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1、-1-上海市金山中学 2019-2020 学年高二数学上学期 9 月月考试题(含解析)一、填空题(第 1-6 每题 4 分;第 7-12 每题 5 分)1.与3,4a 同向的单位向量为b _.【答案】34,55【解析】【分析】先由题意设3,4baa,0a,根据模为1,即可求出结果.【详解】因为b与3,4a 同向,所以设3,4baa,0a,又b为单位向量,所以229161baa,解得15a,因此34,55b.故答案为:34,55【点睛】本题主要考查求向量的坐标,熟记向量模的计算公式,以及向量共线的坐标表示即可,属于基础题型.2.已知向量(1,)ak,(9,6)bk,若/ab,则k _【答案】【解
2、析】试题分析:由于/ab,所以122169860 x yx ykkk,解得34k 考点:向量共线坐标表示的应用 3.已知|2,Ax yxxR,2|1,By yxxR,则AB _.【答案】2,1【解析】-2-【分析】先分别化简集合A与集合B,再求交集,即可得出结果.【详解】因为|2,|2Ax yxxRx x,2|1,|1By yxxRy y,因此2,1AB .故答案为:2,1【点睛】本题主要考查集合的交集运算,熟记交集的概念即可,属于基础题型.4.若向量a、b的夹角为150,3a,4b,则2ab_.【答案】2【解析】【分析】根据向量的模的计算公式,结合题中条件,即可求出结果.【详解】因为向量a、
3、b的夹角为150,3a,4b,所以3cos1503 462a bab ,因此,2224412 164 62ababa b.故答案为:2【点睛】本题主要考查求向量的模,熟记向量的模的计算公式即可,属于基础题型.5.已知点(1,5)A 和向量(2,3)a,若3ABa,则点B的坐标为_【答案】【解析】试题分析:设点,因此,得,得点 考点:平面向量的坐标表示 -3-6.向量2 411ab,=若向量()bab+,则实数的值是_【答案】-3【解析】【详解】试题分析:(2,4),(1,1)ab,26,2a bb,又()bab,2()0baba bb,620,3 考点:本题考查了向量的坐标运算 点评:熟练运用
4、向量的坐标运算是解决此类问题的关键,属基础题 7.在Rt ABC中,90C,3AC,则AB AC_.【答案】9【解析】【分析】先由题意,得到0CA CB,再由AB ACCBCAAC,结合题中数据,即可求出结果.【详解】因为在Rt ABC中,90C,3AC,所以0CA CB,因此29AB ACCBCAACCB CACA.故答案为:9【点睛】本题主要考查向量数量积的运算,熟记数量积的运算法则即可,属于常考题型.8.平面上不共线的四点O、A、B、C满足1344OCOAOB,则ABBC_.【答案】4【解析】【分析】先由题中条件,得到1144OCOBOAOB,推出14BCBA,从而可得出结果.【详解】因
5、为1344OCOAOB,所以1144OCOBOAOB,即14BCBA,-4-因此4ABBC【点睛】本题主要考查向量的线性运算,熟记向量线性运算法则即可,属于基础题型.9.平行四边形ABCD中,AC为一条对角线,若2,4AB,1,3AC,则AD BD_.【答案】8【解析】【分析】先由题意,得到ADACAB,BDADAB,求出两向量的坐标,即可得出结果.【详解】因为平行四边形ABCD中,AC为一条对角线,所以ABADAC,又2,4AB,1,3AC,因此1,1ADACAB ,所以(3,5)BDADAB,所以(1)(3)(1)(5)8AD BD .故答案为:8【点睛】本题主要考查向量数量积的坐标运算,
6、熟记平面向量的数量积运算,以及平面向量基本定理即可,属于常考题型.10.若正方形ABCD边长为1,点P在线段AC上运动,则APPBPD的取值范围是_.【答案】12,4【解析】【分析】以A为坐标原点建立平面直角坐标系,设出P点坐标,代入所求表达式,化简后求得表达式的取值范围.【详解】以A为坐标原点建立平面直角坐标系如下图所示,依题意设,0,1P x xx,而0,1,1,0BD,所以-5-,11,APPBPDx xxxxx 2,1 2,1 221 242x xxxxxxx,函数2420,1yxx x 对称轴14x,开口向下,故1x 时有最小值2;14x 时,有最大值14.故取值范围为12,4.【点
7、睛】本小题主要考查平面向量的坐标运算,考查数形结合的数学思想方法,属于基础题.11.已知函数 2lg1xf xx x,且 yg x与11yfx互为反函数,则 g x _.【答案】2lg11xxx【解析】【分析】先由 yg x与11yfx互为反函数,得到 1()g xf x,进而可求出结果.【详解】因为 yg x与11yfx互为反函数,所以 1()g xf x;-6-又 2lg1xf xx x,所以 12lg11xg xf xxx.故答案为:2lg11xxx【点睛】本题主要考查由两函数互为反函数求解析式的问题,熟记反函数的概念即可,属于常考题型.12.已知函数 22224xaxafxxxa在定义
8、域内恒正,则实数a的取值范围是_.【答案】118,322 【解析】【分析】根据题意,分别讨论分子分母对应的方程是同解方程,分子分母对应的方程不是同解方程两种情况,根据二次函数性质,列出不等式的,求解,即可得出结果.【详解】因为所给的函数分子与分母都是二次三项式,对应的函数图像都是开口向上的抛物线;若分子分母对应的方程是同解方程,则有12422aaa,即12a;若分子分母对应的方程不是同解方程,要保证函数 22224xaxafxxxa在定义域内恒正,则需要分子分母的判别式都小于0;即24(2)01 4 2(4)0aaa ,解得13280aa ,即1832a ;当132a ,由21208xx得,函
9、数 f x定义域为14x x,则222024xaxaxxa可化为221132160128xxxx,即22115162560124xx,显然在定义域内恒-7-成立;所以132a 满足题意;综上,实数a的取值范围是118,322 .故答案为:118,322 【点睛】本题主要考查由不等式恒成立求参数的问题,熟记三个二次之间的关系即可,属于常考题型.二、选择题(每题 5 分)13.平面向量a,b共线的充要条件是()A.a,b方向相同 B.a,b两向量中至少有一个为零向量 C.R,ba D.存在不全为零的实数私1,2,120ab【答案】D【解析】【分析】根据向量共线定理,即非零向量a与向量b共线的充要条
10、件是必存在唯一实数,使得 ba成立,即可得到答案.【详解】若,a b均为零向量,则显然符合题意,且存在不全为零的实数12,,使得120ab;若0a,则由两向量共线知,存在0,使得ba,即0ab,符合题意,故选 D.【点睛】该题考查的是有关向量共线的充要条件,在解题的过程中,需要明确向量共线包括方向相同与方向相反,不一定非得有零向量,再者要注意零向量与任何向量是共线的,要理解向量共线的充要条件,即可得到结果.14.设,1A a,2,Bb,4,5C为坐标平面上三点,O为坐标原点,若OA与OB在OC方-8-向上的投影相同,则实数a,b满足的关系式为()A.453ab B.543ab C.4514ab
11、 D.5412ab【答案】A【解析】【分析】先由题意得到,1OAa,2,OBb,4,5OC,根据向量数量积,分别求出OA与OB在OC方向上的投影,进而可求出结果.【详解】因为,1A a,2,Bb,4,5C为坐标平面上三点,O为坐标原点,所以,1OAa,2,OBb,4,5OC,因此OA在OC方向上的投影为 4545cos,162541OA OCaaOAOA OCOAOA OC;OB在OC方向上的投影为8585cos,162541OB OCbbOBOB OCOBOB OC,又OA与OB在OC方向上的投影相同,所以45854141ab,即453ab.故选:A【点睛】本题主要考查求向量的投影,熟记向量
12、数量积的定义与几何意义即可,属于常考题型.15.已知20ab,且关于x的方程20 xa xa b有实根,则a与b的夹角的取值范围是()A.06,B.,3 C.2,3 3 D.,6【答案】B【解析】-9-【分析】根据方程有实根得到24cos0aa b,利用向量模长关系可求得1cos2,根据向量夹角所处的范围可求得结果.【详解】关于x的方程20 xa xa b有实根 240aa b 设a与b的夹角为,则24cos0aa b 又20ab 24cos0bb 1cos2 又0,3 本题正确选项:B【点睛】本题考查向量夹角的求解问题,关键是能够利用方程有实根得到关于夹角余弦值的取值范围,从而根据向量夹角范
13、围得到结果.16.已知数列 na,对于任意的正整数n,20161,1201612,20173nnnan,设nS表示数列 na的前n项和.下列关于limnnS的结论,正确的是()A.lim1nnS B.lim2015nnS C.*2016,12016lim1.2017nnnSnNn D.以上结论都不对【答案】B【解析】【分析】根据题意,结合等比数列的求和公式,先得到当2017n 时,2016120153nnS,再由极限的运算法则,即可得出结果.【详解】因为数列 na,对于任意的正整数n,20161,1201612,20173nnnan,nS表示数-10-列 na的前n项和,所以122016.1a
14、aa,201723a,201829a,所以当2017n 时,201620162016211331120162016 1201513313nnnnS,因此20161limlim 201520153nnnnS.故选:B【点睛】本题主要考查数列的极限,熟记等比数列的求和公式,以及极限的运算法则即可,属于常考题型.三、解答题:17.如果由矩阵1112mxmym表示的关于x,y的二元一次方程组无解,求实数m的值.【答案】1m 【解析】【分析】先由题意,得到11Dmm,21xDm,21yDm,对满足0D 的m进行讨论,即可得出结果.【详解】由题意可得:方程组为12mxyxmym,1111mDmmm,112
15、12xDmmm,21112ymDmm,当1m 时,0 xyDDD,方程组有无数个解;当1m 时,0D,0 xD,0yD,方程组无解.所以1m.【点睛】本题主要考查矩阵与二元一次方程组,熟记二元一次方程组的矩阵表示即可,属于-11-常考题型.18.在ABC中,边a、b、c分别为角A、B、C所对应的边.(1)若2(2)sin0(2)sin1sin(2)sincabAbaBCabA,求角C的大小;(2)若4sin5A,23C,3c,求ABC的面积.【答案】(1)3C;(2)188 325.【解析】试题分析:(1)先根据行列式定义得2 sin2sin2sincCabAbaB,再根据正弦定理化角为边得2
16、22cabab,最后根据余弦定理求角C的大小;(2)先根据正弦定理求 a,再根据两角和正弦公式求sinB,最后根据三角形面积公式求面积.试题解析:(1)由题意,2 sin2sin2sincCabAbaB;由正弦定理得2222cab aba b,222cabab,2221cos22abcCab,3C;(2)由4sin5A,3c,且sinsinacAC,85a;由23acAC,3cos5A,3 34sinsinsin coscos sin10BACACAC;1188 3sin225ABCScaB.19.已知 2111111af xxx,xR.(1)当1a 时,求方程 0f x 的解集;(2)若方程
17、 0f x 有且只有一个实数解,求实数a的值并解该方程.-12-【答案】(1)1,1(2)当1a,或3a 时,解都为-1【解析】【分析】先由题意计算行列式,得到2()(1)(1)2f xaxax,(1)由1a,将方程 0f x 化为2220 x,求解,即可得出结果;(2)根据题意,得方程2()(1)(1)20f xaxax有且只有一个实数解,分别讨论10a 与10a 两种情况,即可得出结果.【详解】因为 222111 11111111111axxf xxaxxx 2222()()112xxa xxaxax ,(1)当1a 时,方程 0f x 可化为2220 x,解得1x,所以方程的解集为1,1
18、;(2)由题意可得,方程2()(1)(1)20f xaxax有且只有一个实数解,当10a,即1a 时,方程可化为220 x,解得1x;当10a,即1a 时,只需2(1)8(1)0aa,即2690aa,解得3a,此时方程为:22420 xx,即2210 xx,解得1x;综上,当1a 或3a 时,方程的解都是1.【点睛】本题主要考查求方程的解,以及由方程根的个数求参数,熟记一元二次方程的解法,以及行列式的计算方法即可,属于常考题型.20.某商店采用分期付款的方式促销一款价格每台为 6000 元的电脑.商店规定,购买时先支付货款的13,剩余部分在三年内按每月底等额还款的方式支付欠款,且结算欠款的利息
19、.已知欠款的月利率为0.5%.(1)到第一个月底,货主在第一次还款之前,他欠商店多少元?(2)假设货主每月还商店a元,写出在第1,2,36i i 个月末还款后,货主对商店欠款数表达式.-13-(3)每月的还款额a为多少元(精确到 0.01 元)?【答案】(1)4020 元;(2)表达式为3(10.5%)14000(10.5%)(1,2,.,36)0.5%ian元;(3)121.69元【解析】【分析】(1)因为购买电脑时,货主欠商店23的货款,即4000元,又按月利率0.5%,即可求出结果;(2)设第i个月底还款后的欠款数为iy,根据题意,14000(10.5%)ya,221(10.5%)400
20、0(10.5%)(10.5%)yyaaa,进而得出1(10.5%)iiyya,整理,即可得出结果;(3)由题意得到360y,由(2)的结果,即可求出结果.【详解】(1)因为购买电脑时,货主欠商店23的货款,即6000400032,又按月利率0.5%,到第一个月底的欠款数应为4000 1 0.5%4020元,即到第一个月底,欠款余额为4020元;(2)设第i个月底还款后的欠款数为iy,则有14000(10.5%)ya,221(10.5%)4000(10.5%)(10.5%)yyaaa,3232(10.5%)4000(10.5%)(10.5%)(10.5%)yyaaaa,11(10.5%)4000
21、(10.5%)(10.5%).(10.5%)nniiyyaaaa 整理得:3(10.5%)14000(10.5%)(1,2,.,36)0.5%iiyan;(3)由题意可得:360y,所以363(10.5%)14000(10.5%)00.5%a,因此36364000(10.5%)0.5%121.69(10.5%)1a -14-【点睛】本题主要考查数列的应用,熟记等比数列的求和公式,即可求解,属于常考题型.21.在直角坐标平面中,已知点11,2P,222,2P,333,2P,,2nnP n,其中n是正整数,对平面上任一点0A,记1A为0A关于点1P的对称点,2A为1A关于点2P的对称点,nA为1n
22、A关于点nP的对称点.(1)求向量02A A的坐标;(2)当点0A在曲线C上移动时,点2A的轨迹是函数 yf x的图像,其中 f x是以 3 为周期的周期函数,且当0,3x时,lgf xx.求以曲线C为图像的函数在1,4上的解析式;(3)对任意偶数n,用n表示向量0nA A的坐标.【答案】(1)2,4(2)lg14g xx(3)4 213nn【解析】【分析】(1)先设点0(,)A x y,由题意求出1(2,4)xyA,进而得到22,4xAy,从而可求出向量02(2,4)A A;(2)先由题意,得到 yf x是由曲线C按向量02A A平移得到的;根据图像变换,以及函数周期,即可得出结果;(3)先
23、由1nA为2nA关于点1nP的对称点,nA为1nA关于点nP的对称点,得到212nnnnP PAA,再由向量的运算法则,结合向量的坐标表示,以及等比数列的求和公式,即可求出结果.【详解】(1)设点0(,)A x y,因为1A为0A关于点11,2P的对称点,所以1(2,4)xyA,又2A为1A关于点222,2P的对称点,所以242,84xAy,即22,4xAy,因此02(2,4)A A;-15-(2)由(1)02(2,4)A A,因为点0A在曲线C上移动时,点2A的轨迹是函数 yf x的图像,所以 f x的图像由曲线C向右平移2个单位,再向上平移4个单位得到,因此,设曲线C是函数()yg x的图
24、像,因为 f x是以 3 为周期的周期函数,所以()g x也是以3为周期的周期函数,当0,3x时,lgf xx,所以当2,1 x时,lg24g xx;于是,当1,4x时,lg14g xx;(3)由题意,1nA为2nA关于点1nP的对称点,nA为1nA关于点nP的对称点.所以在21nnnAAA中,1nP为21nnAA的中点,nP为1nnAA的中点,所以212nnnnP PAA,因此00224212341.2.nnnnnA AA AA AAAPPPPP P,243122 1,2243,22.(1),22nnnn 22314(14)2421,21,2.1,2,1 43nnnnn.【点睛】本题主要考查平面向量的综合,熟记平面向量基本定理、向量的线性运算、向量的坐标表示,以及等比数列的求和公式即可,属于常考题型.