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1、第3章 线性方程组的迭代解法第1页，共28页，编辑于2022年，星期一对方程组做等价变换如：令，则则，我们可以构造序列若同时：所以，序列收敛与初值的选取无关与初值的选取无关第2页，共28页，编辑于2022年，星期一定义6.1：（收敛矩阵）定理：矩阵G为收敛矩阵，当且仅当G的谱半径eps)x1=x2;for(i=0;in;i+)x2i=0;for(j=0;ji;j+)x2i+=Aij*x1j for(j=i+1;jn;j+)x2i+=Aij*x1j x2i=-(x2i-bi)/Aii 4、输出解x2第6页，共28页，编辑于2022年，星期一 迭代矩阵迭代矩阵记第7页，共28页，编辑于2022年，
2、星期一易知，Jacobi迭代有第8页，共28页，编辑于2022年，星期一 收敛条件收敛条件 迭代格式收敛的充要条件是G的谱半径eps)for(i=0;in;i+)for(j=0;ji;j+)x2i+=Aij*x2j for(j=i+1;jn;j+)x2i+=Aij*x2j x2i=-(x2i-bi)/Aii 4、输出解x2第12页，共28页，编辑于2022年，星期一 迭代矩阵迭代矩阵是否是原来的方程的解？A=(D-L)-U第13页，共28页，编辑于2022年，星期一 收敛条件收敛条件 迭代格式收敛的充要条件是G的谱半径eps)for(i=0;in;i+)temp-0 for(j=0;ji;j+
3、)temp+=Aij*x2j for(j=i+1;jn;j+)temp+=Aij*x2j temp=-(x2i-bi)/Aii x2i=(1-omega)*x2i+omega*temp 4、输出解x2第21页，共28页，编辑于2022年，星期一 迭代矩阵迭代矩阵定理：松弛迭代收敛定理：A对称正定，则松弛迭代收敛是否是原来的方程的解？第22页，共28页，编辑于2022年，星期一 SORSOR方法收敛的快慢与松弛因子的选择有密切关系.但是如何选取最佳松弛因子,即选取=*,使()达到最小,是一个尚未很好解决的问题.实际上可采用试算的方法来确定较好的松弛因子.经验上可取1.41.6.第23页，共28页
4、，编辑于2022年，星期一 定理定理 若SORSOR方法收敛,则02.证证 设SORSOR方法收敛,则()1,所以|det()|=|12 n|1而 det()=det(D-L)-1(1-)D+U)=det(E-D-1L)-1 det(1-)E+D-1U)=(1-)n于是|1-|1,或 02第24页，共28页，编辑于2022年，星期一 定理定理 设A是对称正定矩阵,则解方程组Ax=b的SORSOR方法,当00 (Uy,y)=(y,Ly)=(Ly,y)=-i 0(Ay,y)=(Dy,y)-(Ly,y)-(Uy,y)=-2所以第26页，共28页，编辑于2022年，星期一当02时,有 (-+)2-(-)2=(2-)(2-)=(2-)(2-)0所以|21,因此()1,即S0R方法收敛.可得 =2/设是B的任一特征值,y是对应的特征向量,则 (L+U)y=Dy于是 (Ly,y)+(Uy,y)=(Dy,y)第27页，共28页，编辑于2022年，星期一当A对称正定时,即2-0时,|0而 (2D-A)y,y)=(Dy,y)+(Ly,y)+(Uy,y)=+2即,当A对称正定时,JacobiJacobi迭代法收敛2D-A正定.第28页，共28页，编辑于2022年，星期一