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1、应用数理统计应用数理统计第1页，共24页，编辑于2022年，星期六数理统计的基本内容：数理统计的基本内容：1、试验设计：设计有效地获得数据的方法，如正交设、试验设计：设计有效地获得数据的方法，如正交设计（第六章）计（第六章）2、统计和推断：靠抽验得到的数据来推断整体的情况，、统计和推断：靠抽验得到的数据来推断整体的情况，包括参数估计（第二章），假设检验（第三章）包括参数估计（第二章），假设检验（第三章）3、研究应用统计推断中的基本原理，研究处理线性模、研究应用统计推断中的基本原理，研究处理线性模型中的某些问题的方法，如回归分析（第四章），方型中的某些问题的方法，如回归分析（第四章），方差分析（
2、第五章）差分析（第五章）第2页，共24页，编辑于2022年，星期六一、总体与样本一、总体与样本总体：总体：是指对某一问题的研究对象的全体是指对某一问题的研究对象的全体.亦称母体。亦称母体。在数理统计中，总体就是具有确定分布的随机变量。在数理统计中，总体就是具有确定分布的随机变量。所以总体通常表示为随机变量的概率分布所以总体通常表示为随机变量的概率分布F(x)或概率或概率密度密度 f(x)。个体：个体：组成总体的每个研究对象。组成总体的每个研究对象。一个个体是随机变量的一次观测值。一个个体是随机变量的一次观测值。1-2 数理统计的基本概念数理统计的基本概念第3页，共24页，编辑于2022年，星期
3、六样本：样本：从总体中从总体中随机抽取随机抽取的若干个个体。的若干个个体。样本中个体的个数叫做样本大小或样本容量。样本中个体的个数叫做样本大小或样本容量。样本中的个体称为样本中的个体称为样品样品。注：样本大小为注：样本大小为n n 的样本可以看成是一个的样本可以看成是一个n n维随机维随机向量向量(X1,Xn)。简单随机样本简单随机样本(X1,Xn)：X1,Xn相互独立，并相互独立，并与总体与总体X具有具有相同的分布函数具有具有相同的分布函数F，简称简称样本。样本。1-2 数理统计的基本概念数理统计的基本概念第4页，共24页，编辑于2022年，星期六样本值与样本空间：样本值与样本空间：样本样本
4、(X1,Xn)每次抽样得到每次抽样得到的观察值的观察值(x1,xn)称为称为样本值样本值，样本值的集合称为，样本值的集合称为样本空间样本空间。样本的联合概率分布与密度：样本的联合概率分布与密度：数理统计的任务数理统计的任务由样本由样本推断总体推断总体1-2 数理统计的基本概念数理统计的基本概念第5页，共24页，编辑于2022年，星期六二、经验分布与理论分布二、经验分布与理论分布 理论分布总体分布理论分布总体分布 经验分布样本分布经验分布样本分布经验分布的构建：经验分布的构建：将样本将样本(X1,Xn)的的n 个观察值个观察值x1,xn 由小到大排列为，由小到大排列为，则相应的，则相应的样本分布
5、为样本分布为1-2 数理统计的基本概念数理统计的基本概念第6页，共24页，编辑于2022年，星期六经验分布与经验分布与理论分布理论分布的关系（的关系（Glivenko定理）：定理）：经验分布经验分布Fn(x)以概率以概率1关于关于x 一致收敛到一致收敛到 理论分布理论分布F(x)，即，即1-2 数理统计的基本概念数理统计的基本概念第7页，共24页，编辑于2022年，星期六三、统计量三、统计量 定义：设定义：设X1,Xn是来自总体是来自总体X的一个样本的一个样本,称不包含称不包含参数的实值函数参数的实值函数 T(X1,Xn)是一个是一个统计量统计量.统计量是一个随机变量。如：统计量是一个随机变量
6、。如：1-2 数理统计的基本概念数理统计的基本概念样本均值样本均值样本方差样本方差第8页，共24页，编辑于2022年，星期六样本标准差样本标准差样本样本k阶阶(原点原点)矩矩样本样本k阶中心矩阶中心矩1-2 数理统计的基本概念数理统计的基本概念四、样本矩四、样本矩样本二阶中心矩样本二阶中心矩第9页，共24页，编辑于2022年，星期六1-2 数理统计的基本概念数理统计的基本概念注：注：样本二阶中心矩与样本方差的区别：样本二阶中心矩与样本方差的区别：样本矩与总体矩之间的关系：样本矩与总体矩之间的关系：只要总体的只要总体的r阶矩存在，则样本小于等于阶矩存在，则样本小于等于r的各的各阶矩依概率收敛到总
7、体的各阶矩。阶矩依概率收敛到总体的各阶矩。第10页，共24页，编辑于2022年，星期六抽样分布抽样分布 统计量的分布统计量的分布.几种常用的统计统计分布几种常用的统计统计分布(一一)分布分布设设X1,Xn是来自总体是来自总体N(0,1)的样的样本本,则称统计量则称统计量服从自由度为服从自由度为n的的 分布分布.记为记为 .1-3 抽样分布抽样分布第11页，共24页，编辑于2022年，星期六分布的概率密度为分布的概率密度为0f(x)yn=1n=5n=151-3 抽样分布抽样分布第12页，共24页，编辑于2022年，星期六分布的性质：分布的性质：1-3 抽样分布抽样分布性质性质1：设：设 ，则，则
8、性质性质2：设：设 ，则，则第13页，共24页，编辑于2022年，星期六(二二)t分布分布设设XN(0,1),并且并且X,Y独立独立,则称随机变量则称随机变量服从自由度为服从自由度为n的的t分布分布.记为记为t t(n).1-3 抽样分布抽样分布第14页，共24页，编辑于2022年，星期六t分布的概率密度为分布的概率密度为0h(t)tn=1n=10n=(正态正态)1-3 抽样分布抽样分布第15页，共24页，编辑于2022年，星期六T 分布的特点分布的特点：1、其概率密度函数是偶函数。当、其概率密度函数是偶函数。当n30时，时，t 分布分布与标准正态分布非常接近；当与标准正态分布非常接近；当n
9、趋于无穷大时，趋于无穷大时，t 分分布趋于标准正态分布。布趋于标准正态分布。2、t 分布的尾重比正态分布大。分布的尾重比正态分布大。3、t 分布只存在分布只存在kn阶矩。阶矩。1-3 抽样分布抽样分布第16页，共24页，编辑于2022年，星期六(三三)F分布分布设设 ,并且并且X,Y相互独立相互独立,则称随机变量则称随机变量服从自由度为服从自由度为(m,n)的的F分布分布.记为记为F F(m,n).1-3 抽样分布抽样分布第17页，共24页，编辑于2022年，星期六0(y)yF分布的概率密度为分布的概率密度为n1=10,n2=25n1=10,n2=51-3 抽样分布抽样分布第18页，共24页，
10、编辑于2022年，星期六1-3 抽样分布抽样分布分位数分位数1、p分位数：设分位数：设0p )=,则称则称是是X的上侧分位数，即的上侧分位数，即1-分位数分位数。3、双侧分位数：若存在、双侧分位数：若存在1，2，使得，使得p(X 1)=/2，p(X 2)=/2,则称则称1，2是是X的双侧分位数。的双侧分位数。第19页，共24页，编辑于2022年，星期六Th3.6 设设X N(,2),X1,Xn是是X 的一个样本，的一个样本，则则 随机变量随机变量 服从正态分布：服从正态分布：1-3 抽样分布抽样分布推论推论 正态总体正态总体N(,2)的样本均值的样本均值正态总体的样本均值与样本方差的分布正态总
11、体的样本均值与样本方差的分布第20页，共24页，编辑于2022年，星期六Th3.7 设设X1,Xn是总体是总体N(a,2)的样本的样本,S2 分分 别是样本均值和样本方差别是样本均值和样本方差,则有则有 与与 S2相互独立，相互独立，并且并且1-3 抽样分布抽样分布注：注：Th3.7可用于单个正态总体的方差检验。可用于单个正态总体的方差检验。第21页，共24页，编辑于2022年，星期六Th3.8 设设X1,X2,Xn是总体是总体N(,2)的样本的样本,S2 分别是样本均值和样本方差分别是样本均值和样本方差,则有则有 1-3 抽样分布抽样分布注：注：Th3.8可用于方差未知时单个正态总体的均值检
12、可用于方差未知时单个正态总体的均值检验。验。第22页，共24页，编辑于2022年，星期六 Th3.9 设设X1,Xm 与与Y1,Yn 分别是来自正态总体分别是来自正态总体N(a1,2),N(a2,2)的样本的样本,且这两个样本相互独立，则且这两个样本相互独立，则1-3 抽样分布抽样分布其中其中注：注：Th3.9可用于方差未知但相等时两个正态总体的均可用于方差未知但相等时两个正态总体的均值检验。值检验。第23页，共24页，编辑于2022年，星期六 Th3.10 设设X1,Xm 与与Y1,Yn 分别是来自正态总体的分别是来自正态总体的 样本样本,且这两个样本相互独立，则且这两个样本相互独立，则1-3 抽样分布抽样分布注：注：Th3.10可用于两个正态总体的方差检验。可用于两个正态总体的方差检验。第24页，共24页，编辑于2022年，星期六