第六章振动和波PPT讲稿.ppt

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1、第六章振动和波1第1页，共97页，编辑于2022年，星期三1 线性振动线性振动 一、简谐振动的描述一、简谐振动的描述 1、回复力第2页，共97页，编辑于2022年，星期三 2、几个基本的物理量、几个基本的物理量O 平衡位置O：位移x 振幅A 周期T 频率第3页，共97页，编辑于2022年，星期三 3、能量描述对孤立系统，总能量E是常数，在平衡位置，势能必有最小值。在转折点，速率必为零第三章中，在平衡位置附近（取平衡位置为零）将势能函数展开，第4页，共97页，编辑于2022年，星期三 4、简谐振动的振动方程和它的解第5页，共97页，编辑于2022年，星期三竖直的弹簧振子:所以新的平衡位置下移了x

2、0.OxmOxx0第6页，共97页，编辑于2022年，星期三 如果一个物理量满足简谐振动的运动方程，则这个物理量的变化就是一种简谐振动。方程的形式一样,就是平衡位置不同.第7页，共97页，编辑于2022年，星期三单摆：*第8页，共97页，编辑于2022年，星期三复摆：*第9页，共97页，编辑于2022年，星期三扭摆：*第10页，共97页，编辑于2022年，星期三振动方程的解：第11页，共97页，编辑于2022年，星期三常数的物理意义 角频率振幅确定后，振动系统的状态唯一地由相位决定。A 振幅第12页，共97页，编辑于2022年，星期三t+=0t+=/2t+=t+=3/2 相位比时间更直接地反映

3、作周期运动的系统的运动状态。第13页，共97页，编辑于2022年，星期三常数的确定：由系统本身的性质决定。A和0由初始条件决定。初始条件：当t=0时，x=x0，v=v0，带入方程的解，取哪一个象限由x0和v0的符号决定。第14页，共97页，编辑于2022年，星期三例：一个简谐振动，=3Hz.当 t=0,x0=0.2m,v0=4.0m/s.求振动表达式。第15页，共97页，编辑于2022年，星期三 5、旋转矢量图示法一个简谐振动可以与一个匀速圆周运动相联系。第16页，共97页，编辑于2022年，星期三第17页，共97页，编辑于2022年，星期三例：一质点作简谐振动，A=10cm,T=4.0s,当

4、 t=0,x0=-5.0cm,且质点向-x方向运动。求(1)t=1.0s时质点的位移;(2)质点第一次到达x=5cm 的时间。(3)质点第二次到达x=5cm 和第一次到达x=5cm 的时间间隔。t=0t1t2第18页，共97页，编辑于2022年，星期三 二、简正模二、简正模 一个多自由度振动系统，整个系统如何运动？一个系统的固有频率由势能曲线在稳定平衡点的二阶导数决定。若系统孤立，则系统能量守恒，可知系统必须按统一的频率振动。在多自由度情况下，系统振动的频率如何决定？讨论二自由度振动。两个单摆由一根弹簧耦合起来。T1T2mm12 设摆长l相等，摆球质量m相等。确定系统的运动需要两个变量，1和2

5、。考虑小振幅振动，摆球水平位移x=lsin=l ，竖直位移y=l-lcos=0，所以弹簧保持水平。第19页，共97页，编辑于2022年，星期三取弹簧原长为两摆球悬垂时，当两球分别具有水平位移x1=l 1和x2=l 2，弹簧伸长为x2 x1=l(2 1)。第20页，共97页，编辑于2022年，星期三设1=Acos(t+0),2=Bcos(t+0),代入上式，得此方程组有非零解的条件是系数行列式等于零。第21页，共97页，编辑于2022年，星期三将1代入方程组，得第一个特解，A/B=1，A=B。表明此时两摆球无相对运动，弹簧不变形，两摆球同步地整体运动即系统质心作振动。将2代入方程组，得第二个特解

6、，A/B=-1，A=-B。表明此时质心不动，两摆球对称地相向或相背运动，此时弹簧中的弹力必是一端固定时的两倍。第22页，共97页，编辑于2022年，星期三 可见，系统存在两种基本的振动模式，称为简正模，振动模式的频率称为简正频率。系统实际的振动是简正模的线性组合。第23页，共97页，编辑于2022年，星期三设法简化描写方式：对第一个特解，有对第二个特解，如果令则第一个特解为第二个特解为第24页，共97页，编辑于2022年，星期三通解为表示1和2各自独立地以1 和1作简谐振动。对N个自由度地系统，若能找到N个独立的变量，它们可以确定系统的运动，并当系统运动时，这些变量各自独立地作简谐振动，这种变

7、量叫简正坐标。1和2就是简正坐标。第25页，共97页，编辑于2022年，星期三 一个有N个自由度的振动系统可作N种频率的简谐振动，对应有N个简正坐标，N个简正频率和N个简正模。其中的每个振子，将以一定的方式做N个简正模的组合振动。如果一开始就用简正坐标，这正是两个简正坐标1和2的振动方程。第26页，共97页，编辑于2022年，星期三 三、阻尼振动三、阻尼振动*临界阻尼第27页，共97页，编辑于2022年，星期三 四、受迫振动四、受迫振动*瞬态解和稳态解瞬态解随时间衰减，t，瞬态解趋于零。稳态解：第28页，共97页，编辑于2022年，星期三 五、共振五、共振*第29页，共97页，编辑于2022年

8、，星期三速度共振可以证明，V的相位和Fm的相位相同。因为P=FV，所以功率在共振时有极大值，此为能量共振。共振的应用第30页，共97页，编辑于2022年，星期三 1940年11月7日，美国Tacoma Narrows 悬索桥建成通车后四个月在大风中倒塌。第31页，共97页，编辑于2022年，星期三作业：第六章：1，3，6，7，9第32页，共97页，编辑于2022年，星期三2 振动的合成和分解振动的合成和分解 一、同振动方向，同频率简谐振动的合成一、同振动方向，同频率简谐振动的合成第33页，共97页，编辑于2022年，星期三 二、同振动方向，不同频率简谐振动的合成二、同振动方向，不同频率简谐振动

9、的合成 拍拍第34页，共97页，编辑于2022年，星期三第35页，共97页，编辑于2022年，星期三 三、振动方向垂直，同频率简谐振动的合成三、振动方向垂直，同频率简谐振动的合成 第36页，共97页，编辑于2022年，星期三第37页，共97页，编辑于2022年，星期三 四、振动方向垂直，不同频率简谐振动的合成四、振动方向垂直，不同频率简谐振动的合成 当两个互相垂直的简谐振动的频率成整数比时，合成的轨迹闭合，运动是周期的，叫李萨如图。（Lissajous Figure）第38页，共97页，编辑于2022年，星期三 五、振动的分解五、振动的分解 频谱频谱 一个任意的振动可以分解成多个不同频率的简谐

10、振动的迭加。傅立叶分解：x(t)=x(t+T),第39页，共97页，编辑于2022年，星期三频谱：振幅频率图*方波的频谱锯齿波的频谱第40页，共97页，编辑于2022年，星期三相同的基频，不同的频谱，导致同一音调，不同的音质。第41页，共97页，编辑于2022年，星期三3 非线性振动简介非线性振动简介 非线性振动：回复力中出现高次项。例：回复力F=-(1+Bx2)kx，硬弹簧。回复力F=-(1-Bx2)kx，软弹簧。第42页，共97页，编辑于2022年，星期三解这个方程可得，振动偏离简谐运动，成为基频和各次谐频的简谐振动的合成。忽略高次项，在023时，T对T0的偏离小于1%。可见周期对角度不是

11、非常敏感的。实际上，一个运动系统所受的影响是复杂的。实际生活中的运动方程都是非线性的。非线性方程在多数情况下，是无法得到解析解的。于是需要用数值解法*。在求数值解的过程中，发现了初值敏感性。初值敏感性。第43页，共97页，编辑于2022年，星期三以单摆为例:任一时刻摆的速度和角位移取决于系统总能量E.(P117)当E2mgl 时,无转折点,摆单向运动,分为两支,相轨迹非闭合.当E=2mgl 时,临界状态.此时摆的运动对总能量十分敏感.相轨出现“分岔”,分岔点叫“鞍点”.第44页，共97页，编辑于2022年，星期三单摆的运动对能量的依赖关系分为两类:一类为一般关系,能量确定,运动完全确定.可“重

12、现”,可“预报”.另一类为敏感关系,能量的微小差别会导致运动不能确定.不可预报的“随机性”,称“混沌”.许多非线性问题内部都存在一个对初值参数十分敏感的区域.无论是物理,化学,生物,还是商业系统,都存在类似情况.所以“混沌”运动是一种比机械运动更普遍的运动.第45页，共97页，编辑于2022年，星期三这是决定性系统内部固有的一种随机性，这种随机性来自非线性。这就是“混沌”（chaos）。第46页，共97页，编辑于2022年，星期三 人们发现，支配非线性系统的规律太深奥了。自然界的各种系统，都被各种各样的因素、关系连结、纠缠在一起，形成十分敏感的网络。一个地方的小小的波动会引起另一个地方的强烈反

13、应。一切似乎变得不可认识，不可预测。于是探索复杂系统如何自组织成有序的世界，是今天科学界关注的问题。混沌的本质是，一切各种层次和各种不同类别的系统都是浑然纠结成一体的，都是相互关联相互影响的。一个原因可能引起千百种结果；一个结果可能有千百种原因。一切都变得那么不可预测。这是一个令人沮丧的结论，同时也是一个最有用的伟大结论。生命就是在混沌中建立了秩序而得以诞生的。把对世界的认识看成有一定的不确定性才是混沌理论的真谛。摘自混沌状态的清晰思考王颖第47页，共97页，编辑于2022年，星期三作业：10，21，22，23，24第48页，共97页，编辑于2022年，星期三4 简谐波简谐波 一、波动的基本概

14、念一、波动的基本概念 波动是振动状态的传播。*波源传播介质 连续介质 弹性介质横波纵波第49页，共97页，编辑于2022年，星期三波的维数 一维，二维，三维周期波和非周期波 简谐波 脉冲波 波面和波前 平面波 球面波波线波速第50页，共97页，编辑于2022年，星期三波的周期 频率 波长第51页，共97页，编辑于2022年，星期三 二、一维简谐波的描述*第52页，共97页，编辑于2022年，星期三第53页，共97页，编辑于2022年，星期三 1、平面简谐波的表达式 平面波的波面是平面，所有的波线都是垂直于波面的平行线。波面上各点的振动相位都相同，所以波面上任一点的相位都可以代表整个波面上所有点

15、的相位，因此一维简谐波的运动学方程可以看成是平面简谐波的运动学方程。一维简谐波的运动学方程第54页，共97页，编辑于2022年，星期三设设O点的振动方程为点的振动方程为某一振动状态从某一振动状态从O点传播到点传播到P点的时间为点的时间为c第55页，共97页，编辑于2022年，星期三波长描述波的空间周期性，是一个周期内振动状态传播的距离。周期T描述波的时间周期性，是波传播一个波长的距离所需要的时间。振源每振动一次，波传播一个波长，第56页，共97页，编辑于2022年，星期三 2、物理意义：x一定（x=x0)时，y=y(t),波的表达式为该点的振动方程；t一定（t=t0)时，y=y(x),波形图

16、x、t都变，y=y(x,y),行波沿X轴负方向传播时，p点的相位超前o点的相位。这是一维简谐波的运动学方程，也是平面简谐波的表达式。第57页，共97页，编辑于2022年，星期三 3、波动曲线与振动曲线的区别、联系第58页，共97页，编辑于2022年，星期三 4、相速度设时刻t在x的振动状态在t+t时刻传到x+x处。注意：c与v不同。t t+tct第59页，共97页，编辑于2022年，星期三例：一平面波，c=20m/s,已知A点的振动方程为yA=3cos4t，向x正方向传播。写出波动表达式与C，D处的振动方程。C B A D 8m 5m 9m解：以A为原点，波动表达式C点振动表达式：yC=3co

17、s4(t+13/c)D点振动表达式：yD=3cos4(t-9/c)以B为原点，B点的振动表达式为：yB=3cos4(t+5/c)则波动表达式为第60页，共97页，编辑于2022年，星期三C点振动表达式：yC=3cos4(t+13/c)D点振动表达式：yD=3cos4(t-9/c)第61页，共97页，编辑于2022年，星期三 三、波的能量与能流三、波的能量与能流 1、能量 动能和势能第62页，共97页，编辑于2022年，星期三能量密度：能量密度：单位长度(体积)上的能量，（1）介质中某一质元在任一时刻的动能与势能相等，同相位。（2）能量在0和A22之间变化，能量也是行波。每一质量元起着传送能量的

18、作用。第63页，共97页，编辑于2022年，星期三2、能流 能流密度*单位时间内通过某一面积的波的能量称为波通过该面积的能流。单位时间内通过垂直波传播方向的单位面积的波的能量称为能流密度。即波的强度。第64页，共97页，编辑于2022年，星期三 3、波的群速 当波不是单色波（单一频率如简谐波）或一群单色波在色散介质（波速与频率有关）中传播时，每一单色波的相速不同，整个波的相速没有意义。定义整个波能量最大点的传播速度为波的群速vg，能量正比于振幅，所以群速是振幅最大点的传播速度。第65页，共97页，编辑于2022年，星期三将前一个缓慢变化的cos因子计入振幅，则对振幅最大的点有相速与群速*的关系

19、第66页，共97页，编辑于2022年，星期三甲波：c，；乙波：c=c+dc，=+d*以甲波为参照系，为两次波峰重合所需时间，合成波的波峰移动的距离是甲波的波长，所以波包相对甲波的速率为/。dBAt时刻ctdt时刻BA第67页，共97页，编辑于2022年，星期三 以地面为参照系，合成波的群速度时间内乙波相对甲波的追赶距离为d，乙波相对甲波的速度是dc，所以=d/dc，tdt时刻BAdBAt时刻c第68页，共97页，编辑于2022年，星期三 四、波的干涉和驻波四、波的干涉和驻波 1、迭加原理：在几个波相遇处质点的振动位移是各个波单独存在时在该点引起位移的矢量和。当几个波相会时，波的重叠不会改变任一

20、个参与相会的波。第69页，共97页，编辑于2022年，星期三第70页，共97页，编辑于2022年，星期三 2、波的干涉*在两列波相遇的区域内，某些点的振动始终加强，某些点的振动始终减弱的现象-称为干涉现象。第71页，共97页，编辑于2022年，星期三相干条件：相干条件：相干条件：相干条件：频率相同 振动方向相同 相位差恒定相干波源S1、S2发出的波在空间P点相遇，两列波在P点的干涉本质上是两个同方向、同频率的简谐振动的叠加。第72页，共97页，编辑于2022年，星期三第73页，共97页，编辑于2022年，星期三第74页，共97页，编辑于2022年，星期三第75页，共97页，编辑于2022年，星

21、期三 3、驻波*一种特殊的干涉现象，它是两列振幅相同、频率相同、振动方向相同，而传播方向相反的波叠加而成的，基本特点是驻驻。波节和波腹第76页，共97页，编辑于2022年，星期三第77页，共97页，编辑于2022年，星期三第78页，共97页，编辑于2022年，星期三 两个波节之间的点，振动的相位相同。一个波节两侧的点相位相反。波形不移动，能量不传播，能量在两个波节之间不断在动能和势能之间转化交换。驻波不是波。第79页，共97页，编辑于2022年，星期三第80页，共97页，编辑于2022年，星期三 4、半波损失*波在反射点的表现：固定端自由端半波损失第81页，共97页，编辑于2022年，星期三第

22、82页，共97页，编辑于2022年，星期三 1、当反射点是自由端时（或当波从波密介质向波疏介质传播时），、当反射点是自由端时（或当波从波密介质向波疏介质传播时），反射过程中没有半波损失，在反射点入射波和反射波引起的振动方程反射过程中没有半波损失，在反射点入射波和反射波引起的振动方程是相同的。是相同的。2、当反射点是固定端时（或当波从波疏介质向波密介质传播时），、当反射点是固定端时（或当波从波疏介质向波密介质传播时），反射过程中一定伴有半波损失，在反射点入射波和反射波引起的振动反射过程中一定伴有半波损失，在反射点入射波和反射波引起的振动方程的相位是相反的，即入射波在反射时有相位方程的相位是相反的

23、，即入射波在反射时有相位 的突变的突变。例：已知入射波表达式，求反射波的表达式。、将反射点坐标代入入射波方程，得入射波在反射点的表达式；、将反射点坐标代入入射波方程，得入射波在反射点的表达式；、判断入射波在反射过程中有无半波损失，求出反射波在反射点的表达、判断入射波在反射过程中有无半波损失，求出反射波在反射点的表达式；式；、写出反射波的标准表达式，将反射点的坐标代入，并与、写出反射波的标准表达式，将反射点的坐标代入，并与中的振动方程比中的振动方程比较，确定其反射波表达式中的初相位即可。较，确定其反射波表达式中的初相位即可。第83页，共97页，编辑于2022年，星期三第84页，共97页，编辑于2

24、022年，星期三第85页，共97页，编辑于2022年，星期三5、两端固定的弦中的驻波 设弦长L，弦上驻波一旦形成，其上必有整数个波节，所以 L=n/2对应n的波长第86页，共97页，编辑于2022年，星期三 五、连续介质的波动微分方程五、连续介质的波动微分方程声波第87页，共97页，编辑于2022年，星期三声速第88页，共97页，编辑于2022年，星期三声强I0=10-12 W/m2.(L=0dB)Imax=1 W/m2.(L=120dB)第89页，共97页，编辑于2022年，星期三第90页，共97页，编辑于2022年，星期三水波浅水波和深水波表面张力波和重力波浅水面上水波的波速与波长无关，只

25、决定于深度。海底地震引起的海啸的波长为100400km，海洋深度平均4km，离岸越近，h减小，波速越小，后浪推前浪，浪头越来越高。深水水面波第91页，共97页，编辑于2022年，星期三5 多普勒效应多普勒效应 当波源与观察者有相对于传播介质有运动时，观察者接收到的频率与波源发出的频率有差异的现象称为多普勒效应。设波源和观察者均沿它们的连线运动，波源相对介质的速度为 vS，观察者相对介质的速度为 vD，并规定 vS、vD朝着对方运动取正值，背离对方运动取负值。1、波源不动，观察者相对介质运动时，第92页，共97页，编辑于2022年，星期三2、观察者不动，波源相对介质运、观察者不动，波源相对介质运动时，动时，第93页，共97页，编辑于2022年，星期三3、当波源与观测者相对介质都有相对运动时、当波源与观测者相对介质都有相对运动时，4、高速效应*艏波和马赫锥马赫数 c/vs=sin第94页，共97页，编辑于2022年，星期三第95页，共97页，编辑于2022年，星期三作业：第六章26，27，34，35，38，39，40第96页，共97页，编辑于2022年，星期三第97页，共97页，编辑于2022年，星期三