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1、理论力学题本讲稿第一页，共三十页 例例1 水分子水分子 H2O 的结构如的结构如图图.每个氢原子和氧原子之间每个氢原子和氧原子之间距离均为距离均为 d=1.010-10 m,氢原氢原子子 和氧原子和氧原子 两条连线间的夹角为两条连线间的夹角为=104.6.求水分子的质心求水分子的质心OHHoCdd52.3o52.3o 解解:由于氢原子对由于氢原子对 x 轴对称，故轴对称，故 yC=0.代入数据代入数据 xC=6.810-12 m本讲稿第二页，共三十页 例例2 求半径为求半径为 R 的匀质半薄球壳的质心的匀质半薄球壳的质心.解解 在半球壳上取一圆环在半球壳上取一圆环,其其质量质量 由于球壳关于由
2、于球壳关于 y 轴对轴对称，故称，故 xC=zC=0OR本讲稿第三页，共三十页例例2 2、质量为质量为m 的两个质点的两个质点A、B，由一个不可伸长的轻绳，由一个不可伸长的轻绳相连接，静止放在光滑的水平桌面上，线长为相连接，静止放在光滑的水平桌面上，线长为a,质点质点B B突然突然受到一个与受到一个与AB连线正交的水平冲击力连线正交的水平冲击力.已知此冲击力的冲已知此冲击力的冲量为量为K,求此后两质点的运动情况求此后两质点的运动情况.解解:取坐标如图，设质点取坐标如图，设质点B受冲力为受冲力为F，作用时间，作用时间 t很短，很短，则则从质心运动定理，有从质心运动定理，有本讲稿第四页，共三十页当
3、当t 0时时vc 0，对上式积分，则，对上式积分，则由此得由此得由于桌面光滑，冲击后质心沿由于桌面光滑，冲击后质心沿x方向作匀速运动方向作匀速运动.因因B受冲击时受冲击时A几乎还没动，可以认为开始瞬间几乎还没动，可以认为开始瞬间B绕绕A作圆作圆周运动，因此周运动，因此vB为为B相对质心相对质心C的速度的速度.从质心坐标系中的动量矩定理，从质心坐标系中的动量矩定理，有有从相对运动关系从相对运动关系故故本讲稿第五页，共三十页从右图可得出从右图可得出显然显然冲击后，冲击后，A、B两质点绕质心以角速度两质点绕质心以角速度 0 作匀速圆周作匀速圆周运动运动.所以所以则任意时刻质心位置为则任意时刻质心位置
4、为由右图并考虑上式，任意时由右图并考虑上式，任意时刻刻B点坐标为点坐标为本讲稿第六页，共三十页同理，任意时刻同理，任意时刻A点坐标为点坐标为可见可见A、B两点皆作圆滚线运动两点皆作圆滚线运动本讲稿第七页，共三十页例例1 1、计算第一，第二宇宙速度计算第一，第二宇宙速度(i)(i)第一宇宙速度第一宇宙速度第一宇宙速度第一宇宙速度已知：已知：地球半径为地球半径为R，质量为，质量为M，卫，卫星质量为星质量为m。要使卫星在距地面。要使卫星在距地面h高高度绕地球作匀速圆周运动，求其发度绕地球作匀速圆周运动，求其发射速度。射速度。解：解：设发射速度为设发射速度为v1，绕地球的运动速度为，绕地球的运动速度为
5、v机械能守恒：机械能守恒：由万有引力定律和牛顿定律：由万有引力定律和牛顿定律：RMMm本讲稿第八页，共三十页解方程组，得：解方程组，得：代入上式，得：代入上式，得：本讲稿第九页，共三十页(ii)(ii)第二宇宙速度第二宇宙速度宇宙飞船脱离地球引力而必须具有的发射速度宇宙飞船脱离地球引力而必须具有的发射速度（1）脱离地球引力时，动能必须大于或等于零.由机械能守恒定律：由机械能守恒定律：解得：解得：（2）脱离地球引力处，飞船的引力势能为零.本讲稿第十页，共三十页例例2 2、两个质量分别为两个质量分别为m1 1和和m2 2的木块的木块A、B，用一劲度系数为，用一劲度系数为k k的轻弹的轻弹簧连接，放
6、在光滑的水平面上。簧连接，放在光滑的水平面上。A紧靠墙。今用力推紧靠墙。今用力推B块，使弹簧压块，使弹簧压缩缩x0 0然后释放。（已知然后释放。（已知m1 1=m，m2 2=3=3m）求：（求：（1 1）释放后）释放后A A，B B两滑块速度相等时的瞬时速度的大小。两滑块速度相等时的瞬时速度的大小。（2 2）弹簧的最大伸长量。）弹簧的最大伸长量。ABk解：解：解：解：设：弹簧恢复到原长时滑设：弹簧恢复到原长时滑块块B的速度为的速度为VB0机械能守恒：机械能守恒：A A块离墙后：块离墙后：v1=v2=v时：时：本讲稿第十一页，共三十页当弹簧处于最大伸长量时，必有当弹簧处于最大伸长量时，必有v1
7、1=v2 2=v=3=3VB0 B0 4 4机械能守恒：机械能守恒：化简化简化简化简：本讲稿第十二页，共三十页 质量为质量为 m,长为长为 l 的细棒绕通过其端点合质心的垂的细棒绕通过其端点合质心的垂直轴的转动惯量直轴的转动惯量oxzdxdmx 质量为质量为 m,半径为半径为 R 的均匀圆盘的均匀圆盘,通过盘中心并与盘通过盘中心并与盘面垂直的轴的转动惯量面垂直的轴的转动惯量ordrR本讲稿第十三页，共三十页例例2 2、质量质量 M=16=16 kg 、半径为、半径为 R=0.15 =0.15 m 的实心滑轮的实心滑轮,一根细绳绕在其上，绳端挂一质量为一根细绳绕在其上，绳端挂一质量为 m 的物体
8、的物体.求（求（1 1）由静止开始由静止开始 1 1 秒钟后，物体下降的距离秒钟后，物体下降的距离.（2 2）绳）绳子的张力子的张力.解：解：解：解：mMmmgT本讲稿第十四页，共三十页例例3 3、一质量为一质量为 m 、长为、长为 l 的均质细杆，转轴在的均质细杆，转轴在 O 点，点，距距A端端 l l/3./3.杆从静止开始由水平位置绕杆从静止开始由水平位置绕O点转动点转动.求：（求：（1 1）水平位置的角速度和角加速度）水平位置的角速度和角加速度.（2 2）垂直位置时的角速度和角加速度）垂直位置时的角速度和角加速度.解：解：解：解：coBA（1）水平）水平）水平）水平本讲稿第十五页，共三
9、十页（2 2）垂直）垂直机械能守恒机械能守恒coBA势能零点势能零点O本讲稿第十六页，共三十页coBA（3）任意位置）任意位置）任意位置）任意位置势能零点势能零点O本讲稿第十七页，共三十页CvC4 平面运动刚体的动能平面运动刚体的动能平面运动刚体的动能平面运动刚体的动能PCd vC本讲稿第十八页，共三十页例例1 如图如图,将一根质量为将一根质量为m的长杆用细的长杆用细绳从两端水平地挂起来绳从两端水平地挂起来,其中一根绳子其中一根绳子突然断了突然断了,另一根绳内的张力是多少另一根绳内的张力是多少?T解解:设杆子长设杆子长2l,质心运动定理和过质心轴的角动量定理给质心运动定理和过质心轴的角动量定理
10、给出绳断的一刹那的运动方程出绳断的一刹那的运动方程:因在此时悬绳未断的一端加速度为零因在此时悬绳未断的一端加速度为零,从而有从而有本讲稿第十九页，共三十页例例2 如图如图,一半径为一半径为R的乒乓球与水平面摩擦系数为的乒乓球与水平面摩擦系数为.开始时开始时,用手按球的上左侧用手按球的上左侧,使球质心以使球质心以vC0向右运动向右运动,并具有逆时针方向并具有逆时针方向的初始角速度的初始角速度 0,设设vC00,乒乓球一边乒乓球一边滑动滑动,一边倒着转动一边倒着转动.它在水平面方它在水平面方向受滑动摩擦力向受滑动摩擦力-mg的作用的作用,按照质按照质心运动定理心运动定理,有有vC0 0t=0fPP
11、vCt=t1本讲稿第二十页，共三十页利用利用(a)和和(b)来分析乒乓球的运动来分析乒乓球的运动vC0 0t=0fPPvCt=t1对质心的摩擦擦力矩对质心的摩擦擦力矩-mgR,对质心的转动方程为对质心的转动方程为(1)当当t=t1=vC0/(g),vC=0,=0 3vC0/(2R),据条件据条件vC0 0,质心停止运动质心停止运动,绕质心的旋转方绕质心的旋转方向没有变向没有变.本讲稿第二十一页，共三十页 当当t t1,vC 0,质心开始倒退质心开始倒退,但接触点但接触点P的速度的速度vP=vC+R 0,滑动摩擦力方向向左滑动摩擦力方向向左,驱使驱使质心加速倒退质心加速倒退,力矩继续减缓转动力矩
12、继续减缓转动,直到接触点直到接触点P的速度为零的速度为零.(2)vP为零的时刻为零的时刻t2满足满足本讲稿第二十二页，共三十页自自时刻时刻t2以后以后,乒乓球向后作无滑动滚动乒乓球向后作无滑动滚动,如不考虑滚动如不考虑滚动摩擦摩擦,质心速度和角速度恒定质心速度和角速度恒定本讲稿第二十三页，共三十页例例3 如图如图,一半径为一半径为R的圆木以的圆木以角速度角速度 0在水平面上作纯滚动在水平面上作纯滚动,在前进的路上撞在以高度为在前进的路上撞在以高度为h的台阶上的台阶上.设碰撞是完全非弹性的设碰撞是完全非弹性的,即碰撞后圆木不弹回即碰撞后圆木不弹回.要圆木能够翻上台阶而又始终不跳离台阶要圆木能够翻
13、上台阶而又始终不跳离台阶,对台阶又什么要求对台阶又什么要求?解解:碰撞前圆木质心速度碰撞前圆木质心速度v0=R 0,圆木圆木对接触点的角动量为对接触点的角动量为IC 0+mv0(R-h),碰碰撞后为撞后为IA ,由角动量守恒得由角动量守恒得v0 0hNR本讲稿第二十四页，共三十页将圆柱体的转动惯量公式将圆柱体的转动惯量公式IC=1/2mR2带入带入,得得(1)圆木能够爬上台阶的条件是它碰撞后的动能足够大圆木能够爬上台阶的条件是它碰撞后的动能足够大:由由(a),(b)得得本讲稿第二十五页，共三十页圆木不跳离台阶的条件是台阶的支撑力圆木不跳离台阶的条件是台阶的支撑力N始终大于零始终大于零.N在在碰
14、撞的最初时刻最小碰撞的最初时刻最小,我们就来计算它我们就来计算它.沿质心和接触点方沿质心和接触点方向的向心加速度是重力分量和支撑力造成的向的向心加速度是重力分量和支撑力造成的,所以所以由图知由图知 sin=1-h/R,从而有从而有本讲稿第二十六页，共三十页要两个不等式同时成立要两个不等式同时成立,则必须则必须否则否则,初始速度小了爬不上去初始速度小了爬不上去,初始速度够大了初始速度够大了,爬上去就跳爬上去就跳了起来了起来.综合综合(c),(d),得得本讲稿第二十七页，共三十页例例5 升降电梯相对于地面以加速度a 沿铅直向上运动。电梯中有一轻滑轮绕一轻绳，绳两端悬挂质量分别为m1和m2的重物（m
15、1 m2）。求：（1）物体相对于电梯的加速度；（2）绳子的张力。解：解：消去消去本讲稿第二十八页，共三十页例例1、单摆是由一质量为单摆是由一质量为m的质点用长为的质点用长为L的的弦或者轻杆悬挂在点弦或者轻杆悬挂在点O构成的构成的.假定弦不能伸假定弦不能伸长长,且质量可以忽略且质量可以忽略.研究单摆的运动规律研究单摆的运动规律.OLFTmg 解解:分析受力分析受力,得到运动方程为得到运动方程为径向径向:横向横向:(1)(2)改写方程改写方程(2)对于小角度对于小角度,sin ,方程简化为方程简化为通解为通解为考虑初始条件考虑初始条件(3)本讲稿第二十九页，共三十页得到解得到解对于一般情况对于一般情况,方程方程(3)可积分一次得到可积分一次得到完整的解需要特殊函数完整的解需要特殊函数,我们作图可以看出我们作图可以看出:角度越大角度越大,频频率越低率越低,不是固定频率的形式不是固定频率的形式.其实只要我们简单考虑其实只要我们简单考虑(3)就可以看出频率随角度的变化就可以看出频率随角度的变化本讲稿第三十页，共三十页