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1、第一章第一章 逻辑学悖论逻辑学悖论第1页，共102页，编辑于2022年，星期一这一章的主要目的，是尽可能用娱乐的方式，通过提出现代逻辑学中最重要的悖论来引起学生的兴趣。在这里，“悖论”这个词意思比其他部分要窄一点。在其他几章中，悖论是强烈违反我们直觉的问题。在这里，悖论只是直接导致彼此矛盾的结果，就像证明2+2又等于4，又不等于4一样。逻辑悖论是“不可解”的，除非能找到一种方法来完全消除这种恶性的矛盾。第2页，共102页，编辑于2022年，星期一 尽管从古希腊起到今天，逻辑悖论一直人们带来很大乐尽管从古希腊起到今天，逻辑悖论一直人们带来很大乐趣，可是最伟大的数学家都总是极严肃地对待它。在发趣，
2、可是最伟大的数学家都总是极严肃地对待它。在发展现代逻辑学和集合论中一些巨大进展正是努力解决经展现代逻辑学和集合论中一些巨大进展正是努力解决经典悖论的直接结果。在这里，你会看到引自伯特兰德典悖论的直接结果。在这里，你会看到引自伯特兰德罗素的话，他谈到他花了好些年的时间研究悖论而没罗素的话，他谈到他花了好些年的时间研究悖论而没有成功，后来他和阿尔弗雷德有成功，后来他和阿尔弗雷德 怀特里德合作，写了怀特里德合作，写了数学原理，这是一本奠基了现代形式逻辑的代表性论著。第3页，共102页，编辑于2022年，星期一逻辑学是一切演绎推理的基础，一个不懂基础逻辑的学数学的学生是没有能力来掌握数学基础的。对这些
3、基础的理解往往是较困难的，它使初学学生丧失对数学的兴趣。幸好，这组故事可以帮助你使学生认识到，逻辑学并不像他们想象的那样枯燥无味，而是一个对数学很重要的、生动有趣的课题、其中有很多令人兴奋的问题尚待解决。第4页，共102页，编辑于2022年，星期一在这组故事中有三个中心问题。1在我们谈论语句的真实价值时，为什么需要以一种在我们谈论语句的真实价值时，为什么需要以一种更高级的语言更高级的语言(称为称为“元语言元语言”)来谈论它？2 2为什么现代集合论有一些规则禁止一个集合是此集合本身的元素？3 3在什么样的特殊情况下，预言未来在逻辑上是不可在什么样的特殊情况下，预言未来在逻辑上是不可能的？能的？最
4、好是在学习逻辑学、集合论或演绎（推理）证明的时候来认真阅读这一部分。第5页，共102页，编辑于2022年，星期一1克里特人伊壁孟德克里特人伊壁孟德 伊：所有的克里特人都是撒谎者。伊壁孟德是个半传奇式的希腊人，他在公元前6世纪住在希腊。有一个神话说他曾经一下子睡了57年。第6页，共102页，编辑于2022年，星期一1克里特人伊壁孟德克里特人伊壁孟德 M：他说的是真的吗？如果他说的是实话，那么克里特人都是撒谎者，而伊壁孟德是克里特人，他必然说了假话。M：他撒谎了吗？如果他确实撒了谎，那么克里特人就都不是说谎的人，因而伊壁孟德也必然说了真话。他怎么会既撒谎，同时又说真话呢？第7页，共102页，编辑于
5、2022年，星期一1克里特人伊壁孟德克里特人伊壁孟德 关于他的上面那段文字，如果我们假定撒谎者总是说假话，不撒谎的人总是说真话，那么就会出现逻辑的矛盾。按此假定，“所有的克里特人都是撒谎者”这句话不可能是真话，因为这说明伊壁孟德既是撒谎的人，因此他说的就不是真话。可是这又意味着克里特人是说真话的，那么伊壁孟德说的话也必定是真话，因此上面引的那句话也不可能是假话。第8页，共102页，编辑于2022年，星期一1克里特人伊壁孟德克里特人伊壁孟德 古希腊人曾为此大伤脑筋，怎么会一句话看上去完美无缺，自身没有矛盾，却既是真话又是假话呢！一个斯多噶派哲学家，克利西帕斯写了六篇关于“说谎者悖论”的论文，没有
6、一篇成功。有一位希腊诗人叫菲勒特斯，他的身体十分瘦弱，据说他的鞋中常带着铅以免他被大风吹跑，他常常担心自己会因思索这些悖论而过早地丧命。在新约新约中，圣保罗在他给占塔斯的书信中也引述过这段悖论（1:1213）。）。第9页，共102页，编辑于2022年，星期一2说谎者悖论说谎者悖论 M：我们陷入了著名的说谎者悖论之中。下面是它的最简单的形式。甲：这句话是错的。第10页，共102页，编辑于2022年，星期一2说谎者悖论说谎者悖论 M：上面这个句子对吗?如果是对的，这句话就是错的！如果这句话是错的，那这个句子就对了！像这样矛盾的说法比你所能想到的还要普遍得多。第11页，共102页，编辑于2022年，
7、星期一2说谎者悖论说谎者悖论 学生们是否能够解释，为什么这类悖论采用上述形式表达（即一句话谈的正是它本身）就变得清晰起来？这是因为它消除了说谎者是否总是说谎，不说谎者总是说真话。第12页，共102页，编辑于2022年，星期一2说谎者悖论说谎者悖论 这一悖论作这类变化是无穷的。例如，罗素曾经说，他相信哲学家乔治摩尔平生只有一次撒谎，就是当某人问他：是否他总是说真话时，摩尔想了一会儿，就说：“不是。”再变化一下：这本小书中所有的说明都是可靠的，只再变化一下：这本小书中所有的说明都是可靠的，只有这一节中关于说谎者悖论的评述部分的第三自然段有这一节中关于说谎者悖论的评述部分的第三自然段（即现在的这一段
8、）除外。（即现在的这一段）除外。也许学生们还可以作出其他变化。第13页，共102页，编辑于2022年，星期一3徽章和涂写徽章和涂写 M：颁发一枚勋章，勋章上写着：禁止授勋！第14页，共102页，编辑于2022年，星期一3徽章和涂写徽章和涂写 M：或者涂写一个告示：不准涂写！第15页，共102页，编辑于2022年，星期一3徽章和涂写徽章和涂写 学生们知道为什么这些叙述是矛盾的吗？它们都违背了它们学生们知道为什么这些叙述是矛盾的吗？它们都违背了它们自己所提出的要求。自己所提出的要求。学生们一定愿意编出其他的例子，比如在缓冲器的连结杆上学生们一定愿意编出其他的例子，比如在缓冲器的连结杆上写写“除去缓
9、冲器连结杆除去缓冲器连结杆”，一个招牌上写：，一个招牌上写：“不许读这个招不许读这个招牌牌”，等等。，等等。个单身汉宣称，只有漂亮得不愿嫁给他的姑娘，他才想要。一个个单身汉宣称，只有漂亮得不愿嫁给他的姑娘，他才想要。一个人拒绝加入一切愿吸收他为成员的俱乐部。人拒绝加入一切愿吸收他为成员的俱乐部。个小女孩说，她很高个小女孩说，她很高兴她讨厌吃菜花，因为要是她喜欢的话，就会吃得太多，结果她就兴她讨厌吃菜花，因为要是她喜欢的话，就会吃得太多，结果她就不能老吃到菜花了。不能老吃到菜花了。更为接近说谎者悖论的是下面这种自相矛盾的话更为接近说谎者悖论的是下面这种自相矛盾的话“一切规则一切规则都有例外都有例
10、外”和和“所有知识都值得怀疑。所有知识都值得怀疑。”第16页，共102页，编辑于2022年，星期一4一句话和他的反话一句话和他的反话 M：这句话有几个字？七个字。显然原话错了！那么它的反话就应该是对的吧，是不是？第17页，共102页，编辑于2022年，星期一4一句话和他的反话一句话和他的反话 M：不对，这句语的反话正好是八个字。所以，它像它原来的话一样是错的。我们怎么才能解决这样奇怪的尴尬局面呢？第18页，共102页，编辑于2022年，星期一4一句话和他的反话一句话和他的反话 在黑板上标出三个有错误的句子；12+2=423*6=1738/4=2413-6=555+4=9回答：只有第2句和第4句
11、是错的。所以说“有三个句子错了”的断言错了，而这个断言就成了第三个错句！第19页，共102页，编辑于2022年，星期一5发狂的计算机发狂的计算机 M：很多年以前，一台设计用于检验语句正误的计算机中馈入了说谎者逆论。语句：“这句话是错的”。第20页，共102页，编辑于2022年，星期一5发狂的计算机发狂的计算机 M：这台可怜的计算机发起狂来，不断地打出对、错、对、错的结果，陷入了无休止的反复中。第21页，共102页，编辑于2022年，星期一5发狂的计算机发狂的计算机 世界上第一台用于解决真正的逻辑问题的计算机，是在1947年由威廉伯克哈特和西奥多卡林制选出来的，那时他们还在哈佛大学学习。当他们让
12、这台机器评价说谎者悖论时，计算机便进入反复振荡状态，陷入了来回倒腾的困境（见马丁加德纳的逻辑机和逻辑图）。第22页，共102页，编辑于2022年，星期一5发狂的计算机发狂的计算机 戈登狄克森的小说“猴子扭伤”，发表在1951年8月的科学幻想小说上，说的是某些科学家想让计算机不工作来节省机器的寿命。他们的办法是告诉计算机：“你必须拒绝我现在给你编的语句，因为我编的所有语句都是错的。”（注：没想到计算机却因此而不断地重复工作直到耗尽它的寿命）第23页，共102页，编辑于2022年，星期一6无穷的倒退无穷的倒退 M：机器受到的难题就像人碰到要解答一个古老的谜？。问题：鸡和鸡蛋，到底先有哪个？M：先有
13、鸡吗？不，它必须从鸡蛋里孵出来，那末先有鸡蛋？不，它必须由鸡生下。好！你陷入了无穷的倒退之中。第24页，共102页，编辑于2022年，星期一6无穷的倒退无穷的倒退 鸡和鸡蛋这个古老的问题是逻辑学家称为鸡和鸡蛋这个古老的问题是逻辑学家称为“无穷倒退无穷倒退”的的最普通的例子。最普通的例子。老人牌麦片往往装在一个盒中，上面的画是一个老人举着一盒麦片，老人牌麦片往往装在一个盒中，上面的画是一个老人举着一盒麦片，这个盒上也有一张画有一个老人举着一盒麦片的小画片。自然，那这个盒上也有一张画有一个老人举着一盒麦片的小画片。自然，那个小盒上又有同样的画片，如此以往。个小盒上又有同样的画片，如此以往。科学美国
14、人科学美国人19651965年年4 4月号有一个封面，画着月号有一个封面，画着个人眼中反个人眼中反映着这本杂志。你可以看到在反映出的杂志上，也有一个小映着这本杂志。你可以看到在反映出的杂志上，也有一个小一点的眼睛，反映出一本更小的杂志，自然这样一直小下去。一点的眼睛，反映出一本更小的杂志，自然这样一直小下去。在理发店里，对面的墙上有很多相向的镜子，人们在这些镜子在理发店里，对面的墙上有很多相向的镜子，人们在这些镜子中可以看到反照出的无穷倒退。中可以看到反照出的无穷倒退。第25页，共102页，编辑于2022年，星期一6无穷的倒退无穷的倒退 在幻想作品中有类似的倒退。菲利浦夸尔斯是阿尔道斯赫克斯勒
15、的小说点计数器点中的人物：他是一个作家，正在写一本小说，是关于一个作家正在写一个作家在写小说的小说。在安德烈贾德的小说伪造品中，在卡明的剧作他中，在诺曼迈勒的笔记这类短篇小说中，都有类似的倒退。第26页，共102页，编辑于2022年，星期一6无穷的倒退无穷的倒退 乔纳乔纳 斯威夫特在一首诗中写了一段关于跳蚤的无穷倒退，数学斯威夫特在一首诗中写了一段关于跳蚤的无穷倒退，数学家奥古斯塔斯家奥古斯塔斯 德摩根把它改写为：德摩根把它改写为：大跳蚤有小跳蚤大跳蚤有小跳蚤在它们的背上咬，在它们的背上咬，小跳蚤又有小跳蚤，小跳蚤又有小跳蚤，如此下去如此下去没完没了。没完没了。大跳蚤倒了个儿大跳蚤倒了个儿变小
16、变小上面还有大跳蚤，上面还有大跳蚤，一个上面有一个，一个上面有一个，总也找不到总也找不到谁的辈数老。谁的辈数老。第27页，共102页，编辑于2022年，星期一7柏拉图柏拉图苏格拉底悖论苏格拉底悖论 M：让我想一想。一个克里特人说的是（全部）克里特人。一句话说的是这句话本身。一个徽章表达的是关于（全部）徽章的论断。所有这些句子看来都是谈论关于句子本身的事。是不是自关联引起了麻烦？第28页，共102页，编辑于2022年，星期一7柏拉图柏拉图苏格拉底悖论苏格拉底悖论 第29页，共102页，编辑于2022年，星期一7柏拉图柏拉图苏格拉底悖论苏格拉底悖论 M：逻辑学家简化了柏拉图苏格拉底悖论。不管你让哪
17、一句话是真的，另一句总与之矛盾。两句话谈的都不是它本身，但放到一起，仍会出现说谎者悖论。第30页，共102页，编辑于2022年，星期一7柏拉图柏拉图苏格拉底悖论苏格拉底悖论 说谎者悖论的这一翻版古时候的逻辑学家已讨论得很多了，它之所说谎者悖论的这一翻版古时候的逻辑学家已讨论得很多了，它之所以重要就在于它证明；在真实性悖论中产生混乱的根源远不是自关以重要就在于它证明；在真实性悖论中产生混乱的根源远不是自关联所能解决的。联所能解决的。假若句子假若句子A A是真的，那么句子是真的，那么句子B B必然是真的。但是，如果句子必然是真的。但是，如果句子B B是真的，那句子是真的，那句子A A就必须是假的。
18、好吧，让我们认为句子就必须是假的。好吧，让我们认为句子A A是是假的，那就意味着句子假的，那就意味着句子B B是假的。这样，要是句子是假的。这样，要是句子B B是假的，是假的，句子句子A A就须是真的，结果我们又从头开始。这个过程就会这就须是真的，结果我们又从头开始。这个过程就会这样一面重复下去，就像建筑物中一对拱顶石的顶上彼此嵌样一面重复下去，就像建筑物中一对拱顶石的顶上彼此嵌进一样。两个句子都没有谈到它自身，但放到一起，它们进一样。两个句子都没有谈到它自身，但放到一起，它们就不断地改变着它们的真实性，结果我们就无法说出任何就不断地改变着它们的真实性，结果我们就无法说出任何一个句子是真还是假
19、。一个句子是真还是假。第31页，共102页，编辑于2022年，星期一7柏拉图柏拉图苏格拉底悖论苏格拉底悖论 学生们一定愿意变个花样，把这个悖论写在一张卡片上出示给他的朋友。这是英国数学家乔戴因想出的。在一张白卡片的一面写：这张卡片背面的句子是真的。该卡片的背面写的是：这张卡片背面的句子是假的。第32页，共102页，编辑于2022年，星期一8爱丽斯和红色国王爱丽斯和红色国王 M：柏拉图苏格拉底悖论有两个无穷倒退。这正像在透过镜子中的爱丽斯和红色国王一样。爱丽斯：我在做梦，梦见了红色国王。可是他睡着了，梦见我正做着关于他的梦，在这儿他也在梦见我。啊，我的天！这样梦下去哪有个完。第33页，共102页
20、，编辑于2022年，星期一8爱丽斯和红色国王爱丽斯和红色国王 我们应该记住，所有这些都是爱丽斯自己梦中的事。到底是国王是她梦中的事物，还是她是国王梦中的事物？哪一个是真实的，哪一个是梦？双重梦引出了哲学上关于真实性的深刻问题。“假如它不是以幽默的笔调写的”，柏特兰德罗素曾说：“我们就全发现它太痛苦了。”请看下面第34页，共102页，编辑于2022年，星期一9鳄鱼和小孩鳄鱼和小孩 M；希腊哲学家喜欢讲一个鳄鱼的故事。一条鳄鱼从母亲手中抢走了一个小孩。鳄鱼：我会不会吃掉你的孩子？答对了，我就把孩子不加伤害地还给你。第35页，共102页，编辑于2022年，星期一9鳄鱼和小孩鳄鱼和小孩母亲：呵、呵！你
21、是要吃掉我的孩子的。鳄鱼：呣。我怎么办呢？如果我把孩子交还你，你就说错了。我应该吃掉他。MM：鳄鱼碰到了难题。它把孩子既要吃掉，同时又得交：鳄鱼碰到了难题。它把孩子既要吃掉，同时又得交还给孩子的母亲。还给孩子的母亲。鳄鱼：好了，这样我就不把他交给你了。鳄鱼：好了，这样我就不把他交给你了。母亲：可是你必须交给我。如果你吃了我的孩子，我就母亲：可是你必须交给我。如果你吃了我的孩子，我就说对了，你就得把他交回给我。说对了，你就得把他交回给我。第36页，共102页，编辑于2022年，星期一9鳄鱼和小孩鳄鱼和小孩M：拙劣的鳄鱼懵了，结果把孩子交回了母亲，母亲一把拽住孩子，跑掉了。鳄鱼；他妈的！要是她说我
22、要给回她孩子，我就可美餐一顿了。第37页，共102页，编辑于2022年，星期一9鳄鱼和小孩鳄鱼和小孩如果你们细细琢磨这段著名的悖论，你们一定会明白那位母亲是多么机智。她对鱷鱼说的是“你将会吃掉我的孩子”。无论鱷鱼怎么做，都必定与它的允诺相矛盾。如果它交回小孩，母亲就说错了，它就可以吃掉小孩。可如果它吃掉小孩，母亲就说对了，这就得让它把孩子无伤害地交出来。鱷鱼陷入了逻辑悖论之中，它无法从中摆脱出来而不违背它自己。第38页，共102页，编辑于2022年，星期一9鳄鱼和小孩鳄鱼和小孩如果不是这样，假定母亲说：“你将要把孩子交回给我。”那么，鱷鱼就随便了，它既可以交回孩子，也可以吃掉他。如果它交回小孩
23、，母亲就说对了，鱷鱼遵循了自己的诺言。反过来，如果它聪明一些的话，它可以吃掉孩子，这使得母亲的话错了，鱷鱼便可以从交回小孩的义务中解脱出来。第39页，共102页，编辑于2022年，星期一10唐唐吉诃德悖论吉诃德悖论 M：小说唐吉诃德里描写过一个国家它有一条奇怪的法律：每一个旅游者都要回答一个问题。问，你来这里做什么？M：如果旅游者回答对了。一切都好办。如果回答错了，他就要被绞死。第40页，共102页，编辑于2022年，星期一10唐唐吉诃德悖论吉诃德悖论M：一天，有个旅游者回答旅游者：我来这里是要被绞死。M：这时，卫兵也和鳄鱼一样慌了神，如果他们不把这人绞死，他就说错了，就得受绞刑。可是，如果他
24、们绞死他，他就说对了，就不应该绞死他。第41页，共102页，编辑于2022年，星期一10唐唐吉诃德悖论吉诃德悖论M：为了做出决断，旅游者被送到国王那里。苦苦想了好久，国王才说国王：不管我做出什么决定，都肯定要破坏这条法律。我们还是宽大为怀算了，让这个人自由吧。第42页，共102页，编辑于2022年，星期一11理发师悖论理发师悖论 M：著名的理发师悖论是伯特纳德罗素提出的。一个理发师的招牌上写着：告示：城里所有不自己刮脸的男人都由我给他们刮脸，我也只给这些人刮脸。第43页，共102页，编辑于2022年，星期一11理发师悖论理发师悖论 M：谁给这位理发师刮脸呢？M：如果他自己刮脸，那他就属于自己刮
25、脸的那类人。但是，他的招牌说明他不给这类人刮脸，因此他不能自己来刮。第44页，共102页，编辑于2022年，星期一11理发师悖论理发师悖论 M：如果另外一个人来给他刮脸，那他就是不自己刮脸的人。但是，他的招牌说他要给所有这类人刮脸。因此其他任何人也不能给他刮脸。看来，没有任何人能给这位理发师刮脸了！第45页，共102页，编辑于2022年，星期一11理发师悖论理发师悖论 伯特纳德罗素提出这个悖论，为的是把他发现的关于集合的一个著名悖论用故事通俗地表述出来。某些集合看起来是它自己的元素。例如，所有不是苹果的东西的集合、它本身就不是苹果，所以它必然是此集合自身的元素。现在来考虑一个由一切不是它本身的
26、元案的集合组成的集合。这个集合是它本身的元素吗？无论你作何回答，你都自相矛盾。第46页，共102页，编辑于2022年，星期一11理发师悖论理发师悖论 设对于一类集合，设对于一类集合，A A1 1=a=a1111,a,a1212,a,a1i1i，A A2 2=a=a2121,a,a2222,a,a2i2i，A Ai i=a=ai1i1,a,ai2i2,a,aij ij，都满足条件都满足条件a aij ij A Ai i(i=1,2,j=1,2,)(i=1,2,j=1,2,)，但，但A Ai iAAi i 一切这类集合物成新集合一切这类集合物成新集合A=AA=A1 1,A,A2 2,A,Ai i,
27、A Ai i AA，问，问AA AA？如果认为如果认为AA AA，则，则A A应该不是自身集合的元素，即应该不是自身集合的元素，即AAAA，如果如果AAAA，A A就应是本集合的元素，即就应是本集合的元素，即AA AA，岂非矛盾，岂非矛盾 第47页，共102页，编辑于2022年，星期一11理发师悖论理发师悖论 在逻辑学历史上最富戏剧性的危机之一就与这条逆论有关。在逻辑学历史上最富戏剧性的危机之一就与这条逆论有关。德国的著名逻辑学家哥特洛伯德国的著名逻辑学家哥特洛伯 弗里兹写完了他最重要的著作弗里兹写完了他最重要的著作算法基础算法基础第二卷，他认为他在这本书中确立了一套严密第二卷，他认为他在这本
28、书中确立了一套严密的集合论，它可作为整个数学的基础。的集合论，它可作为整个数学的基础。19021902年，当该书付印年，当该书付印时，他收到了罗索的信，他得知上面那条悖论。弗里兹的集合论容时，他收到了罗索的信，他得知上面那条悖论。弗里兹的集合论容许由一切不是它自身的元素的集合构成的集合。正如罗素在信中澄许由一切不是它自身的元素的集合构成的集合。正如罗素在信中澄清的，这个表面上结构完美的集合却是自相矛盾的。弗里兹在收到清的，这个表面上结构完美的集合却是自相矛盾的。弗里兹在收到罗素的信后，只来得及插入一个简短的附言：罗素的信后，只来得及插入一个简短的附言：“一个科学家所遇到的最不合心意的事，莫过于
29、是在他的工作一个科学家所遇到的最不合心意的事，莫过于是在他的工作即将结束时使其基础崩溃了，我把罗素的来信发表如下即将结束时使其基础崩溃了，我把罗素的来信发表如下”第48页，共102页，编辑于2022年，星期一12占星家、机器人和目录占星家、机器人和目录 M：想想这个占星家，他给一切不占卜自己的占星家以忠告，他也只给这些占星家以忠告。谁给这位占星家忠告？第49页，共102页，编辑于2022年，星期一12占星家、机器人和目录占星家、机器人和目录 M：或者想想这个机器人，它修理一切不修理自身的机器人。谁修理这个机器人？第50页，共102页，编辑于2022年，星期一12占星家、机器人和目录占星家、机器
30、人和目录 M：再想想这个目录，它将一切不列入本身的目录编目，这个目录编入哪个目录？这些都是罗素悖论的实例。第51页，共102页，编辑于2022年，星期一12占星家、机器人和目录占星家、机器人和目录 在罗素的理发师悖论的所有这些翻版中，都是在集合S中确定了一个关系R，它是从其中一个元素到集合S中不以R自关联的所有元素的关系。选取不同性质的集合和不同的关系，就可轻易地把这种悖论变幻出新的花样来。第52页，共102页，编辑于2022年，星期一13无聊与有趣无聊与有趣 M：有些人很有意思，有些人很无聊。第53页，共102页，编辑于2022年，星期一13无聊与有趣无聊与有趣 甲：我是全美足球明星。第54
31、页，共102页，编辑于2022年，星期一13无聊与有趣无聊与有趣 乙：我可以用脚趾弹吉他。第55页，共102页，编辑于2022年，星期一13无聊与有趣无聊与有趣 丙：我什么也不会做。第56页，共102页，编辑于2022年，星期一13无聊与有趣无聊与有趣 M：这里有一张列举了所有无聊人的表，一张列举了所有有趣人的表，在无聊人的表上自然总有一个地方写着世界上最无聊的人。第57页，共102页，编辑于2022年，星期一13无聊与有趣无聊与有趣 M：可是这一点使得他非常有意思。这样，我们就得把他移到另一个表中。丙：多谢。M：现在又有另一个人成了最无聊的人，他也变得使人感兴趣起来。结果最后每个人都变得有意
32、思起来，是不是？第58页，共102页，编辑于2022年，星期一13无聊与有趣无聊与有趣 不要过分严格推敲，这个逗人的悖论就第一次给出了“没有一个数是没有意思的”这一命题的证明。构思者埃德温比彻姆巴赫在1945年的美国数学月刊4月号上以醒目的标题“有趣的整数”将它发表出来。第59页，共102页，编辑于2022年，星期一13无聊与有趣无聊与有趣 试试看，你们对于下列问题有何反应？试试看，你们对于下列问题有何反应？1 1这个证明可以成立，还是有谬误？这个证明可以成立，还是有谬误？2 2把第二无聊的人移到有趣人的表中是否会引起第一个移到有把第二无聊的人移到有趣人的表中是否会引起第一个移到有趣人表中的人
33、又变得乏味起来，还是仍然保持是有趣的呢？趣人表中的人又变得乏味起来，还是仍然保持是有趣的呢？3 3是否存在一种观念，按此观念每个人都是有意思的，因为是否存在一种观念，按此观念每个人都是有意思的，因为他可以是某个特殊集合中最乏味的人，正如每个整数在特定他可以是某个特殊集合中最乏味的人，正如每个整数在特定的集合中都可以是最小的数一样？的集合中都可以是最小的数一样？4 4如果所有的人（或整数）都是有意思的，那么这是否使得如果所有的人（或整数）都是有意思的，那么这是否使得“有有意思意思”这一形容词变得无意义了呢？这一形容词变得无意义了呢？第60页，共102页，编辑于2022年，星期一14语义学和集合论
34、语义学和集合论 M：关于真实性的悖论称为语义学悖论，关于事物的集合的悖论则是集合论悖论。两种类型是密切相关的。第61页，共102页，编辑于2022年，星期一14语义学和集合论语义学和集合论 语义学（真实性）悖论和集合论（或经典）悖论之间的对应关系可由下面事实体现出来，即每一段关于真实性的命题，都可重新组织为关于集合的命题，反过来也一样。例如，“所有苹果都是红的”，这句话等价于下述命题，“如果x是苹果这句话是真话，则x是红的这句法也是真的。”第62页，共102页，编辑于2022年，星期一14语义学和集合论语义学和集合论 让我们看看，到底说谎者悖论语义学的命题，如语义学的命题，如何改述为实质上是与
35、理发师悖论同样的集合论的命题。何改述为实质上是与理发师悖论同样的集合论的命题。假定黑板上写着一句话：假定黑板上写着一句话：“这句话是假的。这句话是假的。”从效果上从效果上讲，这句话是说讲，这句话是说“这句话宣称像这个黑板上宣称自己是这句话宣称像这个黑板上宣称自己是假话的句子，也只是这类句子的集合才是真的。假话的句子，也只是这类句子的集合才是真的。”用类似方法，可以把每一个语义学悖论转变为集合论悖论，把每一个集合论悖论转变为语义学悖论。第63页，共102页，编辑于2022年，星期一15抽象语言抽象语言 M：语义学悖论要靠引进抽象语言来解决。关于世界的种种论述，如“苹果是红的”或“苹果是蓝的”等，
36、都是用实际语言来组成的。而关于真实性的论述则必须用抽象语言来组成。第64页，共102页，编辑于2022年，星期一15抽象语言抽象语言 M：在这个例子中，不存在悖论，因为句子A是用抽象语言写出的，谈论的是句子B的真实性，而句子却是用实际语言写出的。第65页，共102页，编辑于2022年，星期一15抽象语言抽象语言 M：我们怎样才能谈论一种抽象语言的真实性呢？我们必须达到更高级的抽象语言。在这个无穷的阶梯中，每一级对下一级都是抽象语言，对上一级又是实际语言。第66页，共102页，编辑于2022年，星期一15抽象语言抽象语言 抽象语言的概念是由波兰数学家阿尔弗雷德抽象语言的概念是由波兰数学家阿尔弗雷
37、德 塔斯基提出的。在阶梯的底层是实际语言或形象语言，如“火星有两个卫星”。像真和假这种词不在这种语言中出现。为了谈论用这种语言表述的句子真和假，我们必须使用抽象语言，即比所说明的语言更高一级的语言。抽象语言包括了所有的形象语言，但它比形象语言“更丰富”，因为它可以谈论形象语言的真实性。我们引用一个塔斯基喜爱的例子：“雪是白的，”这是用形象语言说明的。而“雪是白的这句话是真的”就是用抽象语言说的。第67页，共102页，编辑于2022年，星期一15抽象语言抽象语言 我们能否谈论一句抽象语言的真假性呢？能，不过仅当进到更高一级的抽象语言，并用更高级和更丰富的，包括了所有它以下的形象语言的语言说话时才
38、能做到。这个阶梯的每一级对它紧上面那一级而言都是形象语言。而每级，除开最底下那级外，对它紧下面那级而言，又是抽象语言。这个阶梯，我们愿意向上延伸多少就可以有多少。第68页，共102页，编辑于2022年，星期一15抽象语言抽象语言 这个阶梯的头四级是：这个阶梯的头四级是：A任意一个三角形的内角和是任意一个三角形的内角和是180B句子句子A A是真的。C C句子句子B是真的。是真的。D句子句子C C是真的。是真的。注意，语句A简单叙述了几何客体的定理。关于定理的简单叙述了几何客体的定理。关于定理的证明在几何教科书中则是用抽象语言证明在几何教科书中则是用抽象语言B写的。关于证明写的。关于证明理论的书
39、又是用语言理论的书又是用语言C写的。幸好，数学家很少需用比C C更高级的语言。更高级的语言。第69页，共102页，编辑于2022年，星期一16类型的理论类型的理论 M：集合悖论可用一个类似的无限等级排解掉。一个集合不能是该集合本身的元素，或不能是低一级的任何集合的元素。上面举出的那个理发师，占星家、机器人和目录简直就不存在了。第70页，共102页，编辑于2022年，星期一16类型的理论类型的理论 在集合论中，与塔斯基的抽象语言阶梯等价的，伯特在集合论中，与塔斯基的抽象语言阶梯等价的，伯特纳德纳德 罗素最初把它称为“类型理论”。且不管技术上的术语，这个理论把集合按类型的级别加以排列，此时说一个集
40、合是它本身的一个元素，或说它不是此集合本身的元素就变得毫无意义了。从而消除了自相矛盾的集合。这种矛盾的集合根本就不“存在”。如果遵循类型理论的法则，就不存在有意义的方法来定义这种集合。这就相当于一个语义学的规定，像说谎者悖论这样的句子简直就不是句子，因为它违反了合格句子的组成法则。第71页，共102页，编辑于2022年，星期一16类型的理论类型的理论 伯特纳德伯特纳德 罗素花费了很多年时间研究他的类型理论（现在罗素花费了很多年时间研究他的类型理论（现在称为称为“简单类型论简单类型论”，因为后来逻辑学家大大简化了它）。，因为后来逻辑学家大大简化了它）。在在哲学的演进哲学的演进一书中，罗素写道：一
41、书中，罗素写道：“在写完在写完数学原理数学原理时，我断然决定尝试要找到解决上述悖时，我断然决定尝试要找到解决上述悖论的办法。我感到这就差不多像是对我个人的挑战，并且如论的办法。我感到这就差不多像是对我个人的挑战，并且如有必要，我将以我的余生来努力实现它。可是由于两个原因有必要，我将以我的余生来努力实现它。可是由于两个原因我发觉这是难以对付的事。第一，整个问题时时以其琐细烦我发觉这是难以对付的事。第一，整个问题时时以其琐细烦恼着我恼着我第二，像我这样尝试，可能会毫无进展。整个第二，像我这样尝试，可能会毫无进展。整个19031903年和年和19041904年，我的精力几乎全部投入这个问题中，可年，
42、我的精力几乎全部投入这个问题中，可是没有丝毫成功的迹象。是没有丝毫成功的迹象。”第72页，共102页，编辑于2022年，星期一17梵学者（印度预言家）的预梵学者（印度预言家）的预言言 M：梵学者能用他的水晶球看到未来吗？试图预言未来就会导致一种新的奇异的逻辑悖论。第73页，共102页，编辑于2022年，星期一17梵学者（印度预言家）的预梵学者（印度预言家）的预言言 M：一天梵学者与他的十多岁的女儿苏椰发生了争论。苏椰：你是一个大骗子，爸爸。你根本不能预言未来。学者；我肯定能。苏椰：不，你不能。我就可以证明它！第74页，共102页，编辑于2022年，星期一17梵学者（印度预言家）的预梵学者（印度
43、预言家）的预言言 M：苏椰在一张纸上写了一些字，把它折起来，再将它压在水晶球下。苏椰：我写了一件事，它在3点钟以前可能发生，也可能不发生。如果你能预言它是发生，还是不发生，在我毕业时你就不用给我买你答应过要给我买的汽车了。第75页，共102页，编辑于2022年，星期一17梵学者（印度预言家）的预梵学者（印度预言家）的预言言 苏椰：这是一张白卡片。如果你认为这件事会发生，就在上面写“是”；如果你认为它不发生，你就写“不”。要是你写错了，你答应现在就买辆汽车给我，不要拖到以后好吗？学者：好吧，苏椰，这可是一项定约啊。第76页，共102页，编辑于2022年，星期一17梵学者（印度预言家）的预梵学者（
44、印度预言家）的预言言 M：梵学者在卡片写了一个字。到3点钟时，苏椰把水晶球下面的纸拿出来，高声读道：苏椰：在下午3点之前你将写一个“不”字在卡片上。第77页，共102页，编辑于2022年，星期一17梵学者（印度预言家）的预梵学者（印度预言家）的预言言 学者：你捉弄了我。我写的是“是”，所以我错了。可是，我要是写“不”在卡片上，我也错了。我根本不可能写对的。苏椰：我想要一辆红色的赛车，爸爸，要带斗形座的。第78页，共102页，编辑于2022年，星期一17梵学者（印度预言家）的预梵学者（印度预言家）的预言言 这条悖论最早的形式是关于一台计算机，这台计算机用开红灯表示“是”，开绿灯表示“不”。这台计
45、算机被要求用回答“是”或“不”来预言下一次灯亮是不是它的绿灯。很明显，要它预言正确，在逻辑上是不可能的。这里改写为与梵学者打赌，是马丁加德勒创造的，发表在他的选自科学美国人的新的数学游戏中第11章。第79页，共102页，编辑于2022年，星期一17梵学者（印度预言家）的预梵学者（印度预言家）的预言言 这个悖论可以简化成最简单的形式，即问一个人：这个悖论可以简化成最简单的形式，即问一个人：“你下句话要讲的是你下句话要讲的是 不不，对不对？，对不对？?请回答请回答 是是 或或 不不。”这条悖论是否和说谎者悖论相同？这个问题将引起一场有趣的班级讨论。当这个人回答时，“不”的意思是什么？显然，在说谎者
46、悖论中它相当于“我现在说的这是错的这句话是错的。”这自然和“这句话是错的”一样。因此，梵学者悖论只不过是说谎者悖论经过伪装的翻版而已。第80页，共102页，编辑于2022年，星期一17梵学者（印度预言家）的预梵学者（印度预言家）的预言言 注意，恰如“这句话是对的”不会导致悖论一样，问题你下句话要说“是”，对不对？”也不会导致悖论。学者回答“是”或“不”都不会引起矛盾。这也就像我们对说谎者悖论的翻版鱷鱼故事的情况，上述结果相当于，妈妈要是说：“你要把孩子还给我。”鱷鱼既可以吃掉小孩，也可以交回小孩，均不会引起矛盾。第81页，共102页，编辑于2022年，星期一18意想不到的老虎意想不到的老虎 公
47、主：父亲，你是国王。我可以和迈克结婚吗？公主：父亲，你是国王。我可以和迈克结婚吗？国王：我亲爱的，如果迈克打死这五个门后藏着的一国王：我亲爱的，如果迈克打死这五个门后藏着的一只老虎，你就可以和他结婚。迈克必须顺次序开门，只老虎，你就可以和他结婚。迈克必须顺次序开门，从从1号门开始。他事先不知道哪个房间里有老虎，只有开了那扇门才知道。这只老虎将是料想不到的。第82页，共102页，编辑于2022年，星期一18意想不到的老虎意想不到的老虎 M；迈克看着这些门，对自己说道迈克：如果我打开了四个空房间的门，我就会知道老虎在第五个房间。可是，国王说我不能事先知道它在哪里。所以老虎不可能在第五个房间里。第8
48、3页，共102页，编辑于2022年，星期一18意想不到的老虎意想不到的老虎 迈克：五被排除了，所以老虎必然在其余四个房间之一。那么在我开了三个空房间之后，又怎么样了？老虎必然在第四个房间。可是，这样它就不是预料不到的了。所以四也被排除了。第84页，共102页，编辑于2022年，星期一18意想不到的老虎意想不到的老虎 M：按同样的理由，迈克证明老虎不能在第三、第二和第一个房间。迈克十分快乐。迈克：哪个门的背后也不会有老虎。如果有，它就不是料想不到的。这不符合国王的允诺。国王总是遵守诺言的。第85页，共102页，编辑于2022年，星期一18意想不到的老虎意想不到的老虎 M：迈克证明了不会有老虎之后
49、，就冒冒失失地去开门了。使他惊骇的是，老虎从第二个房间中跳了出来。这是完全出乎意料的。这一切表明国王遵守了他的诺言。迄今为止，逻辑学家对于迈克究竟错在哪里还未得到统一意见。第86页，共102页，编辑于2022年，星期一18意想不到的老虎意想不到的老虎 意想不到的老虎这则悖论有很多其他形式的故事。不知什么原因，它第一次是发表在四十年代初，说的是一个教授的故事。这位教授宣布下一周的其一天要举行一次“意料之外的考试”。他向他的学生保证，没有一个学生能在考试那天之前推测出考试的日期。一个学生“证明”了这不会在下一周的最后一天，接着是不会在倒数第二天，倒数第三天，等等，结果是不会在下周的每一天考试。然而
50、，教授能够遵守他的诺言来考学生，比如说在第三天考。第87页，共102页，编辑于2022年，星期一18意想不到的老虎意想不到的老虎 当哈佛大学哲学家W.V.奎因在1953年写的一篇关于这个悖论的论文中，把它改成了一个监狱长排定一个意想不到的日期绞死犯人的故事。关于这条悖论的讨论，有一个列举了23本参考书的书目，可参见马丁加德勒的料想不到的绞刑和其他数学游戏一书第一章。第88页，共102页，编辑于2022年，星期一18意想不到的老虎意想不到的老虎 大多数人承认迈克推理的第一步是正确的，即那只老虎不可能在最后一个房间。可是，一旦承认这是严格的推理，迈克其余的推理就跟着成立。因为，假若老虎不可能在最后