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1、二项式定理计数原理第1页，此课件共25页哦返回目录返回目录 1.1.二项式定理的内容二项式定理的内容 (a+b)n=.右边的多项式叫做右边的多项式叫做(a+b)n的的 ，其中，其中的系数的系数 (r=0,1,n)叫做展开式的叫做展开式的 ，式中的第式中的第r+1项项 an-rbr叫做二项展开式的叫做二项展开式的 ，记作，记作Tr+1=(其中其中0rn,r N,n N*).二项展开式二项展开式 二项式系数二项式系数 通项通项 第2页，此课件共25页哦 2.二项式系数的性质 （1）对称性与首末两端）对称性与首末两端“等距离等距离”的两个二项式系数相等，的两个二项式系数相等，即即 .（2）增减性与最
2、大值由）增减性与最大值由 知，知，当当k 时，二项式系数是逐渐的时，二项式系数是逐渐的 ，由对称性知它的，由对称性知它的后半部分是逐渐的后半部分是逐渐的 ，且在中间取最大值，且在中间取最大值.当当n是偶数时，中间的一项取得最大值；当是偶数时，中间的一项取得最大值；当n是奇数时，中间的两是奇数时，中间的两项项 相等，且同时取得最大值相等，且同时取得最大值.（3）各二项式系数的和为）各二项式系数的和为2n，即，即 =2n.（4）奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和，）奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和，即即返回目录返回目录 增大增大 减小减小 第3页，此课件共25页哦（1
3、）的展开式中的展开式中x5的系数为的系数为 .（2）若在）若在(1+ax)5的展开式中的展开式中x3的系数为的系数为-80,则则a=.返回目录返回目录 考点一考点一考点一考点一 求二次展开式的特定项求二次展开式的特定项求二次展开式的特定项求二次展开式的特定项 【分析分析分析分析】由通项公式列方程可得由通项公式列方程可得.第4页，此课件共25页哦 【解析解析解析解析】（1）二项展开式的通项为）二项展开式的通项为 令令8-=5,则则r=2,T3=(-1)2 x5=28x5,x5的系数为的系数为28.（2）在二项展开式中通项公式）在二项展开式中通项公式Tr+1=(ax)r=arxr,令令r=3,得得
4、x3的系数的系数:a3=-80,a3=-8,a=-2.返回目录返回目录 第5页，此课件共25页哦 【评析评析评析评析】（1）二项展开式的通项公式反映出展开式）二项展开式的通项公式反映出展开式在指数、项数、系数等方面的内在联系，因此能运用二在指数、项数、系数等方面的内在联系，因此能运用二项展开式的通项公式求特定项、特定项的系数或指数项展开式的通项公式求特定项、特定项的系数或指数.（2）求指定项的系数主要通过二项式定理的通项公）求指定项的系数主要通过二项式定理的通项公式列方程求得，考查计算能力式列方程求得，考查计算能力.返回目录返回目录 第6页，此课件共25页哦若若(x+)n展开式的二项式系数之和
5、为展开式的二项式系数之和为64,则展开式的常数项则展开式的常数项为为()A.10 B.20 C.30 D.120B(由展开式的二项式系数之和为由展开式的二项式系数之和为64,得得2n=64,得得n=6,则展开则展开式中的第式中的第r+1项项Tr+1=x6-r(x-1)r=x6-2r,令令6-2r=0,得得r=3.则展开式中的常数项为则展开式中的常数项为T4=20.故应选故应选B.)返回目录返回目录 对应演练对应演练对应演练对应演练 B第7页，此课件共25页哦（1+2x）n的展开式中第的展开式中第6项与第项与第7项的系数相等，求展开项的系数相等，求展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项式中二项
6、式系数最大的项和系数最大的项.【分析分析分析分析】根据条件可求出根据条件可求出n；再根据；再根据n的奇偶性，确定的奇偶性，确定二项式系数最大的项；系数最大的项则由不等式组确定二项式系数最大的项；系数最大的项则由不等式组确定.返回目录返回目录 考点二考点二考点二考点二 增减性与最值问题增减性与最值问题增减性与最值问题增减性与最值问题 第8页，此课件共25页哦【解析解析解析解析】T6=(2x)5,T7=(2x)6,依题意有依题意有 25=26 n=8.(1+2x)8的展开式中二项式系数最大的项为的展开式中二项式系数最大的项为T5=(2x)4=1 120 x4,设第设第r+1项系数最大项系数最大,则
7、有则有 2r 2r-1 2r 2r+1 返回目录返回目录 第9页，此课件共25页哦 2(8-r+1)r r6 r+12(8-r)r5 又又r N，r=5或或r=6,系数最大的项为系数最大的项为T6=1 792x5，T7=1 792x6.返回目录返回目录 5r6.第10页，此课件共25页哦 【评析评析评析评析】求二项式系数最大的项，要根据二项式系求二项式系数最大的项，要根据二项式系数的性质，数的性质，n为奇数时中间两项的二项式系数最大，为奇数时中间两项的二项式系数最大，n为偶数时为偶数时中间一项的二项式系数最大中间一项的二项式系数最大.求展开式中系数最大项与求二求展开式中系数最大项与求二项式系数
8、最大项是不同的，需根据各项系数的正、负变化项式系数最大项是不同的，需根据各项系数的正、负变化情况，一般采用列不等式组、解不等式组的方法情况，一般采用列不等式组、解不等式组的方法.返回目录返回目录 第11页，此课件共25页哦在在(3x-2y)20的展开式中的展开式中,求求:(1)二项式系数最大的项二项式系数最大的项;(2)系数绝对值最大的项系数绝对值最大的项;(3)系数最大的项系数最大的项.返回目录返回目录 对应演练对应演练对应演练对应演练 第12页，此课件共25页哦(1)二项式系数最大的项是第二项式系数最大的项是第11项项,T11=310(-2)10 x10y10=610 x10y10.(2)
9、设系数绝对值最大的项是第设系数绝对值最大的项是第r+1项项,320-r2r 319-r2r+1 320-r2r 321-r2r-1,3(r+1)2(20-r)2(21-r)3r,解得解得 r .所以所以r=8.即即T9=31228x12y8是系数绝对值最大的项是系数绝对值最大的项.返回目录返回目录 于是于是化简得化简得第13页，此课件共25页哦 (3)由于系数为正的项为奇数项由于系数为正的项为奇数项,故可设第故可设第2r-1项系数最大项系数最大,于于是是 322-2r22r-2 324-2r22r-4 322-2r22r-2 320-2r22r,10r2+143r-1 0770 10r2+16
10、3r-9240.解之得解之得r=5,即即25-1=9项系数最大项系数最大.T9=31228x12y8.返回目录返回目录 化简得化简得 第14页，此课件共25页哦设（设（2-x）100=a0+a1x+a2x2+a100 x100，求下列各式的，求下列各式的值：值：（1）a0;（2）a1+a2+a100;（3）a1+a3+a5+a99;（4）（）（a0+a2+a100）2-(a1+a3+a99)2.返回目录返回目录 考点三考点三考点三考点三 利用赋值法求二项式系数和的有关问题利用赋值法求二项式系数和的有关问题利用赋值法求二项式系数和的有关问题利用赋值法求二项式系数和的有关问题 【分析分析分析分析】
11、利用二项式系数的性质利用二项式系数的性质.第15页，此课件共25页哦 【解析解析解析解析】（1）由）由(2-x)100展开式中的常数项为展开式中的常数项为 2100，即，即a0=2100,或令或令x=0，则展开式可化为，则展开式可化为a0=2100.（2）令）令x=1，可得，可得 a0+a1+a2+a100=(2-)100，a1+a2+a100=(2-)100-2100.返回目录返回目录 第16页，此课件共25页哦（3）令）令x=-1,可得可得a0-a1+a2-a3+a100=(2+)100，与与x=1所得到的所得到的联立相减可得联立相减可得a1+a3+a99=.（4）原式）原式=(a0+a2
12、+a100)+(a1+a3+a99)(a0+a2+a100)-(a1+a3+a99)=(a0+a1+a2+a100)(a0-a1+a2-a3+a98-a99+a100)=(2-)100(2+)100=1.返回目录返回目录 第17页，此课件共25页哦 【评析评析评析评析】（1）求关于展开式中系数和的问题，往往）求关于展开式中系数和的问题，往往根据展开式的特点赋给其中字母一些特殊的数，如根据展开式的特点赋给其中字母一些特殊的数，如1,-1,0,.（2）一般地，对于多项式）一般地，对于多项式 g(x)=(a+bx)n=a0+a1x+anxn.g(x)的各项的系数和为的各项的系数和为g(1),g(x)
13、的奇数项的系数和为的奇数项的系数和为 g(1)+g(-1),g(x)的偶数项的系数和为的偶数项的系数和为 g(1)-g(-1).返回目录返回目录 第18页，此课件共25页哦设设(1-3x)9=a0+a1x+a2x2+a3x3+a9x9,则则|a0|+|a1|+|a2|+|a9|=（）A.29 B.49 C.39 D.59 B(由通项公式可知，由通项公式可知，(1-3x)9的展开式中含的展开式中含x的奇次幂的的奇次幂的项的符号均为项的符号均为“-”，即，即a1,a3,a9均小于零均小于零.|a0|+|a1|+|a2|+|a9|=a0-a1+a2-a9.因而在因而在(1-3x)9=a0+a1x+a
14、2x2+a9x9中令中令x=-1，便可求出其值，便可求出其值.即即|a0|+|a1|+|a2|+|a9|=1-3(-1)9=49.故应选故应选B.)返回目录返回目录 对应演练对应演练对应演练对应演练 第19页，此课件共25页哦求值：求值：（1）2n+2n-13+2n-232+23n-1+3n;（2）2 +2 +2 .返回目录返回目录 考点四考点四考点四考点四 有关二项式的应用有关二项式的应用有关二项式的应用有关二项式的应用 【分析分析分析分析】构造二项式，通过赋值法求值构造二项式，通过赋值法求值.【评析评析评析评析】与组合数有关的求值问题，解答过程大体上用两个知识与组合数有关的求值问题，解答过
15、程大体上用两个知识点点:二项展开式的逆用（从右往左用）；二项展开式的逆用（从右往左用）；赋值法赋值法.第20页，此课件共25页哦 【解析解析解析解析】（1）在二项展开式）在二项展开式(a+b)n=an+an-1 b+bn中，令中，令a=2,b=3,得得 2n+2n-13+2n-232+23n-1+3n=(2+3)n=5n.（2）原式）原式 =()+()=(1+1)2n+(1+1)2n=22n+22n-1=22n-1(2+1)=322n-1.返回目录返回目录 第21页，此课件共25页哦证明：证明：2(1+)n1时，时，(1+)n=1+=1+1+2.当当n=1时等时等号成立号成立.(1+)n2成立
16、成立.返回目录返回目录 对应演练对应演练对应演练对应演练 第22页，此课件共25页哦 (1+)n=1+1+1+2+=2+=2+1-()n-1=3-()n-13.2(1+)n3成立成立.返回目录返回目录 第23页，此课件共25页哦 1.1.求二项展开式中指定的项，通常是先根据已知条求二项展开式中指定的项，通常是先根据已知条求二项展开式中指定的项，通常是先根据已知条求二项展开式中指定的项，通常是先根据已知条件求件求件求件求r r，再求，再求，再求，再求T Tr+1r+1.有时还需先求有时还需先求有时还需先求有时还需先求n n，再求，再求，再求，再求r r，才能求出，才能求出，才能求出，才能求出T Tr+1r+1.2.2.有些三项展开式问题可以通过变形成二项式问题加有些三项展开式问题可以通过变形成二项式问题加有些三项展开式问题可以通过变形成二项式问题加有些三项展开式问题可以通过变形成二项式问题加以解决；有时也可以通过组合解决，但要注意分类清楚，以解决；有时也可以通过组合解决，但要注意分类清楚，以解决；有时也可以通过组合解决，但要注意分类清楚，以解决；有时也可以通过组合解决，但要注意分类清楚，不重不漏不重不漏不重不漏不重不漏.返回目录返回目录 第24页，此课件共25页哦第25页，此课件共25页哦