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1、第3章 解线性方程组的迭代方法第1页，共40页，编辑于2022年，星期一 定义定义:设设xk是是Rn上的向量序列，上的向量序列，又设又设x*（x1 1*，x 2*,，x n*)是是Rn上的向量上的向量.则称向量则称向量x*是向量序列是向量序列x k的极限的极限 ，若一个向量序列有极限若一个向量序列有极限,称这个向量序列是称这个向量序列是收敛的收敛的.向量序列的极限向量序列的极限如果如果向量序列向量序列x k收敛于向量收敛于向量x x*的充分必要的充分必要（i=1,2,=1,2,n）条件是条件是第2页，共40页，编辑于2022年，星期一矩阵序列的极限矩阵序列的极限定义定义:设设Ak是是 上的矩阵
2、序列上的矩阵序列.若存在矩阵若存在矩阵 则称矩阵则称矩阵A 是矩阵序列是矩阵序列A k的极限，记为的极限，记为若一个矩阵序列有极限若一个矩阵序列有极限,称这个矩阵序列是称这个矩阵序列是收敛的收敛的.使得使得矩阵序列矩阵序列A k收敛于矩阵收敛于矩阵A 的充分必要的充分必要（i,j=1,2,=1,2,n）条件是条件是这里这里第3页，共40页，编辑于2022年，星期一证：证：依次取依次取 x 为为 ，其中，其中则则所以所以的充要条件是对任何的充要条件是对任何xRn，有，有设矩阵设矩阵，则，则 的的充要条件是充要条件是(A)0,记记 xTLTx=a,则有则有xTLTx=xT(D L)xxTAx=xT
3、(D L LT)x=p a a=p 2a 0所以所以第26页，共40页，编辑于2022年，星期一所以所以,迭代矩阵迭代矩阵BG-S的谱半径的谱半径(BG-S)1,从而当方程组从而当方程组 Ax=b的系数矩阵的系数矩阵A 是实对称正定矩阵时是实对称正定矩阵时,G-S 迭代法收敛迭代法收敛Remark:1)G-S迭代法的计算过程比迭代法的计算过程比Jacobi迭代法更简单。计算迭代法更简单。计算过程中只需用一个一维数组存放迭代向量。过程中只需用一个一维数组存放迭代向量。2)G-S迭代不一定比迭代不一定比Jacobi迭代收敛快。迭代收敛快。3)Jacobi迭代和迭代和G-S迭代的收敛范围并不一致，即
4、迭代的收敛范围并不一致，即Jacobi迭代收敛，迭代收敛，G-S迭代不一定收敛，反之亦然。迭代不一定收敛，反之亦然。4)前面的定理前面的定理1、定理、定理2对于对于Jacobi迭代和迭代和G-S迭代都适用。迭代都适用。第27页，共40页，编辑于2022年，星期一(i=1,2,n;k=1,2,3,)四四 超松驰超松驰(SOR)(SOR)迭代法迭代法G-S迭代格式迭代格式第28页，共40页，编辑于2022年，星期一定理定理7.若若A 是对称正定矩阵是对称正定矩阵,则当则当02时时SOR迭代法解迭代法解方程组方程组 A x=b 是收敛的是收敛的定理定理8.若若A 是严格对角占优矩阵是严格对角占优矩阵
5、,则当则当00,计算计算 r(k-1)=b Ax(0),若若|r0|结束结束;否则否则 p(1)r(k-1),k 1,转第二步转第二步;共轭梯度算法：共轭梯度算法：第二步第二步:计算计算 tk=(p(k),r(k-1)/(A p(k),p(k)x(k)=x(k-1)+tk p(k);第三步第三步:如果如果 k=n,则结束则结束;否则否则,计算计算 r(k-1)=b Ax(k);转第四步转第四步;第四步第四步:如果如果|r(k-1)|,则则结束结束;否则否则,计算计算:bkj=(A p(j),r(k)/(A p(j),p(j),(j=1,k)p(k+1)=r(k-1)(bk1 p(1)+bkk p(k)k k+1,转第二步。转第二步。第40页，共40页，编辑于2022年，星期一