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1、-1-上海市七宝中学上海市七宝中学 2019-20202019-2020 学年高二数学学年高二数学 9 9 月月考试题（含解析）月月考试题（含解析）一一.填空题填空题1.若“0 x”是“xa”的充分非必要条件，则实数a的取值范围是_【答案】0a【解析】【分析】“0 x”“xa”,但是“xa”“0 x”，即可求解.【详解】“0 x”是“xa”的充分非必要条件，故前者是后者的真子集，即可求得0a。【点睛】本题考查充分必要条件，是基础题2.函数0(2)()lg(3)1xf xxx的定义域是_【答案】(3,)【解析】【分析】结合对数的真数大于 0，分母不为 0 以及 0 次幂底数不为 0，即可求解。【
2、详解】解：3020310 xxxx，故原函数定义域为(3,).【点睛】本题考查定义域的求法，属于基础题。3.已知向量(2,1)a ，(3,4)b，则向量a在向量b方向上的投影为_【答案】25【解析】【分析】a在向量b方向上的投影为a bb，即可求解.-2-【详解】向量a在向量b方向上的投影为642cos,55a ba baa baa bb 【点睛】a在向量b方向上的投影a bb，b在向量a方向上的投影a ba，可以直接使用，基础题。4.已知点P是直线12PP上一点，且1213PPPP uuu ruuu r，若2 12PPPPuuu ruuu r，则实数_【答案】23【解析】【分析】利用向量的三
3、角形加法法则，即可求解。【详解】解：1213PPPP uuu ruuu r122213PPPPPPPP uuu ruuu ruuu ruuu r12223PPPPuuu ruuu r2 1223PPPP uuu ruuu r故：=23【点睛】本题考查向量的加法法则，属于基础题。5.已知向量a、b满足|1a，|2b，且它们的夹角为 120，则向量2ab与向量a夹角的大小为_【答案】13arccos13【解析】【分析】根据平面向量的数量积以及夹角公式，计算即可。【详解】解：2222224cos120413ababaa bb2112 1 222cos120132cos2,1313 1132ab aa
4、a bab aab a-3-又 向量夹角的范围为0,，向量2ab与向量a夹角的大小为13arccos13【点睛】此题考查向量求模和向量的数量积公式，以及学生的计算能力，属于基础题。6.已知正方形ABCD中，M是BC的中点，ACAMBD，则_【答案】53【解析】【分析】找一组基向量分别表示出,AC AM BD，再用待定系数法即可求得。【详解】解：令,ABa ADb则1,=2ACab AMab BD ba，有ACAMBD，11+=+22ababbaab（）（）()+()，=11+=12 解得：4=31=35+=3【点睛】考查向量加法、减法，及数乘的几何意义，以及向量的数乘运算，相等向量的概念，平面
5、向量基本定理7.已知函数 f(x)logaxxb(a0，且 a1)当 2a3b4 时，函数 f(x)的零点为x0(n，n1)，nN*，则 n=.【答案】2【解析】【分析】把要求零点的函数，变成两个基本初等函数，根据所给的 a，b 的值，可以判断两个函数的交点的所在的位置，同所给的区间进行比较，得到 n 的值.【详解】设函数 y=logax，m=x+b根据 2a3b4，-4-对于函数 y=logax 在 x=2 时，一定得到一个值小于 1，而 b-21，x=3 时，对数值在 1 和 2 之间，b-31在同一坐标系中画出两个函数的图象，判断两个函数的图形的交点在（2，3）之间，函数 f（x）的零点
6、 x0（n，n+1）时，n=2故答案为 2.考点：二分法求方程的近似解；对数函数的图象与性质8.若a、b是函数2()f xxpxq（0p，0q）的两个不同的零点，且a、b、4适当排序后可构成等差数列，也可适当排序后构成等比数列，则pq_【答案】26【解析】【分析】a，b是函数f（x）x2pxq（p0，q0）的两个不同的零点，可得abp，abq，p0，q0，p24q0不妨设ab由于a，b，4 这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，可得4，a，b或b，a，4 成等差数列，a，4，b或b，4，a成等比数列，即可得出【详解】解：a，b是函数f（x）x2pxq（p0，q0）的两个不同
7、的零点，abp，abq，p0，q0，p24q0不妨设ab-5-由于a，b，4 这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，4，a，b或b，a，4 成等差数列，a，4，b或b，4，a成等比数列，b42a，ab（4）2，解得a2，b8p10，q16满足0则pq26故选：C【点睛】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其性质、一元二次方程的根与系数的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题9.若将函数()cos()8f xx（0）的图像向左平移12个单位后，所得图像对应的函数为偶函数，则的最小值是_【答案】32【解析】【分析】由三角函数图象的平移变换得：g()cos()128xx，
8、因为g()x为偶函数，所以=,128kkZ，由(0)，所以的最小值为32，得解【详解】解答：解：将函数()cos()(0)8f xx的图象向左平移12个单位后，所得图象对应的函数为g()cos()+cos(+),128128xxx因为g()x为偶函数，所以3=,12,1282kkZkkZ，由0，所以的最小值为32，-6-故答案为：32【点睛】本题考查了三角函数图象的平移变换及函数的奇偶性，属中档题10.若数列na满足110a，11810nnaan（*nN），记 x表示不超过实数x的最大整数，则lim()nnnaa_【答案】16【解析】【分析】由已知变形，利用累加法求得数列通项公式，然后代入li
9、m()nnnaa求得答案【详解】解：由11810nnaan，得110a，又110a，2118 1 10aa，3218 2 10aa，118(1)10nnaan，累加得：2118(1)18 12(1)10(1)1092nn naannnnn2219319393nnnaannnnnnn则11lim()lim6193nnnnaan【点睛】本题考查数列的极限，训练了累加法求数列的通项公式，是中档题11.意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，8，13，21，其中从第三项开始，每个数都等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一-7-列数组成的数列na称为“斐波那
10、契数列”，那么2222123nnaaaaa（3n）是斐波那契数列的第_项【答案】1n【解析】【分析】利用21nnnaaa，结合叠加法，即可得出结论【详解】解：21nnnaaa，2111()nnnnnnnnaaaaaaa a，21121112()nnnnnnnna aaaaaaa，232221a aaa a，22221121nnnnaaaaaa，22221231nnnaaaaaa故答案为：1n【点睛】本题考查斐波那契数列，考查叠加法，考查学生的计算能力，属于中档题12.已知数列na满足*(,01)nnan knNk，给出下列命题：当12k 时，数列na为递减数列；当112k时，数列na不一定有最
11、大项；当102k时，数列na为递减数列；当k1k为正整数时，数列na必有两项相等的最大项.请写出正确的命题的序号_【答案】【解析】-8-分析：由于1111nnnnnknkaan kn，再根据 k 的条件讨论即可得出.详解：当12k 时，12nnan，111112212nnnnnanann，当1n 时，12aa，因此数列 na不是递减数列，故不正确；当112k时，1111nnnnnknkaan kn，由于111122nkkknn 因此数列 na一定有最大项，故不正确；当102k时，1111112nnnnnknkanan knn，1nnaa，因此数列 na为递减数列，正确；当k1k为正整数时，11
12、111nnnnnknkaan kn，因此数列 na必有两项相等的最大项，故正确.综上可知：只有正确.故答案为：.点睛：本题考查了数列的单调性，分类讨论的思想方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题.二二.选择题选择题13.若0 x，则函数121yxx的最小值为（）A.122B.122C.21D.21【答案】B【解析】【分析】构造两式之积是个定值，再用基本不等式求解。-9-【详解】0 x，111112=21212222yxxxx（当且仅当112=122xx时，即21=2x时，取“=”），故选B.【点睛】本题考查了构造思想，基本不等式的性质的运用，属于基础题14.设等差数列na前n项和为nS，且满
13、足190S，200S，则11Sa、22Sa、33Sa、1919Sa中，最大项为（）A.11SaB.99SaC.1100SaD.1111Sa【答案】C【解析】【分析】由条件得到此数列为递减数列，再根据符号确定1100Sa最大【详解】解：由119191019()1902aaSa，得到100a；由12020101120()10()02aaSaa，得到110a，等差数列an为递减数列则1210,a aa为正，1112,aa为负；1219,S SS为正，2021,SS为负，则1911121112190,0,0,SSSaaa又10910SSS，12100aaa，得到109110910,SSSaaa，则11
14、00Sa最大故选：C【点睛】此题考查了等差数列的前n项和公式，等差数列的性质，以及数列的函数特性，熟练掌握等差数列的性质及求和公式是解本题的关键-10-15.已知在ABC中，2AB，2ACBC，则ABC的面积的最大值为（）A.2 5B.2C.2 2D.2 33【答案】C【解析】【分析】设BCa，则2ACa，利用余弦定理可求得22211cos162aBa，再利用三角形的面积公式可求得sinABCSaB，继而可求2221(12)816ABCSa，从而可得ABC面积的最大值【详解】解：依题意，设BCa，则2ACa，又2AB，由余弦定理得：222(2)2cosaaABa ABB，即24 cos40aa
15、B241cos,44aaBaa22211cos,162aBa222231sin1 cos,216aBBa 11sin2 sinsin22ABCSAB BCBaBaB222222222311sin()(12)821616ABCaSaBaaa 当212a 时，即2 3a，2、2 3、2 6能组成三角形。2max8S-11-max2 2S故选：C【点睛】本题考查余弦定理与正弦定理的应用，着重考查转化思想与二次函数的配方法，求得2221(12)816ABCSa 是关键，也是难点，属于难题16.设a，b，c为同一平面内具有相同起点的任意三个非零向量，且满足a与b不共线，ac，|a|=|c|，则|b c|
16、的值一定等于（）A.以a，b为邻边的平行四边形的面积B.以b，c为两边的三角形面积C.a，b为两边的三角形面积D.以b，c为邻边的平行四边形的面积【答案】A【解析】【详解】记OA=a，OB=b，OC=c，记a与b，b于c夹角分别为,因为这三向量的起点相同，且满足a与b不共线，ac，|a|=|c|，则cossin，利用向量的内积定义，所以|bc|=|b|c|cosb，c|=|OB|OC|cos|=|OB|OA|sin|，又由于12BOAS|OB|OA|sin，所以|OB|OA|sin|等于以a，b为邻边的平行四边形的面积，故选 A三三.解答题解答题17.已知2|2cos3cos10,A R，si
17、n|21,BR.（1）求集合AB；（2）若对任意的xAB，都有cos24sin()sin()04242xxxm恒成立，求m的取值范围.-12-【答案】（1）|22,3ABkkkZ；（2）32m【解析】【分析】（1）求出集合A B、的的取值范围，再取交集即可。（2）问题转化为对任意的xAB，min12cos(cos1)mxx，即可求解。【详解】解：（1）依题意：|(2cos1)(cos1)0,AR1|cos1,2AR，即|22,33AkkkZ,同理|22,Bkk R，故|22,3ABkkkZ（2）cos24sin()sin()04242xxxm，cos24sin()cos()04242xxxm，
18、cos22sin()02xxm，22cos2cos1xxm，2cos(cos1)1xxm 对任意的xAB恒成立，即对任意的xAB，min12cos(cos1)mxx恒成立，当xAB时，1cos,12x，当1cos2x 时，2cos(cos1)xx取得最小值12，故112m，即32m。【点睛】本题考查了集合的运算，考查三角函数的运算，考查函数恒成立问题，本题是一道中档题18.已知数列na的前n项和为238nSnn，nb是等差数列，且1nnnabb.（1）求数列 nb的通项公式；（2）求311nnnacb的最大项的值，并指出是第几项.-13-【答案】（1）31nbn；（2）872，是第四项【解析】
19、【分析】(1)运用111,naS；当2n 时，1nnnaSS，可得na，再由等差数列的通项公式可得nb的通项；(2)311nnnacb=256103n,当4n 时,nc取得最大值872.【详解】(1)当1n 时,111a；当2n 时,22138318165nnnaSSnnnnn；而65nan，对1n 也成立，所以65nan又因为 nb是等差数列,设首项为1b,公差为d,则由1nnnabb得1:6522nd nbd,且该等式恒成立；所以12625dbd,解得143bd；所以31;nbn法二:当1n 时,1211;bd当2n 时,2217bd,解得3d；所以数列 nb的通项公式为312nnadbn
20、.(2)311nnnacb=3 653111nn=256103n,所以当4n 的时候取得最大值872.【点睛】本题考查数列通项的求法，注意运用数列递推式和等差数列通项公式，考查数列中的最大值，注意运用数列的单调性，考查化简整理的运算能力，属于中档题19.某市 2013 年发放汽车牌照 12 万张，其中燃油型汽车牌照 10 万张，电动型汽车 2 万张，为了节能减排和控制总量，从 2013 年开始，每年电动型汽车牌照按 50%增长，而燃油型汽车牌照每一年比上一年减少 05 万张，同时规定一旦某年发放的牌照超过 15 万张，以后每一-14-年发放的电动车的牌照的数量维持在这一年的水平不变（1）记 2
21、013 年为第一年，每年发放的燃油型汽车牌照数量构成数列 na，每年发放电动型汽车牌照数为构成数列 nb，完成下列表格，并写出这两个数列的通项公式；（2）从 2013 年算起，累计各年发放的牌照数，哪一年开始超过 200 万张？110a 29.5a 3a 4a 12b 23b 3b 4b【答案】（1）见解析，*21120,22021,nnnnNannN，,1*3214,26.755,nnnnNbnnN，；（2）2029年累计发放汽车牌照超过200万张【解析】【分析】（1）利用2013年开始，每年电动型汽车牌照按50%增长，而燃油型汽车牌照按每一年比上一年减少0.5万张，同时规定一旦某年发放牌照
22、超过15万张，以后每一年发放的电动型车的牌照的数量维持在这一年水平不变，即可填写表格，并写出这两个数列的通项公式；（2）利用等差数列与等比数列的求和公式，可得216843200444nn，即可得出结论【详解】（1）110a 29.5a 3a 94a 8.512b 23b 3b 4.54b 6.75-15-当120n且*nN，211010.522nnan ；当21n 且*nN，0na，*21120,22021,nnnnNannN，而4415.2515ab，1*3214,26.755,nnnnNbnnN，;（2）当4n 时，1234123453.25nSaaaabbbb，当520n时，121234
23、5nnnSaaabbbbbb432 1211106.75432212n nnn 216843444nn 由200nS 得216843200444nn，即2688430nn，得3431316.3020n，到 2029 年累计发放汽车牌照超过 200 万张考点：数列的实际应用20.已知数列na的前n项和为nS，且20S，2nnSnna（*nN）.（1）计算1a，2a，3a，4a，并求数列na的通项公式；（2）若数列 nb满足12335(21)23nnnbbbnba，求证：数列 nb是等比数列；-16-（3）由数列na的项组成一个新数列 nc：11ca，223caa，34567caaaa，11122
24、12221nnnnncaaaa，设nT为数列 nc的前n项和，试求lim4nnnT的值.【答案】（1）详见解析，23nan；（2）12nnb；（3）1【解析】【分析】（1）通过计算出前几项的值，猜想通项公式，进而利用数学归纳法证明；（2）通过12335(21)23nnnbbbnba与123135(23)nbbbnb1123nna作差，进而计算即得结论；（3）通过（2），利用分组法求和，进而计算可得结论【详解】（1）解：当1n 时，由1121Sa，得11a ；由2120Saa，得21a；当3n 时，由33323233Saa，得33a；当4n 时，由444242104Saa，得45a；猜想：23(
25、)nannN下面用数学归纳法证明：当2n 时，21a，结论显然成立；假设当2nk时，23kak，由条件知2nnSnan，故11222kkkaSS111kkkakkak111kkkaka，于是111(23)1121kkkakakkkk ，从而12(1)3kak，-17-故数列na的通项公式为：23()nannN；（2）证明：当1n 时，11231ba，当2n 时，由条件得(21)nnb12335(21)nbbbnb123135(23)nbbbnb 112323nnnnaa1223225nnnn1221nn从而12nnb，故数列 nb是以1为首项，2为公比的等比数列；（3）解：由题意，得11122
26、12221nnnnncaaaa 1112 232 212 212 272 25nnnnn 11122 232 2534224nnnnn故232313(4444)(222)4nnnT23 4(41)2(21)44 12 1nn44 23nn，从而11limlim 14()3()1424nnnnnnT.【点睛】本题考查数列的通项及前n项和，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题21.已知集合M是具有下列性质的函数()f x的全体，存在有序实数对(,)m n，使()()f mxf mxn对定义域内任意实数x都成立.（1）判断函数()2f xx，()2xg x 是否属于集合M，并说明理由；（
27、2）若函数()1xaf xbx（0ab，a、b为常数）具有反函数，且存在实数对(0,)k使()f xM，求实数a、b满足的关系式；-18-（3）若定义域为R的函数()f xM，存在满足条件的实数对(0,1)和(1,4)，当0,1x时，()f x值域为1,2，求当0,2019x时函数()f x的值域.【答案】（1）()f xM，()g xM；（2）1ab；（3）20191,2【解析】【分析】（1）根据已知中集合M的定义，分别判断两个函数是否满足条件，可得结论；（2）假定()f xM，求出的ab、的关系；（3）利用题中的新定义，列出两个等式恒成立将x用2x代替，两等式结合得到函数的递推关系；用不完
28、全归纳的方法求出值域【详解】解：（1）当()2f xx时，22()()2()2()4()f mxf mxmxmxmx不是常数，所以()2f xxM；当()2xg x 时，2()()222m xm xmg mx g mx，故存在有序实数对0,1，使得(0)(0)1gx gx对定义域内的任意实数都成立故()g xM（2）因为()1xaf xMbx，所以22222()()()1()1(1)maxmxamxaf mxf mxnb mxb mxbmb x对定义域内的任意实数都成立，22211b nman bm，221()()mamb，1ab 当1ab 时，11()1xbf xbxb，此时()f x无反函
29、数，当1ab时，2()1b xbf xbx存在反函数符合题意故1ab-19-（3）依题意得()()1f x fx且(1)(1)4fx fx，在()()1f x fx中，则有1()()f xfx，当1,0 x 时，0,1x，11(),1()2f xfx，1,1x 时，1(),22f x，又(1)(1)4fx fx则有()(2)4f x fx，即4()(2)f xfx故14()(2)fxfx，即4()(2)fxfx，则有(2)4()fxf x，1,3x时，13()2,2f x，3,5x时，35()2,2f x，5,7x时，57()2,2f x，以此类推可知：21,21xkk时，2121()2,2kkf x，故2017,2019x时，20172019()2,2f x，综上所述：0,2019x时，2019()1,2f x【点睛】本题考查了反函数，属难题