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1、测量误差理论与数据测量误差理论与数据处理第二章处理第二章本讲稿第一页，共一百二十五页第一节第一节 测量误差的基本概念测量误差的基本概念 真值：真值：一个量在被观测时，该量本身所具有的真实大小。一个量在被观测时，该量本身所具有的真实大小。测量误差：测量误差：测量结果与真值不同，这个差别就是测量误差测量结果与真值不同，这个差别就是测量误差。一、测量误差的定义一、测量误差的定义 1、绝对误差：、绝对误差：2本讲稿第二页，共一百二十五页真值：可由理论给出或由计量学作出规定。真值：可由理论给出或由计量学作出规定。实际值：满足规定准确度要求，用来代替真值使用的量值实际值：满足规定准确度要求，用来代替真值使
2、用的量值修正值修正值C：与绝对误差大小相等，符号相反的量为修正值：与绝对误差大小相等，符号相反的量为修正值2、相对误差：、相对误差：反映测量的准确程度。反映测量的准确程度。有大小和符号，没有量纲有大小和符号，没有量纲 3本讲稿第三页，共一百二十五页3 3、引用误差：、引用误差：反映测量误差与电表量程的关系。反映测量误差与电表量程的关系。（1 1）引用相对误差（满度相对误差）引用相对误差（满度相对误差）4本讲稿第四页，共一百二十五页(2)电工仪表的等级电工仪表的等级 等级用等级用S表示，表示，S表示仪表的引用相对误差所不超过的百表示仪表的引用相对误差所不超过的百分比，即分比，即 讨论讨论 由于由
3、于xxxxm mS%S%，xmax正比于正比于xm，若测量真值，若测量真值x0很小，很小，几乎与几乎与xmax相等相等,那么就应该选较小满刻度值那么就应该选较小满刻度值xm，xm 不应比不应比x大很多。大很多。5本讲稿第五页，共一百二十五页 由于由于 ，x0 xm，x0 越接近于越接近于 xm，rmax 越小越小,测量越准确。测量越准确。一般情况下，被测量的数值尽可能在仪表满刻度的三一般情况下，被测量的数值尽可能在仪表满刻度的三 分之二以上。分之二以上。6本讲稿第六页，共一百二十五页二、测量误差的分类二、测量误差的分类 1 1、系统误差：、系统误差：（1 1）定义：在相同条件下多次测量同一量时
4、，误差的绝）定义：在相同条件下多次测量同一量时，误差的绝 对值和符号保持恒定，或在条件改变时按某对值和符号保持恒定，或在条件改变时按某 种确定规律变化的误差。种确定规律变化的误差。（2）特点：）特点：*测量条件一经确定，系统误差就获得了一测量条件一经确定，系统误差就获得了一 个客观上的恒定值，多次测量取平均并不个客观上的恒定值，多次测量取平均并不 改变系统误差的影响。改变系统误差的影响。*测量条件改变时，系统误差按等进式的、测量条件改变时，系统误差按等进式的、周期性的或按复杂规律变化。周期性的或按复杂规律变化。*存在不随某些测量条件而变化的系统误差存在不随某些测量条件而变化的系统误差 称为称为
5、恒值系统误差恒值系统误差。7本讲稿第七页，共一百二十五页（3）造成系统误差的原因）造成系统误差的原因常见的有：常见的有：测量设备的缺陷、测量仪器不准、测量仪表的安装、测量设备的缺陷、测量仪器不准、测量仪表的安装、放置和使用不当等引起的误差，如电表零点不准引放置和使用不当等引起的误差，如电表零点不准引 起的误差；起的误差；测量环境变化，如温度、湿度、电源电压变化、周测量环境变化，如温度、湿度、电源电压变化、周 围电磁场的影响等带来的误差；围电磁场的影响等带来的误差；测量时使用的方法不完善，所依据的理论不严密或测量时使用的方法不完善，所依据的理论不严密或 采用了某些近似公式等造成的误差。采用了某些
6、近似公式等造成的误差。8本讲稿第八页，共一百二十五页举例：测量电阻中的电压和电流举例：测量电阻中的电压和电流Rx电压表电压表电流表电流表 Rx电压表电压表电流表电流表测量的电流大于真值测量的电流大于真值解决方法：提高电压解决方法：提高电压表的内阻表的内阻测量的电压大于真值测量的电压大于真值解决方法：降低电流解决方法：降低电流表的内阻表的内阻9本讲稿第九页，共一百二十五页2、随机误差：（1）定义：在实际相同条件下多次测量同一量时，误定义：在实际相同条件下多次测量同一量时，误 差的绝对值和符号以不可预定的方式变化着差的绝对值和符号以不可预定的方式变化着 的误差。的误差。（2）特点特点具有有界性具有
7、有界性具有对称性具有对称性具有抵偿性具有抵偿性 10本讲稿第十页，共一百二十五页（3）测量数据的数学期望和方差测量数据的数学期望和方差 一次测量的随机误差没有规律，不可预定，不能控制也一次测量的随机误差没有规律，不可预定，不能控制也不能用实验的方法加以消除，但是对于大量的测量从统计的不能用实验的方法加以消除，但是对于大量的测量从统计的观点来看，随机误差表现出它的规律性，根据随机误差的特观点来看，随机误差表现出它的规律性，根据随机误差的特点，由于随机误差的存在，测量值在一定范围内摆动，不能点，由于随机误差的存在，测量值在一定范围内摆动，不能预算测量值肯定为多少，只能对它的变化范围进行估计，因预算
8、测量值肯定为多少，只能对它的变化范围进行估计，因此测量值是一个随机变量。此测量值是一个随机变量。11本讲稿第十一页，共一百二十五页 随随机机变变量量特特点点：随随机机变变量量随随着着试试验验的的结结果果而而取取不不同同的的值值,又又由由于于试试验验的的各各个个结结果果的的出出现现有有一一定定的的概概率率，于于是是随随机机变变量量取值也有一定的概率。取值也有一定的概率。1 1、离离散散型型随随机机变变量量X X的的概概率率分分布布或或分分布布律律：设设离离散散型型随随机机变变量量X X，所所有有可可能能取取的的值值为为x xk k（k=1,2k=1,2），X X取取各各个个可可能能值值的的概概率
9、率，即即事事件件X=xX=xk k 的的概概率率为为PX=xPX=xk k=P=Pk k，k=1k=1，2 2，即为即为X X的概率分布的概率分布特性：特性：*P*Pk k00，k=1k=1、2 2 *PPk k=1=1 12本讲稿第十二页，共一百二十五页 对对应应于于某某个个取取值值的的概概率率趋趋近近于于零零（P（x）=0），只只能能说说明明随机变量所取的值落在一个区间内的概率随机变量所取的值落在一个区间内的概率P(x1Xx2)。所以用概率密度来体现所以用概率密度来体现X的分布情况的分布情况：2、连续型随机变量连续型随机变量X的分布的分布3、一般情况下求随机变量分布情况很难，所以通常用、一
10、般情况下求随机变量分布情况很难，所以通常用 数学期望和方差数学期望和方差体现随机变量的主要数学特征。体现随机变量的主要数学特征。数学期望：多次测量的平均值数学期望：多次测量的平均值 M（X）方差：测量值与均值的偏离程度方差：测量值与均值的偏离程度 2（X）补充完补充完13本讲稿第十三页，共一百二十五页 测量值为离散值时的数学期望和方差测量值为离散值时的数学期望和方差 X：测量值测量值x xi i：取值中一个：取值中一个n ni i：取：取x xi i值的次数值的次数n n：总测量次数：总测量次数m m：获得数据的个数：获得数据的个数 测量值测量值X X的数学期望：反映测量值平均的情况。的数学期
11、望：反映测量值平均的情况。若测若测 n n 次就得到次就得到 n n 个测量值，即个测量值，即n=m,n=m,那么那么 14本讲稿第十四页，共一百二十五页测量值测量值X X的方差：反映测量值的离散程度。的方差：反映测量值的离散程度。2 2（X X）亦可纪为）亦可纪为D D（X X），），（X X）叫作标准偏差，亦叫）叫作标准偏差，亦叫均方根差。均方根差。若测若测n n次就得到次就得到n n个测量值，即个测量值，即n=m,n=m,那么那么 15本讲稿第十五页，共一百二十五页 测量值为连续值时的数学期望和方差测量值为连续值时的数学期望和方差 16本讲稿第十六页，共一百二十五页3、粗大误差：（寄生误
12、差）粗大误差：（寄生误差）超出在规定条件下预期的误差。超出在规定条件下预期的误差。4、测量误差对测量结果的影响测量误差对测量结果的影响 在确定条件下，对被测量在确定条件下，对被测量x x的第的第i i次测量的绝对误差为次测量的绝对误差为 :系统误差，恒定值系统误差，恒定值 ：第：第i i次测量的随机误差次测量的随机误差 (1)系统误差对测量结果的影响系统误差对测量结果的影响17本讲稿第十七页，共一百二十五页当测量次数当测量次数nn时，对时，对n n次测量的绝对误差取平均值则次测量的绝对误差取平均值则 由于随机误差的抵偿性由于随机误差的抵偿性 结论：系统误差使测量值的数学期望偏离被测量的真值。结
13、论：系统误差使测量值的数学期望偏离被测量的真值。18本讲稿第十八页，共一百二十五页由于第由于第i i次测量的随机误差次测量的随机误差 (2)随机误差对测量结果的影响随机误差对测量结果的影响结论：随机误差使测量值偏离数学期望结论：随机误差使测量值偏离数学期望M(X)M(X)。19本讲稿第十九页，共一百二十五页x只存在随机误差的情况只存在随机误差的情况x存在系统误差和随机误差的情况存在系统误差和随机误差的情况20本讲稿第二十页，共一百二十五页5 5、测量的正确度、精密度和准确度、测量的正确度、精密度和准确度（1）正确度：表示测量结果中系统误差大小的程度。正确度：表示测量结果中系统误差大小的程度。（
14、2）精密度：用来表示测量结果中随机误差大小的程度。精密度：用来表示测量结果中随机误差大小的程度。21本讲稿第二十一页，共一百二十五页x随机误差较小随机误差较小x随机误差较大随机误差较大等精密度测量：标准偏差等精密度测量：标准偏差（X X）相同的测量。）相同的测量。22本讲稿第二十二页，共一百二十五页（3 3）准确度：测量结果中系统误差与随机误差大小的程）准确度：测量结果中系统误差与随机误差大小的程 度。度。x正确度高，精密度低正确度高，精密度低x正确度低，精密度高正确度低，精密度高准确度高x23本讲稿第二十三页，共一百二十五页第二节第二节 测量误差的估计和处理测量误差的估计和处理 一、随机误差
15、的影响及统计处理：一、随机误差的影响及统计处理：研究问题：研究问题：*随机误差使测量数据按什么规律分布。随机误差使测量数据按什么规律分布。*多次测量的平均值在什么性质。多次测量的平均值在什么性质。*根据测量数据的分布情况，估计被测根据测量数据的分布情况，估计被测 量的数学期望和方差以及被测量真值量的数学期望和方差以及被测量真值 出现在一区间的概率。出现在一区间的概率。研究方法：研究方法：概率论和数理统计法。概率论和数理统计法。24本讲稿第二十四页，共一百二十五页中心极限定理：被研究的随机误差变量可以表示为中心极限定理：被研究的随机误差变量可以表示为 大量独立的随机变量的和，其中每大量独立的随机
16、变量的和，其中每 一个随机变量对于总和只起微小的一个随机变量对于总和只起微小的 作用，则可认为这个随机变量服从作用，则可认为这个随机变量服从 正态分布正态分布高斯分布高斯分布。测量中随机误差的分布及在随机误差影响下测量数据的测量中随机误差的分布及在随机误差影响下测量数据的分布大多接近于服从分布大多接近于服从正态分布正态分布。1、中心极限定理在误差分析中的应用中心极限定理在误差分析中的应用测量数据的正测量数据的正 态分布态分布25本讲稿第二十五页，共一百二十五页随机误差和测量数据的正态分布随机误差和测量数据的正态分布 随机误差的概率分布与测量数据的概率分布完全一样，随机误差的概率分布与测量数据的
17、概率分布完全一样，一般只需讨论其中一种。一般只需讨论其中一种。26本讲稿第二十六页，共一百二十五页特点特点:*:*绝对值小的随机误差出现的概率大，而绝对值绝对值小的随机误差出现的概率大，而绝对值 大的随机误差出现的概率小大的随机误差出现的概率小 *测量数据的分散程度可由标准偏差测量数据的分散程度可由标准偏差(X)(X)来表示来表示 （峰值大小体现）（峰值大小体现）*绝对值很大时随机误差出现的概率趋近于零，绝对值很大时随机误差出现的概率趋近于零，即认为测量值有一个实际界限即认为测量值有一个实际界限 27本讲稿第二十七页，共一百二十五页被测量总体的数学期望和标准偏差：在相同条件下对被测量被测量总体
18、的数学期望和标准偏差：在相同条件下对被测量进行无穷多次测量，由公式可求得被测量的数学期望和标准进行无穷多次测量，由公式可求得被测量的数学期望和标准偏差偏差M(X)及及（X）。）。单次测量的标准偏差：根据某单次测量相同条件下的非常单次测量的标准偏差：根据某单次测量相同条件下的非常多个测量数据求得的标准偏差。多个测量数据求得的标准偏差。随机样本：随机样本：n次测量的带有随机性数据。次测量的带有随机性数据。样本容量：每个样本的包含的样本容量：每个样本的包含的n个测量值，个测量值，n为样本容量。为样本容量。2、用有限次测量数据估计测量值的数学期望和标准偏差用有限次测量数据估计测量值的数学期望和标准偏差
19、 28本讲稿第二十八页，共一百二十五页（1）有限次测量值的算术平均值及其分布：）有限次测量值的算术平均值及其分布：n次测量值的平均值的性质次测量值的平均值的性质 一次测量数据：一次测量数据：x1，x2，xn二次测量数据：二次测量数据：x1，x2，xni次测量数据：次测量数据：x1，x2，xn测量系统、测量条件测量系统、测量条件和被测量不变的测量和被测量不变的测量这一系列测量具有相同数学期望和标准偏差。这一系列测量具有相同数学期望和标准偏差。29本讲稿第二十九页，共一百二十五页根据根据 n次测量值的算术平均值的数学期望次测量值的算术平均值的数学期望 和方差和方差 分别为：分别为：结论：结论：有限
20、次测量值的算术平均值的数学期望就等于被测有限次测量值的算术平均值的数学期望就等于被测 量量X的数学期望。的数学期望。30本讲稿第三十页，共一百二十五页物物理理意意义义：*各各测测量量值值由由于于随随机机误误差差的的影影响响，分分布布 在在 附附近近，那那么么对对n次次测测量量值值算算术术平平均均后后,必必然然还还分分布布在在 附近。附近。*在在求求平平均均的的过过程程中中，根根据据随随机机误误差差的的抵抵偿偿性性，所以所以 的分布就相对集中了，即的分布就相对集中了，即 比比 小。小。31本讲稿第三十一页，共一百二十五页样本平均值的分布样本平均值的分布 无论被测量总体的分布是什么形状，随着测量次
21、数的增多，无论被测量总体的分布是什么形状，随着测量次数的增多，测量值算术平均值的分布都越来越趋近于正态分布（中心极限定测量值算术平均值的分布都越来越趋近于正态分布（中心极限定理）。理）。（2）用有限次测量的数据来估计测量值的数学期望）用有限次测量的数据来估计测量值的数学期望 若用若用 来作为未知参数来作为未知参数y的的估计值估计值，那么估计量的评选标，那么估计量的评选标准为：准为：32本讲稿第三十二页，共一百二十五页 符合第一个原则。符合第一个原则。*当样本容量当样本容量n时，若时，若估计值估计值 依概率收敛于依概率收敛于y，则称则称 为为y的一致估计值。的一致估计值。33本讲稿第三十三页，共
22、一百二十五页*若若 的数学期望等于的数学期望等于y，则称，则称 为为y的无偏估计值。的无偏估计值。符合第二个原则符合第二个原则。结论：用结论：用 作为作为 的估计值。的估计值。34本讲稿第三十四页，共一百二十五页（3）用有限次测量数据估计测量值的方差：）用有限次测量数据估计测量值的方差：由贝塞尔公式：由贝塞尔公式：:第第i次测量值与平均值之差，称为次测量值与平均值之差，称为残差残差或或剩剩余误差余误差。35本讲稿第三十五页，共一百二十五页证明证明从估计的一致性出发从估计的一致性出发对对n n次测量的随机误差次测量的随机误差 求和求和 36本讲稿第三十六页，共一百二十五页那么那么当独立测量次数当
23、独立测量次数n n足够大时，由于随机误差的对称性足够大时，由于随机误差的对称性37本讲稿第三十七页，共一百二十五页38本讲稿第三十八页，共一百二十五页无偏估计性无偏估计性39本讲稿第三十九页，共一百二十五页3 3、测量结果的置信问题、测量结果的置信问题（1）置信概率与置信区间置信概率与置信区间 对于测量值，不仅要得到近似值，还要估计误差，也就是对于测量值，不仅要得到近似值，还要估计误差，也就是估计近似值的精确程度（求真值所在范围），估计出一个范围，估计近似值的精确程度（求真值所在范围），估计出一个范围，知道这个范围包含测量值知道这个范围包含测量值X真值的可靠程度。真值的可靠程度。由以前分析由以
24、前分析知知我们想知道我们想知道 未测得的数据未测得的数据 X X 可能处于区间可能处于区间内概率有多大？内概率有多大？40本讲稿第四十页，共一百二十五页 在同样条件下测得多个在同样条件下测得多个 x x 值后，数学期望可能处于值后，数学期望可能处于X X 附近，某确定区间附近，某确定区间 内概率有多大？内概率有多大？置信概率置信概率:由于由于M(X)M(X)的值客观上是确定的，即它不是随的值客观上是确定的，即它不是随 机变量，所以以上说的概率称为置信概率。机变量，所以以上说的概率称为置信概率。置信区间置信区间:以上所对应的区间称为置信区间。以上所对应的区间称为置信区间。41本讲稿第四十一页，共
25、一百二十五页内的概率是完全等价的，这两种置信概率是相等的。内的概率是完全等价的，这两种置信概率是相等的。测量值测量值X X处于区间处于区间内的概率和求内的概率和求M(X)M(X)处于区间处于区间42本讲稿第四十二页，共一百二十五页（2）服从正态分布的测量值在对象区间的置信概率）服从正态分布的测量值在对象区间的置信概率 若某测量值测量值X X服从正态分布，它的概率密度为服从正态分布，它的概率密度为 则测量值则测量值X X处于区间处于区间内的置信概率为内的置信概率为可查附录表可查附录表43本讲稿第四十三页，共一百二十五页二、用统计学方法剔除异常数据：二、用统计学方法剔除异常数据：1可疑数据：对于误
26、差绝对值较大的测量数据，可以可疑数据：对于误差绝对值较大的测量数据，可以 列为可疑数据。列为可疑数据。2分析产生可疑数据原因：分析产生可疑数据原因：（1）正常分散性）正常分散性 （2）测量仪器、测量方法条件、人员错误）测量仪器、测量方法条件、人员错误3.统计学的方法处理可疑数据的基本思想：统计学的方法处理可疑数据的基本思想：找出相应的区间，凡是在这个区间内以外的数据，就找出相应的区间，凡是在这个区间内以外的数据，就 视为异常数据视为异常数据,一般情况下当一般情况下当 时就将数据时就将数据 xi剔除不用。剔除不用。44本讲稿第四十四页，共一百二十五页4判别异常数据的界限：一个可疑数据是否被剔除，
27、与判别异常数据的界限：一个可疑数据是否被剔除，与 我们给我们给C大小有关。大小有关。（1）过小，可能把正常测量值当作异常值剔过小，可能把正常测量值当作异常值剔 除，除，过大，可能对异常数据判别不出过大，可能对异常数据判别不出 来。来。（2）解决以上矛盾，在测量中设法提高测量的精密）解决以上矛盾，在测量中设法提高测量的精密 度，即设法减小度，即设法减小 。45本讲稿第四十五页，共一百二十五页(a)置信概率过小置信概率过小 (b)置信概率过大置信概率过大(c)减小减小 有利于有利于 异常数据的剔除异常数据的剔除46本讲稿第四十六页，共一百二十五页5莱特准则：在测量数据为正态分布的情况下，如果莱特准
28、则：在测量数据为正态分布的情况下，如果 测量次数足够多测量次数足够多(一般样本容量一般样本容量n10，习惯，习惯 上取上取 作为判别异常数据的界限。作为判别异常数据的界限。6肖维纳准则肖维纳准则：在区间在区间 内的数据剔除内的数据剔除,根据测量次数根据测量次数n,n,通过查表获得通过查表获得chch的值。的值。7.7.格拉布斯准则格拉布斯准则 在区间在区间 内的数据剔除内的数据剔除,根据测量次数根据测量次数n n和置信概率，通过查表获得和置信概率，通过查表获得g g的值。的值。47本讲稿第四十七页，共一百二十五页三、处理系统误差的一般方法：三、处理系统误差的一般方法：1 1、系统误差的判别、系
29、统误差的判别 恒值系统误差：恒值系统误差：变值系统误差：变值系统误差：从理论上找出误差与某个测量条从理论上找出误差与某个测量条 件间的解析关系式。件间的解析关系式。测量条件成线性关系的变值系差，又叫累进性系差测量条件成线性关系的变值系差，又叫累进性系差残差测量条件测量条件残差48本讲稿第四十八页，共一百二十五页随测量条件而变的周期性系差随测量条件而变的周期性系差 残差测量条件常用判别常用判别变值系统误差的具体方法变值系统误差的具体方法 等精度测量等精度测量n次，测量条件次，测量条件 发生变化依次产生相发生变化依次产生相应的残差应的残差 1、2、n。49本讲稿第四十九页，共一百二十五页当当n为偶
30、数时为偶数时当当n为奇数时为奇数时如果如果 ,那么可认为有累进性系差。那么可认为有累进性系差。马利科夫判据马利科夫判据50本讲稿第五十页，共一百二十五页 阿卑阿卑赫梅特判据赫梅特判据 阿卑阿卑赫梅特判据常用来判别周期性系统误差赫梅特判据常用来判别周期性系统误差当当则可认为测量中存在变值系差。则可认为测量中存在变值系差。2 2、尽力消除产生系统误差的来源、尽力消除产生系统误差的来源 51本讲稿第五十一页，共一百二十五页3 3、消除或减弱系统误差的典型测量技术、消除或减弱系统误差的典型测量技术 （1 1）零示法）零示法 检流计指针示零时检流计指针示零时 52本讲稿第五十二页，共一百二十五页（2 2
31、）零示法（置换法）零示法（置换法）+-ABCDER3RxR2R1I+-G当电桥平衡后，用一个当电桥平衡后，用一个可变标准电阻可变标准电阻R0代替代替Rx，再次调节电桥平衡，那再次调节电桥平衡，那么么Rx R053本讲稿第五十三页，共一百二十五页 设被测量为设被测量为x，和它相近的，和它相近的标准量为标准量为B，被测量与标准量被测量与标准量之微差为之微差为A，A的数值可由指示仪表读出。的数值可由指示仪表读出。则则：标准量的相对误差：标准量的相对误差：指示仪表的相对误差：指示仪表的相对误差：相对微差：相对微差（3 3）交换法（对照法）交换法（对照法）（4 4）微差法）微差法 54本讲稿第五十四页，
32、共一百二十五页第三节第三节 测量不确定度及测量结果的表征测量不确定度及测量结果的表征一、测量不确定度及其分类评定一、测量不确定度及其分类评定（一）测量不确定度（一）测量不确定度1、测量不确定度的定义、测量不确定度的定义 测量不确定度是表征合理地赋予被测量之值的分散性，与测量测量不确定度是表征合理地赋予被测量之值的分散性，与测量结果相联系的参数。不确定度实际上就是可疑程度。结果相联系的参数。不确定度实际上就是可疑程度。测量结果具有不确定性，使得测量值只能理解为根据测测量结果具有不确定性，使得测量值只能理解为根据测量数据对被测量的最佳估计值，与它联系的不确定度则用量数据对被测量的最佳估计值，与它联
33、系的不确定度则用来描述它的分散性。来描述它的分散性。55本讲稿第五十五页，共一百二十五页2、测量不确定度的表示方法、测量不确定度的表示方法 不确定恒为正值。它可用标准偏差或其倍数来表示，也可以不确定恒为正值。它可用标准偏差或其倍数来表示，也可以用对应一定置信概率之区间的半宽度用对应一定置信概率之区间的半宽度U U表示。表示。标准不确定度标准不确定度 当用标准偏差表示不确定度时，称为标准不确定度，这是当用标准偏差表示不确定度时，称为标准不确定度，这是不确定度最基本、最常用的表示方法。不确定度最基本、最常用的表示方法。范围不确定度或延伸不确定度范围不确定度或延伸不确定度 当规定一个区间，被测之值的
34、分布大部分可望含于此区当规定一个区间，被测之值的分布大部分可望含于此区间时，可把此区间定为扩展不确定度，又称为范围不确定间时，可把此区间定为扩展不确定度，又称为范围不确定度或延伸不确定度。度或延伸不确定度。合成标准不确定度合成标准不确定度 当测量结果是由若干个其他量的值求得时，根据其他各量的当测量结果是由若干个其他量的值求得时，根据其他各量的分散性算得该量的标准不确定度称为合成标准不确定度。分散性算得该量的标准不确定度称为合成标准不确定度。56本讲稿第五十六页，共一百二十五页3、测量不确定度产生的原因、测量不确定度产生的原因 导致测量不确定度产生的原因主要有：被测量的定义不导致测量不确定度产生
35、的原因主要有：被测量的定义不完整、测量方法不理想、对环境的认识和控制不完善、仪完整、测量方法不理想、对环境的认识和控制不完善、仪器性能的局限性和引用参数、取样方法、假设和近似条件器性能的局限性和引用参数、取样方法、假设和近似条件及测试人员等方面的缺陷均可造成测量值的分散性。及测试人员等方面的缺陷均可造成测量值的分散性。57本讲稿第五十七页，共一百二十五页（二）测量不确定度的分类评定（二）测量不确定度的分类评定1、国际权威机构提出的统一准则、国际权威机构提出的统一准则 测量不确定度表示指南（测量不确定度表示指南（GUM），给出了权威的），给出了权威的评定与表示测量不确定度的原则、方法和简要步骤。
36、评定与表示测量不确定度的原则、方法和简要步骤。2、按、按GUM文件，不确定度的评定方法文件，不确定度的评定方法 可分为不确定的可分为不确定的A类评定和类评定和B类评定。它们一般都用标类评定。它们一般都用标准偏差（或称标准差）准偏差（或称标准差）u表示，这时的不确定度称为标准不表示，这时的不确定度称为标准不确定度。确定度。58本讲稿第五十八页，共一百二十五页 观测列中任一个测量结果的标准不确定度观测列中任一个测量结果的标准不确定度 等于该等于该结果的实验标准偏差结果的实验标准偏差 ，即在，即在A A类评定中类评定中 A A类评定（又称为类评定（又称为A A类不确定度评定）类不确定度评定）用对观测
37、列进行统计分析的方法来评定标准不确定度称为不用对观测列进行统计分析的方法来评定标准不确定度称为不确定度的确定度的A A类评定类评定 在在A A类评定中，除用到任一次测量结果的标准不确定类评定中，除用到任一次测量结果的标准不确定度度 外，更常用到平均值的标准不确定度外，更常用到平均值的标准不确定度59本讲稿第五十九页，共一百二十五页 B B类评定（又称为类评定（又称为B B类不确定度评定）类不确定度评定）用不同于对观测列进行统计分析的方法来评定标准不用不同于对观测列进行统计分析的方法来评定标准不确定度，称为不确定度的确定度，称为不确定度的B类评定类评定 不确定度的不确定度的B B类评定则主要基于
38、经验或其他信息，类评定则主要基于经验或其他信息，据此用假定的概率分布进行估算。据此用假定的概率分布进行估算。B B类不确定度对应的数据概率分布密度往往更加多种类不确定度对应的数据概率分布密度往往更加多种多样。即使是同一类因素的影响，数据的分布形状也可多样。即使是同一类因素的影响，数据的分布形状也可能不同。能不同。60本讲稿第六十页，共一百二十五页3、“随机效应导致的不确定度随机效应导致的不确定度”和和“系统效应导致的不确定系统效应导致的不确定 度度”不能把不能把A A类和类和B B类不确定度与随机效应和系统效应导类不确定度与随机效应和系统效应导致的不确定度等同起来。致的不确定度等同起来。4、A
39、类评定与类评定与B类评定的区别类评定的区别 A类评定的标准不确定度，即它的实验标准偏差与测量类评定的标准不确定度，即它的实验标准偏差与测量次数有关，例如次数有关，例如n个测量结果平均值的实验标准偏差是单个个测量结果平均值的实验标准偏差是单个测量值标准偏差的测量值标准偏差的，而，而B类不确定度往往没有这个效果，例类不确定度往往没有这个效果，例如一个出厂时说明有如一个出厂时说明有1%误差的电阻，对该电阻多次测量取误差的电阻，对该电阻多次测量取平均值后并不能削弱电阻阻值不准带来的平均值后并不能削弱电阻阻值不准带来的B类不确定度类不确定度61本讲稿第六十一页，共一百二十五页二二.服从正态分布有限次测量
40、值的扩展不确定度服从正态分布有限次测量值的扩展不确定度 设随机变量设随机变量 当测量值当测量值X X服从正态分布时，它的平均值服从正态分布时，它的平均值 也服从正态分也服从正态分布。由于布。由于 不服从正态分布，使随机变量不服从正态分布，使随机变量t t不再服从正态分不再服从正态分布，而服从于布，而服从于t t分布，又叫斯丢顿分布，又叫斯丢顿(Student)(Student)分布或分布或“学生学生”氏氏分布。分布。62本讲稿第六十二页，共一百二十五页 t t分布的概率密度分布的概率密度 63本讲稿第六十三页，共一百二十五页 t t分布的特点分布的特点t t分布的图形是关于分布的图形是关于t=
41、0t=0对称的，并且类似于标准正态分对称的，并且类似于标准正态分布的图形。但应该注意，布的图形。但应该注意，t t分布图形不只和随机变量分布图形不只和随机变量t t有关，有关，而且和自由度而且和自由度v v有关有关(也就是说和测量次数也就是说和测量次数n n有关有关)。当数据。当数据个数个数n n很大，例如很大，例如n20n20时，通常可以认为时，通常可以认为t t分布曲线已将分布曲线已将很接近正态分布了。很接近正态分布了。t t分布置信概率问题分布置信概率问题 知道了知道了t t分布的概率密度分布的概率密度 后，就可以用积分的方法求得后，就可以用积分的方法求得t t在在对称区间对称区间 内的
42、概率（内的概率（是一个类似于是一个类似于c c的系数），的系数），也就是也就是 处于处于 附近对称区间附近对称区间 内的置内的置信概率信概率64本讲稿第六十四页，共一百二十五页对对t t分布来说，由于从有限次的测量不能知道数学期望及标准偏分布来说，由于从有限次的测量不能知道数学期望及标准偏差的确切数值，因此置信问题通常是讨论差的确切数值，因此置信问题通常是讨论M(X)M(X)处于随机变动的的处于随机变动的的置信区间置信区间 内的置信概率问题。内的置信概率问题。65本讲稿第六十五页，共一百二十五页 若若 在附近各阶偏导数存在，则可把在附近各阶偏导数存在，则可把 展为台劳级数展为台劳级数 （一）（
43、一）测量误差的合成测量误差的合成 1 1、误差传递公式、误差传递公式 设某量设某量 由两个分项由两个分项 、合成合成 66本讲稿第六十六页，共一百二十五页：分项的误差；分项的误差；：分项的误差。分项的误差。由于由于 则台劳级数中的高阶小量可以略去，则总合的误差则台劳级数中的高阶小量可以略去，则总合的误差67本讲稿第六十七页，共一百二十五页同理，当总合同理，当总合y y由由m m个分项合成时，可得个分项合成时，可得 即即68本讲稿第六十八页，共一百二十五页 用间接测量法测电阻消耗的功率，若电阻、电压用间接测量法测电阻消耗的功率，若电阻、电压 和电流的测量相对误差分别为和电流的测量相对误差分别为
44、、和和 ,问所求功率的相对误差为多少？问所求功率的相对误差为多少？解解 例例 方案方案1 1：用公式：用公式 则算得功率的相对误差为则算得功率的相对误差为 69本讲稿第六十九页，共一百二十五页方案方案2 2：用公式：用公式 则算得功率的相对误差为则算得功率的相对误差为 70本讲稿第七十页，共一百二十五页方案方案3 3：用公式：用公式 则则71本讲稿第七十一页，共一百二十五页设设72本讲稿第七十二页，共一百二十五页2 2、系统误差的合成、系统误差的合成 由误差传递公式，很容易求得确定性系统误差的合成值。由误差传递公式，很容易求得确定性系统误差的合成值。若测量中各随机误差可以忽略，则总合的系统误差
45、若测量中各随机误差可以忽略，则总合的系统误差可由各分项系统误差合成可由各分项系统误差合成 73本讲稿第七十三页，共一百二十五页3 3、随机误差的合成、随机误差的合成 若各分项的系统误差为零，则可求得总合的随机误差若各分项的系统误差为零，则可求得总合的随机误差 总合方差的公式总合方差的公式 74本讲稿第七十四页，共一百二十五页（二）测量不确定度合成（二）测量不确定度合成1.1.由分量求合成量的最佳估计值由分量求合成量的最佳估计值 不确定度是讨论测量值在最佳估计值附近的分散性，而最佳不确定度是讨论测量值在最佳估计值附近的分散性，而最佳估计值就是平均值（包括后面要介绍的加权平均值），并不涉及估计值就
46、是平均值（包括后面要介绍的加权平均值），并不涉及真值。即当真值。即当并进行了并进行了 次测量时，次测量时，y y的最佳估计值为的最佳估计值为 75本讲稿第七十五页，共一百二十五页2 2求合成不确定度求合成不确定度 不论是不论是A A类还是类还是B B类不确定度分量都是贡献给了分散性，并类不确定度分量都是贡献给了分散性，并且均用标准偏差且均用标准偏差u u来表示，使用标准偏差合成的几何合成法或称来表示，使用标准偏差合成的几何合成法或称均方根合成法。均方根合成法。合成标准不确定度的平方（即方差）为合成标准不确定度的平方（即方差）为 合成标准不确定度；y及各 最佳估计值处的偏导数；第j个影响量(分项
47、)的标准偏差；影响量即分项的个数。76本讲稿第七十六页，共一百二十五页相对合成标准不确定度相对合成标准不确定度 当当 若系数若系数K K本身的不确定度可以忽略，可得本身的不确定度可以忽略，可得77本讲稿第七十七页，共一百二十五页78本讲稿第七十八页，共一百二十五页总误差：不管某项误差是由若干因素产生的还是由于总误差：不管某项误差是由若干因素产生的还是由于 间接测量产生的，只要某项误差与若干分项间接测量产生的，只要某项误差与若干分项 有关，这项误差就叫总误差。有关，这项误差就叫总误差。分项误差（部分误差）：各分项的误差分项误差（部分误差）：各分项的误差 。要求考虑的两个问题：要求考虑的两个问题：
48、（1 1）如何根据各分项误差来确定总误差，即误差）如何根据各分项误差来确定总误差，即误差合成合成问题；问题；（2 2）当技术上对某量的总误差限定一定范围以后，如何）当技术上对某量的总误差限定一定范围以后，如何 确定各分项误差的数值，即误差的确定各分项误差的数值，即误差的分配分配问题。问题。79本讲稿第七十九页，共一百二十五页一、非等权（等精度）测量与加权平均一、非等权（等精度）测量与加权平均 非等权（等精度）测量：当测量条件不同时，测量结果、非等权（等精度）测量：当测量条件不同时，测量结果、的精密度不同。的精密度不同。等精密度测量：标准偏差等精密度测量：标准偏差（X X）相同的测量。）相同的测
49、量。1、测量结果的权（、测量结果的权（weight)精密度高的测量结果可靠些，受重视程度大。精密度高的测量结果可靠些，受重视程度大。精密度的测量结果可靠程度低，受重视程度小。精密度的测量结果可靠程度低，受重视程度小。权权:通常用数值通常用数值 表示第表示第j个测量结果受到重视的程个测量结果受到重视的程 度，称数值度，称数值 为第为第j次测量值的次测量值的“权权”。第三节第三节 加权平均与回归分析加权平均与回归分析 80本讲稿第八十页，共一百二十五页权的定义式权的定义式单位权，单位权，单位权的方差单位权的方差 81本讲稿第八十一页，共一百二十五页2、加权平均、加权平均 如果对某量如果对某量X X
50、进行了进行了m m次非等精密测量，得到了次非等精密测量，得到了m m个数个数据据X X1 1、X X2 2、XXm m它们对应的权分别为它们对应的权分别为 。怎样根据怎样根据m次非等精密测量求估计值次非等精密测量求估计值?基本思想：将每个权为基本思想：将每个权为 的测量值的测量值 看成看成 次等精次等精 密度测量的平均值。密度测量的平均值。把把m次非等精度测量次非等精度测量等效为等效为 次等精度测量。次等精度测量。82本讲稿第八十二页，共一百二十五页 是各是各 值在加权情况下的平均值值在加权情况下的平均值加权平均值。加权平均值。83本讲稿第八十三页，共一百二十五页3、加权平均、加权平均值的方差