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1、量子力学基础级1本讲稿第一页，共七十三页爱因斯坦的光量子假说o光的波粒两象性。2本讲稿第二页，共七十三页第四节.实物粒子的波动粒子两象性1924年年11月月24日，巴黎大学日，巴黎大学理学院举行博士论文答辩会。理学院举行博士论文答辩会。答辩的内容令参加答辩的教授答辩的内容令参加答辩的教授惊讶万分。惊讶万分。答辩人叫答辩人叫Louis de Broglie,是是一名世袭的法国亲王，原来是一名世袭的法国亲王，原来是学历史的，后来转攻物理学。学历史的，后来转攻物理学。3本讲稿第三页，共七十三页德布洛意物质波假说德布洛意认为，爱因斯坦把原来仅具有波动性的德布洛意认为，爱因斯坦把原来仅具有波动性的电磁波
2、赋予了粒子性，并成功地解释了光电效应，电磁波赋予了粒子性，并成功地解释了光电效应，那么反过来，粒子应该有波动性！那么反过来，粒子应该有波动性！即波粒两象性同样适用于实物粒子！即波粒两象性同样适用于实物粒子！在爱因斯坦理论中，光的波粒两象在爱因斯坦理论中，光的波粒两象性集中体现在以下公式中性集中体现在以下公式中德布洛意假定所有实物也都具有波德布洛意假定所有实物也都具有波动性，也符合上述公式动性，也符合上述公式4本讲稿第四页，共七十三页德布洛意物质波假说F与实物粒子相联系的波称为与实物粒子相联系的波称为德布洛意德布洛意波波(物质波物质波)5本讲稿第五页，共七十三页德布洛意物质波假说由于德布洛意的想
3、法太过创新，答辩委员们都由于德布洛意的想法太过创新，答辩委员们都将信将疑，但其从物理学最基本原理的假定出将信将疑，但其从物理学最基本原理的假定出发所作的推理的严密性确实无懈可击，答辩委发所作的推理的严密性确实无懈可击，答辩委员会还是决定授予德布洛意博士学位。员会还是决定授予德布洛意博士学位。6本讲稿第六页，共七十三页德布洛意物质波假说虽然论文答辩通过了，但由于没有实验证据，虽然论文答辩通过了，但由于没有实验证据，教授们也认为物质波的概念没有什么实际意义。教授们也认为物质波的概念没有什么实际意义。直到直到爱因斯坦爱因斯坦由于由于朗之万朗之万的推荐，注意到了德的推荐，注意到了德布洛意的思想，意识到
4、这一思想的深刻意义，布洛意的思想，意识到这一思想的深刻意义，才引起物理学界的重视。才引起物理学界的重视。三年后电子的波动性获得实验证实，物质波概念三年后电子的波动性获得实验证实，物质波概念也第一次获得实验验证，两年之后，即也第一次获得实验验证，两年之后，即19291929年，年，德布洛意获得诺贝尔奖。德布洛意获得诺贝尔奖。7本讲稿第七页，共七十三页实物粒子波动性实验实物粒子波动性实验F1927年年美美国国的的戴戴维维孙孙和和革革末末实验证实了实物粒子波动性实验证实了实物粒子波动性vv观察到在晶体表面电子的衍射现观察到在晶体表面电子的衍射现象与象与x射线的衍射现象相类似射线的衍射现象相类似电子枪
5、电子枪探测器探测器镍单晶镍单晶加速加速电极电极-电子具有波动性电子具有波动性8本讲稿第八页，共七十三页实物粒子波动性实验实物粒子波动性实验F同同年年，小小汤汤姆姆逊逊的的电电子子束束穿穿过过多多晶晶薄薄膜膜后后的的衍衍射射实实验验，得得到到了了与与x射射线线实验极其相似的衍射图样实验极其相似的衍射图样x-射线射线 电子电子FF戴维孙和小汤姆逊同获戴维孙和小汤姆逊同获1937年诺贝年诺贝尔物理学奖尔物理学奖FF大量实验证实除电子外，中子、质子以及原子、大量实验证实除电子外，中子、质子以及原子、分子等都具有波动性，且符合德布洛意公式分子等都具有波动性，且符合德布洛意公式-一切微观粒子都具有波动性一
6、切微观粒子都具有波动性9本讲稿第九页，共七十三页第二章 波函数和薛定格（Schrdinger）方程 第一节第一节 德布洛意波的统计解释德布洛意波的统计解释爱因斯坦和德布洛意都把波和粒子混在一起，那么爱因斯坦和德布洛意都把波和粒子混在一起，那么到底应该如何理解？到底应该如何理解？（1 1）经经典典粒粒子子具具有有“颗颗粒粒性性”、“原原子子性性”，即即它它在在空空间间占占据据一一个个小小小小的的局局部部位位置置。有有确确定定的的大大小小，有有固固有有质质量量、电电荷荷等等等等，而而且且在在它它们们与其他物质相互作用时是整体地发生作用，即所谓的与其他物质相互作用时是整体地发生作用，即所谓的“整体性
7、整体性”（2 2）经典粒子具有一条确切的运动轨道。）经典粒子具有一条确切的运动轨道。（3 3）经经典典粒粒子子的的状状态态用用它它的的物物理理量量来来表表征征。这这些些物物理理量量在在任任何何时时刻刻均均取确定值，且可以取连续变化的值。状态的运动方程为牛顿第二定律。取确定值，且可以取连续变化的值。状态的运动方程为牛顿第二定律。10本讲稿第十页，共七十三页第一节第一节 德布洛意波的统计解释德布洛意波的统计解释从经典波动概念来看：从经典波动概念来看：（1）经经典典波波是是指指可可以以在在空空间间任任何何地地方方进进行行传传播播的的周周期期性性扰扰动动（如水波、声波、电磁波等）（如水波、声波、电磁波
8、等）（2 2）经典波总是意味着某种）经典波总是意味着某种实际的物理量在空间分布的周期实际的物理量在空间分布的周期性变化性变化。描述波的。描述波的物理量物理量是频率是频率和波矢。不同原因引起的和波矢。不同原因引起的波动遵守各自的波动方程，如电磁波遵守麦克斯韦方程。波波动遵守各自的波动方程，如电磁波遵守麦克斯韦方程。波动的最基本的特征是呈动的最基本的特征是呈干涉和衍射干涉和衍射的现象。的现象。干涉和衍射的本干涉和衍射的本质在于波的叠加性质在于波的叠加性。11本讲稿第十一页，共七十三页第一节第一节 德布洛意波的统计解释德布洛意波的统计解释从从经经典典理理论论的的观观点点出出发发，“微微粒粒性性”和和
9、“波波动动性性”是是完完全全无无法法统统一一起起来来的的。但但在在微微观观粒粒子子一一身身之之上上却却兼兼有有二二职职，即即表表现现有有微微粒粒性性又又表表现现有有波波动动性性，这这种种现现象象应应该该如如何何理理解解呢呢？物理学家费曼（物理学家费曼（Feynman）曾说过：）曾说过：“电子即不是粒子也不是电子即不是粒子也不是波波”，同样也可以说电子既是粒子也是波。但它即非经典意义下的同样也可以说电子既是粒子也是波。但它即非经典意义下的粒子，也非经典意义下的波。粒子，也非经典意义下的波。电子所表现出来的电子所表现出来的“粒子性粒子性”只是指经典粒子的只是指经典粒子的“原子性原子性”和和“整体性
10、整体性”，即总是以具有一定的质量、电荷等属性的客，即总是以具有一定的质量、电荷等属性的客体存在着。电子所出现的体存在着。电子所出现的“波动性波动性”也只是仅仅指波的也只是仅仅指波的“叠叠加性加性”。12本讲稿第十二页，共七十三页第一节第一节 德布洛意波的统计解释德布洛意波的统计解释物物质质波波在在空空间间某某处处的的强强度度与与在在该该处处发发现现粒粒子子的的几几率率成成正正比比，即与即与位置的几率位置的几率成正比。成正比。量子力学就是在物质波假说及其统计解释的基础上建立和发量子力学就是在物质波假说及其统计解释的基础上建立和发展起来的。展起来的。根据实验资料的分析，德国物理学家玻恩在 1927
11、 年提出了物质波的统计解释：13本讲稿第十三页，共七十三页第一节第一节 德布洛意波的统计解释德布洛意波的统计解释14本讲稿第十四页，共七十三页第二节第二节 状态及状态的描述状态及状态的描述所谓已知状态，无论是经典的还是量子的，无非是指所谓已知状态，无论是经典的还是量子的，无非是指已知特征已知特征体系物理性质的全部物理量体系物理性质的全部物理量。在在经经典典力力学学中中，质质点点的的力力学学状状态态，是是用用它它的的全全部部物物理理量量（如如位位置置、动动量量、能能量量等等等等）及及其其随随时时间间变化的表征。变化的表征。只只要要知知道道了了质质点点的的轨轨道道函函数数和和初初始始条条件件，就就
12、可可以以完完全全知知道道其其他他如如动动量量、能能量量等等物物理理量量及及其其随随时时间间的的变变化化，达到完全描述该质点状态的目的。达到完全描述该质点状态的目的。15本讲稿第十五页，共七十三页第二节第二节 状态及状态的描述状态及状态的描述对对体体系系物物理理量量进进行行测测量量的的结结果果或或者者理理论论计计算算的的结结果果都都表表明明，质质点点在在完完全全相相同同的的条条件件下下，在在任任何何时时刻刻，标志其物理性质的全部物理量都取完全确定的值。标志其物理性质的全部物理量都取完全确定的值。在在量量子子理理论论中中，描描述述量量子子体体系系状状态态的的不不是是相相应应物物理理量量的的取取值值
13、，而而是是相相应应物物理理量量的的取取值值几几率率，以以及及物物理理量量取值几率随时间的变化取值几率随时间的变化。16本讲稿第十六页，共七十三页第二节第二节 状态及状态的描述状态及状态的描述也就是说要想知道量子体系在某一宏观条件下，在也就是说要想知道量子体系在某一宏观条件下，在某一时刻的状态，只要知悉在此时刻所有力学量的某一时刻的状态，只要知悉在此时刻所有力学量的几率分布就可以了。随着时间的变化体系的状态发几率分布就可以了。随着时间的变化体系的状态发生变化，其力学量的取值几率也变化了。生变化，其力学量的取值几率也变化了。与经典力学相似，为了能够定量地描述量子体系的与经典力学相似，为了能够定量地
14、描述量子体系的状态，同样应该要求状态，同样应该要求用来描述状态的函数用来描述状态的函数能够预言能够预言出量子体系所有力学量的取值几率分布及其随时间出量子体系所有力学量的取值几率分布及其随时间的变化。的变化。17本讲稿第十七页，共七十三页第二节第二节 状态及状态的描述状态及状态的描述描述波的数学表达式称为波函数描述波的数学表达式称为波函数（r,t)r,t)，波的强度就是波振幅的平方波的强度就是波振幅的平方在量子理论体系中用在量子理论体系中用波函数波函数来作为描述状态的函来作为描述状态的函数。数。18本讲稿第十八页，共七十三页波函数波函数F沿沿x方向传播的平面波波动方程为方向传播的平面波波动方程为
15、上式为下面复数形式的实数部分上式为下面复数形式的实数部分为区别一般的波，奥地利物理为区别一般的波，奥地利物理学家薛定格提出用学家薛定格提出用物质波波函物质波波函数数描述微观粒子的运动状态描述微观粒子的运动状态.19331933年获得诺贝尔物理学奖年获得诺贝尔物理学奖年获得诺贝尔物理学奖年获得诺贝尔物理学奖19本讲稿第十九页，共七十三页波函数波函数经典波描写实在物理量在空间中的传播经典波描写实在物理量在空间中的传播过程过程根据波恩的统计解释，微观粒子的位置几率正比于波根据波恩的统计解释，微观粒子的位置几率正比于波的强度的强度,那么在那么在t时刻，在时刻，在r点发现粒子的几率就是点发现粒子的几率就
16、是几率波不代表实在物理量的传播过程，波几率波不代表实在物理量的传播过程，波函数本身没有直接的物理意义函数本身没有直接的物理意义20本讲稿第二十页，共七十三页波函数波函数 FF对能量为对能量为E、动量为、动量为p的自由粒子，其平面的自由粒子，其平面物质波波函数为物质波波函数为FF自由粒子在三维空间运动时有自由粒子在三维空间运动时有21本讲稿第二十一页，共七十三页波函数波函数FF波函数的强度为波函数的强度为-几率密度几率密度是是 的共轭复数的共轭复数根据波恩的统计解释，微观粒子的位置几率根据波恩的统计解释，微观粒子的位置几率正比于波的强度正比于波的强度,那么在那么在t时刻，在时刻，在r附近的小附近
17、的小体积元体积元 内发现粒子的几率就是内发现粒子的几率就是22本讲稿第二十二页，共七十三页波函数波函数 F在整个空间总能找到粒子，应有在整个空间总能找到粒子，应有从而，粒子的几率密度公式为从而，粒子的几率密度公式为23本讲稿第二十三页，共七十三页波函数波函数如果粒子的状态用如果粒子的状态用 （c为复常数）为复常数）来描述，来描述，事实上，两个波函数给出的全部物理信息是完全事实上，两个波函数给出的全部物理信息是完全相同的。这说明，波函数相差一个常数因子时，相同的。这说明，波函数相差一个常数因子时，所描述的状态是一样的！所描述的状态是一样的！24本讲稿第二十四页，共七十三页波函数波函数波函数的标准
18、条件波函数的标准条件单值单值单值单值:某时刻粒子出现在某点的概率唯一某时刻粒子出现在某点的概率唯一有限有限:粒子出现的概率应有限（平方可积）粒子出现的概率应有限（平方可积）连续连续:不应出现突变不应出现突变(可导可导)波函数的这个特点使得我们可以选择一个恰当的常波函数的这个特点使得我们可以选择一个恰当的常数因子构成波函数，以使这样选出的波函数可以大数因子构成波函数，以使这样选出的波函数可以大大简化我们的计算。这样的波函数就是大简化我们的计算。这样的波函数就是归一化波归一化波函数函数，相应的常数称，相应的常数称归一化因子归一化因子，选择归一化因子，选择归一化因子的过程叫的过程叫归一化过程归一化过
19、程。25本讲稿第二十五页，共七十三页第二节第二节 状态及状态的描述状态及状态的描述正正像像经经典典力力学学中中轨轨道道函函数数和和初初始始条条件件可可以以完完全全描描述述质质点点的的状状态态，在在量量子子体体系系中中，利利用用波波函函数数和和初初始始条条件件就就可可以以描描述述粒粒子子体体系系的的所所有有物物理理量量取取值值几几率率，也也就知道的量子体系的状态。就知道的量子体系的状态。量子理论的第一条基本原理：量子理论的第一条基本原理：量量子子体体系系的的任任意意状状态态，总总可可以以用用相相应应的的波波函函数数加加以完全的描述。以完全的描述。26本讲稿第二十六页，共七十三页第二节第二节 状态
20、及状态的描述状态及状态的描述对对于于波波函函数数为为 的的一一个个粒粒子子，在在t时时刻刻在在空空间间r r处处发现该粒子的几率是发现该粒子的几率是量子理论的第二条基本原理是状态叠加原理量子理论的第二条基本原理是状态叠加原理，若量子体系具有一系列互异的可能状态：若量子体系具有一系列互异的可能状态：则它们的线性组合则它们的线性组合也是该体系一个可能的状态也是该体系一个可能的状态。27本讲稿第二十七页，共七十三页量量子子力力学学中中的的状状态态叠叠加加原原理理比比经经典典波波动动理理论论的的叠加原理所包含的内容要深刻得多叠加原理所包含的内容要深刻得多。设量子体系处于用 描述的状态，测得某一力学量值
21、为 L1；而该体系处于 描述状态时，测得该力学量之值为 L2，则 和 的叠加态为当该体系处于用 描述的状态时，测该力学量的值已不再得到唯一的一个值了，或者是 L1 或者是 L2，但不会出现其他的值，并且出现 L1 的几率和出现 L2 的几率是相对确定的。这里要注意：叠加导致了观测结叠加导致了观测结果的不确定性。果的不确定性。28本讲稿第二十八页，共七十三页不确定关系（测不准原理）F经经典典力力学学：运运动动物物体体具具有有完完全全确确定定的的位位置置、动量、能量、角动量等动量、能量、角动量等FF微观粒子：微观粒子：由于波动性，粒子以一定的几率在由于波动性，粒子以一定的几率在空间出现空间出现-粒
22、子在任一时刻不具有确定的位粒子在任一时刻不具有确定的位置置同样，动量、能量和角动量等也是不确定的。同样，动量、能量和角动量等也是不确定的。29本讲稿第二十九页，共七十三页不确定关系（测不准原理）FF1927年德国物理学家海森伯由年德国物理学家海森伯由量子力学得到位置与动量不确定量子力学得到位置与动量不确定量之间的关系量之间的关系19321932年获诺贝尔物理学奖年获诺贝尔物理学奖年获诺贝尔物理学奖年获诺贝尔物理学奖30本讲稿第三十页，共七十三页不确定关系（测不准原理）说明：说明：v不不确确定定性性关关系系说说明明微微观观粒粒子子不不可可能能同同时时具具有有确确定定的的位位置置和和动动量量；粒粒
23、子子位位置置的的不不确确定定量量越越小，动量的不确定量就越大，反之亦然小，动量的不确定量就越大，反之亦然不确定性关系仅是波粒二象性及其统计关不确定性关系仅是波粒二象性及其统计关系的必然结果，而不是测量仪器对粒子的系的必然结果，而不是测量仪器对粒子的干扰，也不是仪器的误差所致干扰，也不是仪器的误差所致31本讲稿第三十一页，共七十三页不确定关系（测不准原理）例例设电子在原子中运动的速度为设电子在原子中运动的速度为 106m/s，原，原子的线度约为子的线度约为10-10m，求原子中电子速度的不确定，求原子中电子速度的不确定量量解：原子中的电子位置的不确定量解：原子中的电子位置的不确定量由不确定性关系
24、由不确定性关系32本讲稿第三十二页，共七十三页第三节第三节 薛定格方程薛定格方程在在经经典典理理论论中中，质质点点在在 时时刻刻，具具有有特特定定的的位位置置和和动动量量，当当它它受受力力后后，在在 时时，它它的的位位置置和和动动量量均可唯一确定，这一因果关系由牛顿方程给出均可唯一确定，这一因果关系由牛顿方程给出33本讲稿第三十三页，共七十三页第三节第三节 薛定格方程薛定格方程在量子体系中也存在着因果关系。不过因为波函数具有统在量子体系中也存在着因果关系。不过因为波函数具有统计的意义，因此只能给出统计的因果关系：计的意义，因此只能给出统计的因果关系：在给定的力在给定的力场下，量子体系在初始时刻
25、的状态，唯一地决定了它场下，量子体系在初始时刻的状态，唯一地决定了它在以后任意时刻的状态在以后任意时刻的状态。在量子体系中。在量子体系中与牛顿第二定与牛顿第二定律具有相似作用律具有相似作用的方程就是薛定格方程。的方程就是薛定格方程。34本讲稿第三十四页，共七十三页第三节第三节 薛定格方程薛定格方程FF自由粒子：自由粒子：自由粒子：自由粒子：设自由粒子沿设自由粒子沿设自由粒子沿设自由粒子沿x x方向运动，波函数为方向运动，波函数为方向运动，波函数为方向运动，波函数为又又又又35本讲稿第三十五页，共七十三页自由粒子的薛定格方程F在势场在势场U(x,t)中：中：粒子的总能量为粒子的总能量为即即即即又
26、又又又36本讲稿第三十六页，共七十三页自由粒子的薛定格方程-势场中势场中势场中势场中一维运动粒子的含时薛定谔方程一维运动粒子的含时薛定谔方程一维运动粒子的含时薛定谔方程一维运动粒子的含时薛定谔方程推广到三维空间推广到三维空间37本讲稿第三十七页，共七十三页第三节第三节 薛定格方程薛定格方程则薛定格方程可写成量子力学的第三个基本原理：量子力学的第三个基本原理：所有量子状态的波函数均满足薛定格方程所有量子状态的波函数均满足薛定格方程。薛薛定定格格方方程程揭揭示示了了微微观观领领域域中中的的物物质质运运动动规规律律，提提供供了定量地系统地处理一系列量子现象的理论基础。了定量地系统地处理一系列量子现象
27、的理论基础。引入拉普拉斯（Laplace）算符动能算符以及哈密顿(Hamilton)算符38本讲稿第三十八页，共七十三页算符化规则算符化规则量量子子力力学学中中的的算算符符表表达达式式及及方方程程式式，一一般般地地可可以以利利用用算符化规则从经典力学中相应的表达式得到。算符化规则从经典力学中相应的表达式得到。经经典典力力学学中中的的动动量量 ，在在量量子子力力学学中中用用算算符符 代代之，即之，即(1)基本的算符化规则是：基本的算符化规则是：经经典典力力学学中中的的能能量量E，在在量量子子力力学学中中用用算算符符 代代之之，即即其中39本讲稿第三十九页，共七十三页算符化规则算符化规则利用算符化
28、规则，薛定格方程就可以从经典力学方程，利用算符化规则，薛定格方程就可以从经典力学方程，得到，即得到，即 使用算符化规则时要注意两点：使用算符化规则时要注意两点：1）要在笛卡儿坐标系中应用算符化规则。）要在笛卡儿坐标系中应用算符化规则。2）对称化规则。若在经典公式中出现）对称化规则。若在经典公式中出现 项，则项，则应该用应该用 代之后再算符化。代之后再算符化。40本讲稿第四十页，共七十三页第四节第四节 几率流密度与粒子数守恒定律几率流密度与粒子数守恒定律薛定格方程是非相对论量子力学的基本方程。在低能薛定格方程是非相对论量子力学的基本方程。在低能情况下，不存在实物粒子的产生和消灭的现象，所以情况下
29、，不存在实物粒子的产生和消灭的现象，所以在随时间变化的过程中，在随时间变化的过程中，粒子数将始终保持不变粒子数将始终保持不变。称称为粒子数守恒为粒子数守恒。就一个粒子来说，在整个空间发现这个粒子的几率就一个粒子来说，在整个空间发现这个粒子的几率不随时间变化，它总等于不随时间变化，它总等于1，这就是，这就是几率守恒几率守恒。粒子数守恒和几率守恒是对一个物理事实的两种不同说粒子数守恒和几率守恒是对一个物理事实的两种不同说法。法。41本讲稿第四十一页，共七十三页第四节第四节 几率流密度与粒子数守恒定律几率流密度与粒子数守恒定律42本讲稿第四十二页，共七十三页几率流密度几率流密度43本讲稿第四十三页，
30、共七十三页第四节第四节 几率流密度与粒子数守恒定律几率流密度与粒子数守恒定律对上式在空间任意有限体积对上式在空间任意有限体积V中作积分中作积分高斯定理高斯定理将上式的有限体积扩展到整个无穷大空间，将上式的有限体积扩展到整个无穷大空间，由于波函数具有平方由于波函数具有平方可积性，按照可积性，按照J的定义，其在无限远的面上趋于零。的定义，其在无限远的面上趋于零。44本讲稿第四十四页，共七十三页第四节第四节 几率流密度与粒子数守恒定律几率流密度与粒子数守恒定律如果初始时刻如果初始时刻t0时波函数已经归一化时波函数已经归一化则任意时则任意时 刻，波函数自动满足归一化条件刻，波函数自动满足归一化条件凡满
31、足薛定格方程的波函数，其归一化在时间过凡满足薛定格方程的波函数，其归一化在时间过程中始终保持不变。程中始终保持不变。45本讲稿第四十五页，共七十三页第四节第四节 几率流密度与粒子数守恒定律几率流密度与粒子数守恒定律单位时间内，在体积单位时间内，在体积V中增加或（减少）的几率，中增加或（减少）的几率，等于单位时间内穿过体积等于单位时间内穿过体积V的包围面的包围面S而流进（或流而流进（或流出）出）V的几率。的几率。右边的积分表示穿过整个封闭面右边的积分表示穿过整个封闭面S的几率流量。的几率流量。J的的方向表示几率流动的方向，方向表示几率流动的方向，J的绝对值是单位时间流的绝对值是单位时间流过与其垂
32、直的单位面积的几率大小，所以我们称过与其垂直的单位面积的几率大小，所以我们称J为为几几率流密度率流密度连续性方程连续性方程46本讲稿第四十六页，共七十三页第四节第四节 几率流密度与粒子数守恒定律几率流密度与粒子数守恒定律表示粒子的（平均）电荷密度表示粒子的（平均）电荷密度表示粒子的（平均）电流密度表示粒子的（平均）电流密度电荷守恒定律的表达式电荷守恒定律的表达式47本讲稿第四十七页，共七十三页第三章定态薛定格方程及一维定态问题 第一节第一节 定态薛定格方程定态薛定格方程 从运动学的观点来讨论，量子体系的状态是多种多样的，从运动学的观点来讨论，量子体系的状态是多种多样的，但但其中有一类状态其中有
33、一类状态稳定状态稳定状态却具有十分重要的实际却具有十分重要的实际意义。意义。稳定态是能量取确定值的状态，简称定态。稳定态是能量取确定值的状态，简称定态。这类状态，这类状态，即使时间变了，状态的其他性质可以发生很大的变化，即使时间变了，状态的其他性质可以发生很大的变化，但它的能量取值却一定不变。但它的能量取值却一定不变。定态时定态时势能函数与时间无关，即势能函数与时间无关，即48本讲稿第四十八页，共七十三页第一节第一节 定态薛定格方程定态薛定格方程一、定态薛定格方程的建立一、定态薛定格方程的建立在保守势场中，可以用分离变量法来求解方程。在保守势场中，可以用分离变量法来求解方程。令令A49本讲稿第
34、四十九页，共七十三页一、定态薛定格方程的建立一、定态薛定格方程的建立方程（方程（1）的解是）的解是 在数学上它叫做算符的本征方程在数学上它叫做算符的本征方程(或称特征方程或称特征方程)根根据据一一般般的的波波动动形形式式可可以以说说A/h。由由物物质质波波假假说说，频频率率与粒子的能量与粒子的能量E的关系为的关系为E/h。所以。所以AE。方程（方程（2）就可以写成）就可以写成定态薛定格方程定态薛定格方程50本讲稿第五十页，共七十三页一、定态薛定格方程的建立一、定态薛定格方程的建立算符作用在某函数上常数乘以同一函数算符作用在某函数上常数乘以同一函数 本征值；本征函数；本征值谱。本征值；本征函数；
35、本征值谱。定定态态薛薛定定格格方方程程是是能能量量算算符符的的本本征征方方程程，两两者者之之间间有有以以下下对对应应关系：关系：定态薛定格方程定态波函数 时能量的可测量值 E体系在实验上可测得的全部能量值物理上数学上能量算符 的本征方程能量算符 的本征函数能量算符 的一个本征值 E能量算符 的本征值谱51本讲稿第五十一页，共七十三页一、定态薛定格方程的建立一、定态薛定格方程的建立定态问题实际上就是求解能量算符的本征方程。这定态问题实际上就是求解能量算符的本征方程。这个本征方程是微分方程，但它不是一个普通的微分个本征方程是微分方程，但它不是一个普通的微分方程，而是含有一个待定常数方程，而是含有一
36、个待定常数E，而，而E本身又有确本身又有确定物理含义的微分方程。定物理含义的微分方程。简并度简并度：如果对应一个：如果对应一个E值，有值，有f个线性独立的波个线性独立的波函数，满足本征方程，则称对应这个能量函数，满足本征方程，则称对应这个能量E是是f度简度简并的，简并度有时也称并的，简并度有时也称退化度退化度。52本讲稿第五十二页，共七十三页二、定态的特点和实现定态的条件1 1、定态的特点、定态的特点（1）任何时刻，能量的取值不变！任何时刻，能量的取值不变！前面讲过，与时间相关的定态波函数为前面讲过，与时间相关的定态波函数为其中其中E是分离常数，不仅与是分离常数，不仅与 无关，而且也与无关，而
37、且也与t无关。总之，只要体无关。总之，只要体系所处系所处力场不变（力场不变（V不变）不变），若在某一时刻，体系的能量取确，若在某一时刻，体系的能量取确定值，则在以后的任何时刻，状态的其他性质可以发生很多的变定值，则在以后的任何时刻，状态的其他性质可以发生很多的变化，但其能量取值却一定不变！化，但其能量取值却一定不变！53本讲稿第五十三页，共七十三页二、定态的特点和实现定态的条件（2）对于定态，所有不显含时间）对于定态，所有不显含时间t的物理量，其取值几率与平的物理量，其取值几率与平均值都不随时间改变。均值都不随时间改变。说明在定态时，位置几率密度与时间无关。说明在定态时，位置几率密度与时间无关
38、。2 2。实现定态的条件。实现定态的条件初始时刻，状态处于定态，才能保证以初始时刻，状态处于定态，才能保证以后时刻也为定态！后时刻也为定态！54本讲稿第五十四页，共七十三页第一节第一节 定态薛定格方程定态薛定格方程1.1.求波函数的步骤：求波函数的步骤：求波函数的步骤：求波函数的步骤：由由由由体系的势能体系的势能体系的势能体系的势能写出薛定谔方程写出薛定谔方程写出薛定谔方程写出薛定谔方程解方程得一般解解方程得一般解解方程得一般解解方程得一般解根据标准条件和归一化条件确定有关常数项根据标准条件和归一化条件确定有关常数项根据标准条件和归一化条件确定有关常数项根据标准条件和归一化条件确定有关常数项2
39、.求粒子出现概率极大、极小的位置求粒子出现概率极大、极小的位置求概率密度函数求概率密度函数令令，解出，解出x=xm55本讲稿第五十五页，共七十三页第二节第二节 梯形位梯形位梯形位的位能形式梯形位的位能形式描述电子在金属边缘时的运动，常用这种类型的位加以近似描述电子在金属边缘时的运动，常用这种类型的位加以近似处理处理V056本讲稿第五十六页，共七十三页第二节第二节 梯形位梯形位57本讲稿第五十七页，共七十三页第二节第二节 梯形位梯形位0V0EV0 时，时，X0区域，没有向左运动区域，没有向左运动的波，的波，D0E0区域，为保证波函区域，为保证波函数有限，数有限，D058本讲稿第五十八页，共七十三
40、页第二节第二节 梯形位梯形位令令当当 时时59本讲稿第五十九页，共七十三页第二节第二节 梯形位梯形位按连接条件按连接条件60本讲稿第六十页，共七十三页第二节第二节 梯形位梯形位61本讲稿第六十一页，共七十三页62本讲稿第六十二页，共七十三页第二节第二节 梯形位梯形位当当 时时按连接条件按连接条件63本讲稿第六十三页，共七十三页第二节第二节 梯形位梯形位X0的区间，波函数呈指数衰减，很快降低到零，因此可以的区间，波函数呈指数衰减，很快降低到零，因此可以认为是没有透射波。认为是没有透射波。这时，入射波全部被反射回来。这时，入射波全部被反射回来。64本讲稿第六十四页，共七十三页第三节第三节 一维势垒
41、隧道效应一维势垒隧道效应 (tunneleffect)粒子在粒子在x方向运动，势能分布为方向运动，势能分布为按传统波动理论，为了求出势垒右面按传统波动理论，为了求出势垒右面出射的波，我们必须考虑在出射的波，我们必须考虑在x=0及及x=a之间无数次波的来回反射，并把之间无数次波的来回反射，并把所有透射到势垒右边的分波加起来，所有透射到势垒右边的分波加起来，就是透射波就是透射波0a65本讲稿第六十五页，共七十三页第三节第三节 一维势垒隧道效应一维势垒隧道效应 (tunneleffect)F薛定格方程为薛定格方程为2区区1区区3区区66本讲稿第六十六页，共七十三页第三节第三节 一维势垒隧道效应一维势
42、垒隧道效应 (tunneleffect)令令则则67本讲稿第六十七页，共七十三页第三节第三节 一维势垒隧道效应一维势垒隧道效应 (tunneleffect)正向传播正向传播负向传播负向传播因因为透射波，无反射波，故为透射波，无反射波，故C=0；再由下面条件求出再由下面条件求出其余其余5个系数个系数入射波入射波反射波反射波透射波透射波68本讲稿第六十八页，共七十三页第三节第三节 一维势垒隧道效应一维势垒隧道效应 (tunneleffect)69本讲稿第六十九页，共七十三页第三节第三节 一维势垒隧道效应一维势垒隧道效应 (tunneleffect)70本讲稿第七十页，共七十三页第三节第三节 一维势
43、垒隧道效应一维势垒隧道效应 (tunneleffect)反射系数反射系数透射系数透射系数71本讲稿第七十一页，共七十三页第三节第三节 一维势垒隧道效应一维势垒隧道效应 (tunneleffect)o在EU0情况下，按经典理论，入射粒子恒可以在垒的右边出现，入射波被全部透射，但在量子力学中，尽管粒子的能量高于势垒高度，但仍有被反射回来的可能，即 o在EU0但极接近U0的情况时o势垒越低（U0小），垒的厚度越窄（a小），则越容易透射72本讲稿第七十二页，共七十三页第三节第三节 一维势垒隧道效应一维势垒隧道效应 (tunneleffect)在EU0情况下，按经典理论，入射粒子根本无法穿过势垒透射到垒的另一边，而是被毫无例外地被折回，这时反射系数为1，透射系数为0，但在量子力学中，透射系数并不为0，粒子仍有可能穿过势垒而到达垒粒子仍有可能穿过势垒而到达垒的另一边。隧道效应的另一边。隧道效应。73本讲稿第七十三页，共七十三页