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1、第1讲计数原理二项式定理第1页，共38页，编辑于2022年，星期一2.2.排列与组合排列与组合（1 1）排列：从）排列：从n n个不同元素中，任取个不同元素中，任取m m（m m n n）个）个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n n个不同个不同元素中取出元素中取出m m个元素的一个排列个元素的一个排列.从从n n个不同元素中个不同元素中取出取出m m个元素的排列数公式是个元素的排列数公式是=n n（n n-1 1）（）（n n-2 2）（n n-m m+1+1）或写成）或写成=.（2 2）组合：从）组合：从n n个不同元素中，任取个不同元素中，任取m m
2、（m m n n）个）个元素合成一组，叫做从元素合成一组，叫做从n n个不同元素中取出个不同元素中取出m m个元个元素的一个组合素的一个组合.从从n n个不同元素中取出个不同元素中取出m m个元素的组个元素的组合数公式是合数公式是或写成或写成第2页，共38页，编辑于2022年，星期一（3 3）组合数的性质组合数的性质 =，=+.=+.3.3.二项式定理二项式定理 （1 1）定理：定理：(a+ba+b)n n=a=an n+a+an-n-1 1b+ab+an-n-2 2b b2 2+a an-rn-rb br r+b+bn n(r(r=0,1,2,=0,1,2,n).n).（2 2）二项展开式的
3、通项二项展开式的通项 T Tr+r+1 1=a=an-rn-rb br r，r r=0=0，1 1，2 2，n n，其中，其中 叫做二叫做二 项式系数项式系数.（3 3）二项式系数的性质二项式系数的性质 对称性：与首末两端对称性：与首末两端“等距离等距离”两项的二项式系两项的二项式系 数相等，数相等，即即 =，=，=，.第3页，共38页，编辑于2022年，星期一最大值：当最大值：当n n为偶数时，中间的一项的二项式系数为偶数时，中间的一项的二项式系数 取得最大值；当取得最大值；当n n为奇数时，中间的两项的二项为奇数时，中间的两项的二项 式系数式系数 ，相等，且同时取得最大值相等，且同时取得最
4、大值.各二项式系数的和各二项式系数的和 a a.+.+=+=2 2n n;b b.+.+=+=+.=2 2n n=2 2n-n-1 1.第4页，共38页，编辑于2022年，星期一一一、两个计数原理的应用两个计数原理的应用 例例1 1 某中学拟于下学期在高一年级开设矩阵与变换、某中学拟于下学期在高一年级开设矩阵与变换、信息安全与密码、开关电路与布尔代数等三门数学信息安全与密码、开关电路与布尔代数等三门数学选修课程，在计划任教高一年级的选修课程，在计划任教高一年级的1010名数学教师中，有名数学教师中，有3 3人人只能任教矩阵与变换，有只能任教矩阵与变换，有2 2人只能任教信息安全与密人只能任教信
5、息安全与密码，另有码，另有3 3人只能任教开关电路与布尔代数，这三门人只能任教开关电路与布尔代数，这三门课程都能任教的只有课程都能任教的只有2 2人，现要从这人，现要从这1010名教师中选出名教师中选出9 9人，分人，分别担任这三门选修课程的任课教师，且每门课程安排别担任这三门选修课程的任课教师，且每门课程安排3 3名教名教师任教，则不同的安排方案共有师任教，则不同的安排方案共有 .第5页，共38页，编辑于2022年，星期一思维启迪思维启迪 本题可以根据已知条件作出韦恩图，然后分本题可以根据已知条件作出韦恩图，然后分4 4种情况讨论没有任教的老师，得到答案种情况讨论没有任教的老师，得到答案.解
6、析解析 按逻辑顺序作出如图所示的韦恩图按逻辑顺序作出如图所示的韦恩图.第6页，共38页，编辑于2022年，星期一由韦恩图知，没有任教的老师可分为由韦恩图知，没有任教的老师可分为4 4类情况类情况.第一类，没有任教的老师是只能任教信息安全与密码第一类，没有任教的老师是只能任教信息安全与密码的的2 2位教师中的一位，则任教信息安全与密码的位教师中的一位，则任教信息安全与密码的老师由三门课都能任教的老师由三门课都能任教的2 2位老师来补充，有位老师来补充，有2 2种选法；种选法；第二类，没有任教的老师来自于三门课都能任教的第二类，没有任教的老师来自于三门课都能任教的2 2位位老师中的一位，则剩下的一
7、位老师只能任教信息安全老师中的一位，则剩下的一位老师只能任教信息安全与密码，有与密码，有2 2种选法；种选法；第三类，没有任教的老师来自于只能任教矩阵与变换的第三类，没有任教的老师来自于只能任教矩阵与变换的3 3位老师中的一位，则需从三门课都能任教的位老师中的一位，则需从三门课都能任教的2 2位老师中选位老师中选1 1位来补充，共有位来补充，共有3232种选法；种选法；第7页，共38页，编辑于2022年，星期一第四类，没有任教的老师来自于只能任教开关电路与布尔代第四类，没有任教的老师来自于只能任教开关电路与布尔代数的数的3 3位老师中的一位，则需从三门课都能任教的位老师中的一位，则需从三门课都
8、能任教的2 2位老师中位老师中选选1 1位来补充，共有位来补充，共有3232种选法，故共有种选法，故共有2+2+32+32=162+2+32+32=16种种选法选法.探究提高探究提高解决此类题目的难点在于根据谁来分类，解决此类题目的难点在于根据谁来分类，分类的标准是什么，故考虑问题时，首先要注意分类讨分类的标准是什么，故考虑问题时，首先要注意分类讨论的对象和分类讨论的标准论的对象和分类讨论的标准.变式训练变式训练1 1（1 1）（）（20092009湖南理，湖南理，5 5）从）从1010名大学名大学毕业生中选毕业生中选3 3人担任村长助理，则甲、乙至少有人担任村长助理，则甲、乙至少有1 1人入
9、选人入选，而丙没有入选的不同选法的种数为（，而丙没有入选的不同选法的种数为（）答案答案1616第8页，共38页，编辑于2022年，星期一A.85A.85B.56B.56C.49C.49D.28D.28解析解析丙不入选的选法有丙不入选的选法有=84=84（种）（种）,甲乙丙都不入选的选法有甲乙丙都不入选的选法有=35=35（种）（种）.所以甲、乙至少有一人入选，而丙不入选的选法有所以甲、乙至少有一人入选，而丙不入选的选法有84-84-35=4935=49种种.答案答案CC（2 2）（）（20082008全国全国文，文，1212）将）将1 1，2 2，3 3填入填入3333的方格中，要的方格中，要
10、求每行、每列都没有重复数字，求每行、每列都没有重复数字，右面是一种填法，则不同的填写右面是一种填法，则不同的填写方法共有方法共有()A.6A.6种种B.12B.12种种C.24C.24种种D.48D.48种种第9页，共38页，编辑于2022年，星期一解析解析由于由于3333方格中方格中,每行、每列均每行、每列均没有重复数字，因此可从中间斜对角没有重复数字，因此可从中间斜对角线填起线填起.如图中的如图中的，当，当全为全为1 1时，时，有有2 2种（即第一行第种（即第一行第2 2列为列为2 2或或3 3，当第，当第二列填二列填2 2时，第三列只能填时，第三列只能填3 3，当第一行填完后，其他行的，
11、当第一行填完后，其他行的数字便可确定），当数字便可确定），当全为全为2 2或或3 3时，分别有时，分别有2 2种，共有种，共有6 6种种；当；当分别为分别为1 1，2 2，3 3时，也共有时，也共有6 6种种.共共1212种种.答案答案BB第10页，共38页，编辑于2022年，星期一二、二、排列组合排列组合 例例2 2有有3 3名男生，名男生，4 4名女生，按下述要求，分别求出其名女生，按下述要求，分别求出其不同排列的种数不同排列的种数.（1 1）选其中）选其中5 5人排成一行；人排成一行；（2 2）全体排成一行，其中甲只能在中间或者在两头）全体排成一行，其中甲只能在中间或者在两头的位置；的位
12、置；（3 3）全体排成一行，其中甲乙必须在两头；）全体排成一行，其中甲乙必须在两头；（4 4）全体排成一行，其中甲不在首，乙不在尾；）全体排成一行，其中甲不在首，乙不在尾；（5 5）全体排成一行，其中男、女生各站在一起；）全体排成一行，其中男、女生各站在一起；（6 6）全体排成一行，其中男生必须排在一起；）全体排成一行，其中男生必须排在一起；（7 7）全体排成一行，其中男生、女生都各不相邻；）全体排成一行，其中男生、女生都各不相邻；（8 8）全体排成一行，其中男生不能全排在一起；）全体排成一行，其中男生不能全排在一起；第11页，共38页，编辑于2022年，星期一（9 9）全体排成一行，其中甲、
13、乙、丙按自左至右的）全体排成一行，其中甲、乙、丙按自左至右的顺序保持不变；顺序保持不变；（1010）全体排成前后两排，前排）全体排成前后两排，前排3 3人，后排人，后排4 4人；人；（1111）全体排成一行，甲、乙两人间恰有）全体排成一行，甲、乙两人间恰有3 3人人.第12页，共38页，编辑于2022年，星期一思维启迪思维启迪（1 1）要考虑特殊元素、特殊位置优先安排的）要考虑特殊元素、特殊位置优先安排的原则原则.（2 2）要注意剔除法、插空法的应用）要注意剔除法、插空法的应用.解解（1 1）此题为选排列问题，共有）此题为选排列问题，共有种排法种排法.（2 2）此题为条件排列问题，可分步完成，
14、首先在中间或）此题为条件排列问题，可分步完成，首先在中间或两头之一排甲，共有两头之一排甲，共有种方法；其次在所剩的种方法；其次在所剩的6 6个位个位置上对其余置上对其余6 6人进行全排列，共有人进行全排列，共有6 6！种方法！种方法.依乘法原理，依乘法原理，所有不同的排列数为所有不同的排列数为N N=6 6！=36=36！.（3 3）仿（）仿（2 2）先排甲、乙共）先排甲、乙共种排法，其余种排法，其余5 5人尚有人尚有种排法，故共有种排法，故共有2 2！5 5！种排法！种排法.（4 4）由于甲不在首，乙不在尾，所以就首位而言，排）由于甲不在首，乙不在尾，所以就首位而言，排乙与不排乙可分两类，当
15、乙排在首位时，其余皆无限制，乙与不排乙可分两类，当乙排在首位时，其余皆无限制，共有共有6 6！种排法，当乙不在首位时，可分步！种排法，当乙不在首位时，可分步第13页，共38页，编辑于2022年，星期一完成先排乙有完成先排乙有种方法，再排甲应有种方法，再排甲应有种方法种方法.最后其余各元素尚有最后其余各元素尚有种排法，故共有种排法，故共有种排法种排法.依加法原理，所有不同的排列种数为依加法原理，所有不同的排列种数为N N=6=6！+=6=6！+255+255！=315=315！.（5 5）可将男、女同学各）可将男、女同学各“并并”为一个元素，其排法有为一个元素，其排法有种，又男同学的排法有种，又
16、男同学的排法有种，女同学的排法有种，女同学的排法有种，由乘法原理，所有不同的排列数为种，由乘法原理，所有不同的排列数为N N=.（6 6）可先将男生）可先将男生“并并”为一个元素，女生一人为为一个元素，女生一人为1 1个元个元素，先进行全排列共素，先进行全排列共种排法，又男生间排列有种排法，又男生间排列有种排法，故共有种排法，故共有种排法种排法.第14页，共38页，编辑于2022年，星期一（7 7）不相邻问题常以不相邻问题常以“插空插空”法处理，先排男生有法处理，先排男生有种排法，此三人中间及两端恰有种排法，此三人中间及两端恰有4 4空供不相邻的女生排列，空供不相邻的女生排列，有有种排法，从而
17、共有种排法，从而共有种不同的排列种不同的排列.（8 8）首先审清题意，男生不能全排在一起，并不是说男首先审清题意，男生不能全排在一起，并不是说男生都不相邻，即男生可有两人是相邻的，而女生是否相邻，生都不相邻，即男生可有两人是相邻的，而女生是否相邻，是否有几人相邻则均无限制，由此不难明白，此题若直接是否有几人相邻则均无限制，由此不难明白，此题若直接排列较麻烦，有排列较麻烦，有（6 6）题可鉴，用题可鉴，用“正难则反正难则反”之法突破则之法突破则易，即从易，即从7 7人的全排列中除去男生皆相邻的情况即得，人的全排列中除去男生皆相邻的情况即得，故所求不同排列数为故所求不同排列数为N N=-.第15页
18、，共38页，编辑于2022年，星期一（9 9）排列问题的关键在于）排列问题的关键在于“顺序顺序”，而此题中的甲、，而此题中的甲、乙、丙三人的顺序是一定的，此三人在任三个位置上的乙、丙三人的顺序是一定的，此三人在任三个位置上的全排列数为全排列数为种，但其中只有一种合乎要求，于是种，但其中只有一种合乎要求，于是可先将可先将7 7人进行全排列，其中每含一个人进行全排列，其中每含一个即有一个合乎条件的排列存在，故所求不同的排列种数为即有一个合乎条件的排列存在，故所求不同的排列种数为:N N=/=/有趣的是有趣的是/=/=，又可给我们一个，又可给我们一个新的思路：男生顺序一定即男生无须排列，只需在新的思
19、路：男生顺序一定即男生无须排列，只需在7 7个个位置中选位置中选4 4个位置将女生进行排列即可个位置将女生进行排列即可.（1010）前后二排形式变化，顺序之实质犹存，其排法仍为）前后二排形式变化，顺序之实质犹存，其排法仍为种种.第16页，共38页，编辑于2022年，星期一（1111）先选）先选3 3人排在甲、乙之间，有人排在甲、乙之间，有种排法，又此甲、种排法，又此甲、乙排列有乙排列有种，再种，再“并并”此此5 5人为一元素与其余人为一元素与其余2 2人全人全排列有排列有种，故共种，故共种种.探究提高探究提高本题主要考查排列、组合问题，这是高考的本题主要考查排列、组合问题，这是高考的常见题型常
20、见题型.求解这类问题的常用方法为：（求解这类问题的常用方法为：（1 1）以元素为）以元素为主主.应先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素，如本题应先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素，如本题第（第（2 2）问）问.（2 2）以位置为主）以位置为主.即先满足特殊位置的要求，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置，如本题第（再考虑其他位置，如本题第（4 4）问）问.（3 3）先不考虑附加）先不考虑附加条件，计算出排列数或组合数，再减去不符合要求的排列条件，计算出排列数或组合数，再减去不符合要求的排列数或组合数数或组合数,如本题第（如本题第（8 8）问）问.前两种方式叫做直接解法，前两种方式叫做直接解
21、法，后一种方式叫做间接后一种方式叫做间接第17页，共38页，编辑于2022年，星期一（剔除）解法（剔除）解法.在求解这类问题时，常常要注意避免在求解这类问题时，常常要注意避免“选取选取”时重复和遗漏的错误时重复和遗漏的错误.解排列、组合问题，常用的方法解排列、组合问题，常用的方法有：直接计算法与间接（剔除）计算法；分类法与分步有：直接计算法与间接（剔除）计算法；分类法与分步法；元素分析法和位置分析法；插空法和捆绑法等法；元素分析法和位置分析法；插空法和捆绑法等.变式训练变式训练22有六种不同的工作分配给有六种不同的工作分配给6 6个人担任，每个个人担任，每个人只能担任一种工作，甲只能担任其中某
22、两项工作，而乙人只能担任一种工作，甲只能担任其中某两项工作，而乙不能担任这两项工作，则共有多少种不同的分配方法？不能担任这两项工作，则共有多少种不同的分配方法？解解方法一方法一（元素分析法）：甲担任允许他担任的两项工作（元素分析法）：甲担任允许他担任的两项工作中的一项，有中的一项，有种方法；乙担任其余四项工作中的一项，种方法；乙担任其余四项工作中的一项，有有种方法，其他种方法，其他4 4人担任剩下的四项人担任剩下的四项第18页，共38页，编辑于2022年，星期一工作，有工作，有种方法种方法.所以共有分配方法所以共有分配方法=2424=192(=2424=192(种种).).方法二方法二（位置分
23、析法）：先由其余（位置分析法）：先由其余4 4人选出人选出1 1人人,有有种方种方法；让乙不能担任的两项工作分配给甲和刚选法；让乙不能担任的两项工作分配给甲和刚选出的那个人担任，有出的那个人担任，有种方法；剩下的四项工作分种方法；剩下的四项工作分配给余下的配给余下的4 4个人担任，有个人担任，有种方法种方法.所以共有所以共有分配分配方法方法=4224=192(=4224=192(种种).).第19页，共38页，编辑于2022年，星期一三、三、求二项展开式的通项、指定项求二项展开式的通项、指定项例例3 3 （1-21-2x x）n n的展开式中第的展开式中第6 6项与第项与第7 7项的系数的绝对
24、值项的系数的绝对值相等，则展开式中系数最大的项和系数绝对值最大的项分别相等，则展开式中系数最大的项和系数绝对值最大的项分别为为 .思维启迪思维启迪 （1 1）利用通项公式，列方程求利用通项公式，列方程求n.n.（2 2）利用通项公式表示出项的系数，列不等式组，确定系利用通项公式表示出项的系数，列不等式组，确定系数绝对值最大的项数绝对值最大的项.解析解析 由二项展开式的通项公式，得由二项展开式的通项公式，得T T5+15+1=（-2-2x x）5 5,T T6+16+1=(-2(-2x x)6 6.又依题意，知又依题意，知 2 25 5=2 26 6，n=n=8 8.(1-2(1-2x x)n
25、n展开式中二项式系数最大的项为展开式中二项式系数最大的项为T T5 5=（-2-2x x）4 4=1 1201 120 x x4 4.第20页，共38页，编辑于2022年，星期一设第设第r r+1+1项系数的绝对值最大，则项系数的绝对值最大，则解得解得5 5rr6 6.又又rrZ Z，r=r=5 5或或r=r=6 6.系数绝对值最大的项为系数绝对值最大的项为T T6 6=-=-1 7921 792x x5 5,T,T7 7=1 7921 792x x6 6.答案答案11201120 x x4 4;-1792;-1792x x5 5与与17921792x x6 6第21页，共38页，编辑于202
26、2年，星期一探究提高探究提高本题是求二项展开式的项的问题，这类问题是高考本题是求二项展开式的项的问题，这类问题是高考的常见题型的常见题型.求解二项展开式的常数项、有理项或系数最大的项求解二项展开式的常数项、有理项或系数最大的项时，一要注意根据通项公式讨论对时，一要注意根据通项公式讨论对r r的限制；二要注意到指数的限制；二要注意到指数及项数的整数性及项数的整数性.在使用通项公式在使用通项公式T Tr r+1+1=a an n-r-rb br r时，要时，要注意：注意：（1 1）通项公式是表示第通项公式是表示第r r+1+1项，而不是第项，而不是第r r项；项；（2 2）展开式中第展开式中第r
27、r+1 1项的二项式系数项的二项式系数与第与第r+1r+1项的项的系数不同系数不同.注意上述几点，常常可以防止出现不必要的失误注意上述几点，常常可以防止出现不必要的失误.求求解本题时，先求出解本题时，先求出n n的值，再由二项式系数的最大项是的值，再由二项式系数的最大项是“最中最中间间”的项，求出二项式系数的最大项的项，求出二项式系数的最大项.利用不等式组求系数绝对利用不等式组求系数绝对值最大的项是解决这类问题的常用方法值最大的项是解决这类问题的常用方法.第22页，共38页，编辑于2022年，星期一变式训练变式训练33已知（已知（+3+3x x2 2）n n展开式中各项的系数展开式中各项的系数
28、之和比各项的二项式系数之和大之和比各项的二项式系数之和大992992.则二项展开式中二项式则二项展开式中二项式系数最大的项与展开式中系数最大的项分别是系数最大的项与展开式中系数最大的项分别是.解析解析由题意，得（由题意，得（1+311+31）n n-2-2n n=992=992,n n=5,=5,T Tr r+1+1=（）5-5-r r（3 3x x2 2）r r=3 3r r .展开式中二项式系数最大的项是展开式中二项式系数最大的项是T T3 3=3=32 2=90=90 x x6 6,T T4 4=3 333=270=270.又由又由第23页，共38页，编辑于2022年，星期一解得解得3.
29、53.5 k k 4.54.5，k k=4 4.T T5 5=3 344=405405为所求的系数最大的为所求的系数最大的项项.故填故填9090 x x6 6与与270270;405405.答案答案9090 x x6 6与与270;405270;405四、四、二项式定理中的二项式定理中的“赋值赋值”问题问题 例例4 4（20082008福建）若福建）若(x-(x-2 2)5 5=a a5 5x x5 5+a a4 4x x4 4+a a3 3x x3 3+a a2 2x x2 2+a a1 1x x+a a0 0,则则a a1 1+a a2 2+a a3 3+a a4 4+a a5 5=.（用
30、数字作答）（用数字作答）思维启迪思维启迪观察结构，令观察结构，令x x=1 1即可求出即可求出a a0 0+a a1 1+a a2 2+a a3 3+a a4 4+a a5 5的值的值.再考虑求出再考虑求出a a0 0即可即可.解析解析方法一方法一令令x x=0 0,得得a a0 0=(-2)(-2)5 5=-=-3232,第24页，共38页，编辑于2022年，星期一令令x x=1 1，得，得a a0 0+a a1 1+a a2 2+a a3 3+a a4 4+a a5 5=-=-1 1,a a1 1+a a2 2+a a3 3+a a4 4+a a5 5=-=-1 1+3232=3131，故
31、填，故填3131.方法二方法二展开左边得（展开左边得（x x-2 2）5 5=x x5 5-1010 x x4 4+4040 x x3 3-8080 x x2 2+8080 x x-32-32，比较两端的系数得，比较两端的系数得a a5 5=1 1,a a4 4=-=-1010,a a3 3=4040,a a2 2=-8080,a a1 1=8080，故，故a a1 1+a a2 2+a a3 3+a a4 4+a a5 5=3131,故填故填3131.答案答案3131探究提高探究提高“赋值思想赋值思想”是学习二项式定理的意外收获是学习二项式定理的意外收获赋值法几乎成为处理组合数问题、系数问题
32、的首选经典方赋值法几乎成为处理组合数问题、系数问题的首选经典方法；将等式两边进行展开后比较左右两端的系数的方法，对于法；将等式两边进行展开后比较左右两端的系数的方法，对于次数不很高的二项式非常适用，优点是不必过于挖空心思，易次数不很高的二项式非常适用，优点是不必过于挖空心思，易于操作，缺点是计算量大，容易出错于操作，缺点是计算量大，容易出错.第25页，共38页，编辑于2022年，星期一变式训练变式训练4 4（20092009陕西理，陕西理，6 6）若（）若（1-21-2 x x）22009009=a a0 0+a a11x x+a a2 0092 009 x x2 0092 009(x xR)
33、,R),则则的值为的值为（）A.A.2 2B.B.0 0C.C.-1-1D.D.-2-2解析解析（1-21-2x x）20092009=a a0 0+a a1 1x x+a a20092009x x20092009，令，令x x=,=,则则(1-21-2)20092009=a a0 0+=0 0,其中其中a a0 0=1 1所以所以+=-1-1.C C第26页，共38页，编辑于2022年，星期一规律方法总结规律方法总结1.1.排列组合应用题的解题策略排列组合应用题的解题策略（1 1）在解决具体问题时，首先必须弄清楚是）在解决具体问题时，首先必须弄清楚是“分类分类”还是还是“分步分步”，接着还要
34、搞清楚，接着还要搞清楚“分类分类”或者或者“分步分步”的具体标准的具体标准是什么是什么.（2 2）区分某一问题是排列还是组合问题，关键看选出的元）区分某一问题是排列还是组合问题，关键看选出的元素与顺序是否有关素与顺序是否有关.若交换某两个元素的位置对结果产生影若交换某两个元素的位置对结果产生影响，则是排列问题；若交换任意两个元素的位置对结果没有响，则是排列问题；若交换任意两个元素的位置对结果没有影响，则是组合问题影响，则是组合问题.也就是说排列问题与选取元素的顺序也就是说排列问题与选取元素的顺序有关，组合问题与选取元素的顺序无关有关，组合问题与选取元素的顺序无关.第27页，共38页，编辑于20
35、22年，星期一（3 3）排列、组合综合应用问题的常见解法：）排列、组合综合应用问题的常见解法：特殊元素特殊元素（特殊位置）优先安排法；（特殊位置）优先安排法；合理分类与准确分步；合理分类与准确分步；排列、排列、组合混合问题先选后排法；组合混合问题先选后排法；相邻问题捆绑法；相邻问题捆绑法；不相邻问不相邻问题插空法；题插空法；定序问题缩倍法；定序问题缩倍法；多排问题一排法；多排问题一排法；“小集团小集团”问题先整体后局部法；问题先整体后局部法；构造模型法；构造模型法；正难正难则反、等价转化法则反、等价转化法.2.2.二项式定理是一个恒等式，对待恒等式通常有两种思路：二项式定理是一个恒等式，对待恒
36、等式通常有两种思路：一是利用恒等定理（两个多项式恒等，则对应项系数相等）一是利用恒等定理（两个多项式恒等，则对应项系数相等）；二是赋值；二是赋值.这两种思路相结合可以使得二项展开式的系这两种思路相结合可以使得二项展开式的系数问题迎刃而解数问题迎刃而解.另外，通项公式主要用于求二项式的指数，求满足另外，通项公式主要用于求二项式的指数，求满足第28页，共38页，编辑于2022年，星期一条件的项或系数，求展开式的某一项或系数，在运用公条件的项或系数，求展开式的某一项或系数，在运用公式时要注意以下几点：式时要注意以下几点：是第是第k k+1+1项，而不是第项，而不是第k k项项;运用通项公式运用通项公
37、式T Tk k+1+1=解题，一般都需先解题，一般都需先转化为方程（组）求出转化为方程（组）求出n n、k k，然后代入通项公式求解，然后代入通项公式求解.求展开式的特殊项，通常都是由题意列方程求出求展开式的特殊项，通常都是由题意列方程求出k k，再求出所需的某项；有时需先求再求出所需的某项；有时需先求n n，计算时要注意，计算时要注意n n和和k k的取的取值范围及它们之间的大小关系值范围及它们之间的大小关系.第29页，共38页，编辑于2022年，星期一一、选择题一、选择题1.1.（20092009广东理广东理,7,7）20102010年广州亚运会要从小年广州亚运会要从小张、小赵、小李、小罗
38、、小王五名志愿者中选派四张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四个分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项工作，若个分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项工作，若其中小张和小赵只能从事前两项工作，其余三人其中小张和小赵只能从事前两项工作，其余三人 均均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有能从事这四项工作，则不同的选派方案共有（）A.36A.36种种B.12B.12种种 C.18C.18种种 D.48D.48种种A A第30页，共38页，编辑于2022年，星期一2.122.12名同学合影，站成了前排名同学合影，站成了前排4 4人后排人后排8 8人，现摄影人，现摄影师要从后排师要从后排8 8人中抽人中
39、抽2 2人调整到前排，其他人的相人调整到前排，其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的种数是（对顺序不变，则不同调整方法的种数是（）A.A.B.B.C.C.D.D.解析解析要完成这件事，可分两步走，第一步可先从要完成这件事，可分两步走，第一步可先从后排后排8 8人中选人中选2 2人共有人共有种；第二步可认为前排放种；第二步可认为前排放66个座位，先选出个座位，先选出2 2个座位让后排的个座位让后排的2 2人坐，由于其他人坐，由于其他人的顺序不变，所以有人的顺序不变，所以有种坐法种坐法.综上，由分综上，由分步计步计数原理知不同调整方法种数为数原理知不同调整方法种数为种种.C C第31页，共38页，
40、编辑于2022年，星期一3.3.设（设（1+1+x x）8 8=a a0 0+a a1 1x x+a a8 8x x8 8，则，则a a0 0，a a1 1，,a a8 8中有中有奇数的个数为奇数的个数为（）A.2A.2B.3B.3C.4C.4D.5D.5解析解析a a0 0=a a8 8=1,=1,a a1 1=a a7 7=8,=8,a a2 2=a a6 6=28.=28.a a3 3=a a5 5=56,=56,a a4 4=70.=70.奇数个数为奇数个数为2.2.A A4.4.设有编号为设有编号为1,2,3,4,51,2,3,4,5的五个球和编号为的五个球和编号为1,2,3,4,5
41、1,2,3,4,5的的五个盒子五个盒子,现将这五个球投放入这五个盒子内现将这五个球投放入这五个盒子内,要求要求每个盒子投放一个球每个盒子投放一个球,并且恰好有两个球的编号与并且恰好有两个球的编号与盒子的编号相同盒子的编号相同,则这样的投放方法的总数为则这样的投放方法的总数为()A.20A.20种种B.30B.30种种C.60C.60种种D.120D.120种种 解析解析由题意得投放方法为由题意得投放方法为2=202=20种种.故选故选A.A.A A第32页，共38页，编辑于2022年，星期一5.5.（20092009江西理，江西理，7 7）（）（1+1+axax+byby）n n展开式中不含展
42、开式中不含x x的项的系数绝对值的和为的项的系数绝对值的和为243243，不含，不含y y的项的系数的项的系数绝对值的和为绝对值的和为3232，则，则a a,b b,n n的值可能为的值可能为（）A.A.a a=2,=2,b b=-1,=-1,n n=5=5B.B.a a=-2,=-2,b b=-1,=-1,n n=6=6C.C.a a=-1,=-1,b b=2,=2,n n=6=6D.D.a a=1,=1,b b=2,=2,n n=5=5解析解析令令x x=0,=0,y y=1=1得（得（1+1+b b）n n=243,=243,令令y y=0,=0,x x=1=1得得（1+1+a a）n
43、n=32,=32,将选项将选项A A、B B、C C、D D代入检验知代入检验知D D正正确，其余均不正确确，其余均不正确.D D第33页，共38页，编辑于2022年，星期一二、填空题二、填空题6.(20096.(2009山东临沂山东临沂)从从4 4名男生和名男生和3 3名女生中选出名女生中选出3 3名代表（分别担任组长、副组长和成员）参加一名代表（分别担任组长、副组长和成员）参加一个校际交流活动，要求这个校际交流活动，要求这3 3名代表中必须既有男生名代表中必须既有男生又有女生，那么不同的选法共有又有女生，那么不同的选法共有种（用数种（用数字作答）字作答）.解析解析分两类，分两类，两男一女：
44、两男一女：=108=108一男两女：一男两女：=72.108+72=180=72.108+72=180（种）（种）.180180第34页，共38页，编辑于2022年，星期一7.7.如果如果的展开式中各项系数的展开式中各项系数之和为之和为128128，则展开式中则展开式中的系数是的系数是.解析解析令令x x=1=1，得，得2 2n n=128=128，n n=7.=7.设展开式中第设展开式中第r r+1+1项为项为的项，的项，T Tr r+1+1=（3 3x x）7-7-r r=3=37-7-r r （-1-1）r r ，7-7-r r=-3=-3，解得，解得r r=6=6，T T7 7=3=3
45、x x-3-3=21=21，即系数为，即系数为21.21.8.8.（20082008广东）已知（广东）已知（1+1+k kx x2 2）6 6（k k是正整数）的展是正整数）的展开式中，开式中，x x8 8的系数小于的系数小于120120，则，则k k=.2121第35页，共38页，编辑于2022年，星期一解析解析(1+(1+k kx x2 2)6 6按二项式定理展开的通项为按二项式定理展开的通项为T Tr r+1+1=(=(k kx x2 2)r r=k kr rx x2 2r r,故故x x8 8的系数为的系数为k k4 4=15=15k k4 4,即即1515k k4 4120,120,
46、也即也即k k4 48,8,而而k k是正整数是正整数,故故k k只能取只能取1.1.答案答案1 1三、解答题三、解答题9.9.有有4 4个不同的球，个不同的球，4 4个不同的盒子，现在要把球全个不同的盒子，现在要把球全部放入盒内部放入盒内.（1 1）共有几种放法？）共有几种放法？（2 2）恰有一个盒不放球，共有几种放法？）恰有一个盒不放球，共有几种放法？（3 3）恰有一个盒放两个球，共有几种放法？）恰有一个盒放两个球，共有几种放法？（4 4）恰有两个盒不放球，共有几种放法？）恰有两个盒不放球，共有几种放法？第36页，共38页，编辑于2022年，星期一 解解（1 1）4 44 4=256=25
47、6(种种).).（2 2）=4 46=1446=144（种）（种）.（3 3）=466=144466=144（种）（种）.（4 4）=8484（种）（种）.10.10.已知（已知（-）n n(n nN N*)*)的展开式中第五项的系的展开式中第五项的系数数与第三项的系数的比是与第三项的系数的比是101.101.（1 1）求展开式中各项系数的和；）求展开式中各项系数的和；（2 2）求展开式中含）求展开式中含的项；的项；（3 3）求展开式中系数最大的项和二项式系数最大的项）求展开式中系数最大的项和二项式系数最大的项.解解由题意得知，第五项系数为由题意得知，第五项系数为（-2-2）4 4，第三，第三
48、项的系数为项的系数为（-2-2）2 2，第37页，共38页，编辑于2022年，星期一则有则有（-2-2）4 4=1010（-2-2）2 2，解得，解得n n=8=8.(1)(1)令令x x=1 1得各项系数的和为得各项系数的和为（1-21-2）8 8=1.=1.(2)(2)通项公式通项公式T Tr r+1+1=（-2-2）r r,令令-2r=2r=则则r r=1=1，故展开式中含，故展开式中含的项为的项为T T2 2=-=-1616.(3)(3)设展开式中的第设展开式中的第r r项，第项，第r r+1+1项，第项，第r r+2 2项的系数绝对值项的系数绝对值分别为分别为22r r-1-1，22r r，22r r+1+1若第若第r r+1+1项的系数绝对值最大，则项的系数绝对值最大，则22r r-1-122r r，22r r+1+122r r，解得，解得5 5 r r 6 6 系数最大的项为系数最大的项为T T7 7=1 7921 792由由n n=8 8知第知第5 5项二项式系数最大，此时项二项式系数最大，此时T T5 5=1 1201 120.返回第38页，共38页，编辑于2022年，星期一