般形式为：多项式函数模型的一般形式为：令令则可将原模型化为标准的线性回归模型则可将原模型化为标准的线性回归模型 8现在学习的是第8页，共
6、24页例：例：yt=b0+b1 xt+b2 xt2+b3 xt3+ut 令令x 1t=xt，x 2t=xt2，x 3t=xt3，上式变为，上式变为 yt=b0+b1 x 1t+b2 x 2t+b3 x 3t+ut 这是一个三元线性回归模型。如经济学中的总成本与产品产量曲这是一个三元线性回归模型。如经济学中的总成本与产品产量曲线与左图相似。线与左图相似。(b10,b20,b30)(b10,b30,b20)(b10,b2 0)(0)现在学习的是第14页，共24页（4）、S-型曲线模型型曲线模型S-性曲线模型的一般形式为：性曲线模型的一般形式为：首先对上式做倒数变换得：首先对上式做倒数变换得：令令则
7、可将原模型化为标准的线性回归模型则可将原模型化为标准的线性回归模型15现在学习的是第15页，共24页2 可线性化的非线性回归模型的线性化方法可线性化的非线性回归模型的线性化方法下面几种在研究经济问题时经常遇到的可线性化的非线性下面几种在研究经济问题时经常遇到的可线性化的非线性回归模型回归模型（1）指数函数模型）指数函数模型现在学习的是第16页，共24页指数函数模型的一般形式为指数函数模型的一般形式为对上式两边取对数得到对上式两边取对数得到令令则可将原模型化为标准的线性回归模型；则可将原模型化为标准的线性回归模型；2023/3/3117（1）指数函数模型）指数函数模型现在学习的是第17页，共24
8、页（2）幂函数模型（全对数模型）幂函数模型（全对数模型）幂函数模型的一般形式为：幂函数模型的一般形式为：对上式两边取对数得到：对上式两边取对数得到：令令则可将原模型化为标准的线性回归模型：则可将原模型化为标准的线性回归模型：2023/3/3118现在学习的是第18页，共24页对于柯布对于柯布-道格拉斯（道格拉斯（C-D）生产函数模型）生产函数模型其中，其中，Y表示产出量，表示产出量，K表示资金投入量，表示资金投入量，L表示劳动表示劳动投入量，投入量，u是随机误差项，是随机误差项，A、和和 为未知参数。为未知参数。试利用天津市试利用天津市1980年年1996年的有关统计资料，年的有关统计资料，估
9、计天津市全社会的估计天津市全社会的C-D生产函数模型。生产函数模型。19例例.：天津市：天津市GDP函数函数(教材第教材第95页页)现在学习的是第19页，共24页首先建立天津市的首先建立天津市的C-D生产函数模型生产函数模型 i=1，2，17两边取对数得到：两边取对数得到：令令则可将则可将C-D生产函数模型转换成标准的二元线性回归模型生产函数模型转换成标准的二元线性回归模型20例例.现在学习的是第20页，共24页现在学习的是第21页，共24页例例4.2：天津市：天津市GDP函数函数 =-10.46+1.02 X1t+1.47 X2t (-8.1)(34.7)(6.2)R2=0.9986,DW=1.7,N=17因为因为1.02+1.47=2.49，所以此生产函数属于规模报酬递增函数。，所以此生产函数属于规模报酬递增函数。现在学习的是第22页，共24页3、不可线性化的非线性回归模型估计方法（不要、不可线性化的非线性回归模型估计方法（不要求掌握）求掌握）现在学习的是第23页，共24页2023/3/31感谢大家观看现在学习的是第24页，共24页