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1、-1-吉林省长春市实验中吉林省长春市实验中学学2019-2022019-2020 0学年高二数学上学学年高二数学上学期期1 10 0月月考试题月月考试题文（含解析）文（含解析）一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 1212 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 6060 分，在每小题给出的四个选项中，只有分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）一项是符合题目要求的）1.抛物线28yx的焦点坐标为（）A.0,2B.2,0C.2,0D.0,2【答案】C【解析】【分析】根据抛物线的标准方程可得出抛物线的焦点坐标.【详解】由题意可知，抛物线28yx的焦点坐标为2,0，故选
2、：C.【点睛】本题考查抛物线焦点坐标的求解，考查计算能力，属于基础题.2.设命题:53p，命题:11,2,3q，则下列命题中为真命题的是（）A.pqB.pqC.pqD.pq【答案】A【解析】【分析】判断出简单命题p、q的真假，然后利用复合命题真假性原则得出各选项中复合命题的真假.【详解】由题意知，命题p、q均为真命题，则pq为真命题，pq、pq、pq均为假命题，故选：A.【点睛】本题考查复合命题的真假，在判断复合命题的真假时，关键就是判断出各简单命题的真假，考查逻辑推理能力，属于基础题.3.命题“xZ，使 x2+2x+m0”的否定是（）A.xZ，都有 x2+2x+m0B.xZ，使 x2+2x+
3、m0-2-C.xZ，都有 x2+2x+m0D.不存在 xZ，使 x2+2x+m0【答案】C【解析】试题分析：将“存在”换为“”同时将结论“x2+2x+m0”换为“x2+2x+m0”解：命题“xZ，使 x2+2x+m0”的否定是：xZ，都有 x2+2x+m0，故选：C考点：命题的否定4.已知双曲线22:1164xyC，则C的渐近线方程为（）A.60 xyB.60 xyC.20 xyD.20 xy【答案】C【解析】【分析】根据双曲线的性质，即可求出。【详解】令220164xy，即有20 xy双曲线C的渐近线方程为20 xy，故选 C。【点睛】本题主要考查双曲线渐近线方程的求法。5.已知椭圆2222
4、1xyab（ab0）的离心率为12，则A.a2=2b2B.3a2=4b2C.a=2bD.3a=4b【答案】B【解析】【分析】由题意利用离心率的定义和,a b c的关系可得满足题意的等式.-3-【详解】椭圆的离心率2221,2cecaba,化简得2234ab,故选 B.【点睛】本题考查椭圆的标准方程与几何性质,属于容易题,注重基础知识基本运算能力的考查.6.已知12,0F、22,0F分别为椭圆22221(0)xyabab的左、右焦点，过F1的直线l交椭圆C于A、B两点.若2ABF周长是4 3，则该椭圆方程是()A.2213xyB.22132xyC.2211210 xyD.22143xy【答案】A
5、【解析】【分析】由已知可得2c，由于过1F的直线l交椭圆C于A、B两点.2ABF周长是4 3，即44 3a，由此可求出椭圆的标准方程。【详解】12,0F、22,0F分别为椭圆22221(0)xyabab的左、右焦点，2c，又过1F的直线l交椭圆C于A、B两点.2ABF周长为12124 3AFAFBFBF，由椭圆的定义可知：122AFAFa，122BFBFa，44 3a，解得;3a,2221bac,-4-椭圆的标准方程为2213xy，故答案选 A。【点睛】本题主要考查椭圆定义的应用以及简单的性质，属于基础题。7.已知下面四个命题：“若20 xx，则0 x 或1x”的逆否命题为“若0 x 且1x，
6、则20 xx”“1x”是“2320 xx”的充分不必要条件命题“若xy，则sinsinxy”的逆否命题为真命题若pq为假命题，则p、q均为假命题，其中真命题个数为（）A.1B.2C.3D.4【答案】C【解析】【分析】根据逆否命题与原命题之间的关系可判断出命题的真假；解出不等式2320 xx，利用集合的包含关系可判断出命题的真假；判断出原命题的真假，再由原命题与逆否命题的真假性一致可判断出命题的真假；由复合命题的真假与简单命题的真假可判断出命题的真假.【详解】对于命题，由原命题与逆否命题的关系可知，命题为真命题；对于命题，解不等式2320 xx，得1x 或2x，所以，“1x”是“2320 xx”
7、的充分不必要条件，命题为真命题；对于命题，命题“若xy，则sinsinxy”为真命题，其逆否命题也为真命题，则命题为真命题；对于命题，若pq为假命题，则p、q中至少有一个是假命题，则命题为假命题.因此，真命题个数为3，故选：C.【点睛】本题考查逆否命题与原命题之间的关系、充分必要条件的判断以及复合命题的真假与简单命题真假之间的关系，考查逻辑推理能力，属于中等题.-5-8.0 x，使20 xxa，则实数 的取值范围是()A.1a B.1a C.1a D.1a【答案】B【解析】【分析】由题意得，问题转化为min2xax的问题，设函数2xyx，利用该函数的单调性即可求出参数范围【详解】由题意可知：0
8、 x，使2xax，则min2xax.由于函数2xyx是定义域内的单调递增函数，故当0 x 时，函数取得最小值0201，综上可得，实数a的取值范围是1a.本题选择B选项.【点睛】思路点拨：1.由题意分离参数，然后结合函数的单调性确定实数a的取值范围；2.对于恒成立问题，常用到以下两个结论：(1)()af x恒成立()a f xaxmax()a f x；(2)()af x恒成立min()a f x.9.已知椭圆22221(0)xyabab的左右焦点分别为1F，2F，右顶点为A，上顶点为B，以线段1F A为直径的圆交线段1FB的延长线于点P，若2/F BAP，则该椭圆离心率是（）A.33B.23C.
9、32D.22【答案】D【解析】【分析】由点P在以线段1F A为直径的圆上，可知1APPF，再由2/F BAP，可得21F BBF，且12FF B是等腰直角三角形，结合2,OBb OFc，所以bc，可求出离心率。-6-【详解】因为点P在以线段1F A为 直径的圆上，所以1APPF，又因为2/F BAP，所以21F BBF，又因为21F BBF，所以12FF B是等腰直角三角形，因为2,OBb OFc，所以bc，2222222F Bcbac，所以该椭圆的离心率22cea【点睛】本题考查了椭圆和圆的性质，考查了离心率的求法，考查了学生的计算求解能力，属于基础题。10.如图，F1，F2分别是双曲线22
10、221xyab(a0，b0)的两个焦点，以坐标原点O为圆心，|OF1|为半径的圆与该双曲线左支交于A，B两点，若F2AB是等边三角形，则双曲线的离心率为()A.3B.2C.3 1D.31【答案】D【解析】【分析】连接1AF，利用三角形边之间的关系得到122cAF，12(31)aAF，代入离心率公式-7-得到答案.【详解】连接1AF，依题意知：213AFAF，12122cFFAF，所以2112(31)aAFAFAF11231(31)AFceaAF.【点睛】本题考查了双曲线的离心率，利用三角形边之间的关系和双曲线性质得到,a c的关系式是解题的关键.11.已知F是双曲线2218yC x：的右焦点，
11、P是C左支上一点，0 6 6A（，），当APF周长最小时，则点P的纵坐标为（）A.6 6B.2 6C.4 6D.8 6【答案】B【解析】【分析】左焦点 E（-3，0）,APF 周长最小|PA|+|PF|最小|PA|+|PE|+2 最小P 在线段 AE 上【详解】如图：由双曲线 C 的方程可知：a2=1，b2=8，c2=a2+b2=1+8=9，c=3，左焦点 E（-3，0），右焦点 F（3，0），|AF|=223(6 6)15，所以当三角形 APF 的周长最小时，|PA|+|PF|最小-8-由双曲线的性质得|PF|-|PE|=2a=2，|PF|=|PE|+2，又|PE|+|PA|AE|=|AF|
12、=15，当且仅当 A，P，E 三点共线时，等号成立三角形 APF 的周长：|AF|+|AP|+|PF|=15+|PE|+|AP|+215+15+2=32此时，直线 AE 的方程为 y=2 66 6x，将其代入到双曲线方程得：x2+9x+14=0，解得 x=-7（舍）或 x=-2，由 x=-2 得 y=26（负值已舍）故选：B【点睛】本题主要考查了双曲线的性质，双曲线的定义，属中档题12.已知椭圆2222xyab1(ab0)的左、右焦点分别为 F1，F2，且|F1F2|2c，若椭圆上存在点 M 使得12MFF中，1221sinsinMFFMF Fac，则该椭圆离心率的取值范围为()A.(0，21
13、)B.2,12C.20,2D.(21,1)【答案】D【解析】【分析】利用1221sinsinMFFMF Fac联想到正弦定理，结合椭圆定义找到,a c的关系式，从而求得离心率的范围.【详解】由正弦定理可得：122112sinsinMFMFMF FMFF,结合题意可得12MFMFca，所以1212MFMFMFMFcaac，根 据 椭 圆 的 定 义 可 得122MFMFa，所 以12acMFac，222aMFac，易知21MFMF.因为M为椭圆上一点，所以2acMFac，即22aacacac，-9-整理得2220caca，所以2210ee，解得211e.故选 D.【点睛】本题主要考查椭圆的离心率
14、的求解，求解离心率的值时，一般是构建,a b c的等式；求解离心率的范围时，一般是构建,a b c的不等关系.二、填空题（本大题有二、填空题（本大题有 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 2020 分）分）13.“ab”是“ab”的_条件.（选填“充分不必要、必要不充分、既不充分又不必要、充要”之一）【答案】必要不充分【解析】【分析】根据充分条件、必要条件的判定方法，利用实数的运算性质，即可求解，得到答案.【详解】当ab时，则ab不一定成立，如1ab 时,ab无意义；反之，当ab时，则ab一定成立所以“ab”是“ab”的必要不充分条件故答案为：必要不充分【点睛】本题主要考查
15、了必要不充分条件的判定，其中解答中熟记充分条件、必要条件的判定方法，合理利用实数的运算性质，准确判定是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.14.已知双曲线221259xy上一点M到左焦点1F的距离为18，则点M到右焦点2F的距离是_.【答案】8或28【解析】【分析】根据双曲线的定义得出122MFMFa求出2MF，但需要满足2MFca.【详解】由题意可知5a，3b，25934c，且118MF，由双曲线的定义得-10-122MFMFa，即21810MF，解得28MF 或28，均满足2MFca，故答案为：8或28.【点睛】本题考查双曲线的定义，解题还应注意双曲线上的点到焦点的距离应不小
16、于ca，考查计算能力，属于基础题.15.已知直线l的普通方程为10 xy，点P是曲线22:13xCy上的任意一点，则点P到直线l的距离的最大值为_【答案】3 22【解析】【分析】作直线l的平行线0 xyt，使得平移后的直线与椭圆C相切，然后将直线方程与椭圆方程联立，由0 得出t的值，将点P到直线l的距离的最大值转化为直线0 xyt 0t 与直线l之间的距离.【详解】作直线l的平行线0 xyt，使得该直线与椭圆C相切，联立22013xytxy，消去y得2246310 xtxt，222364 4 3148 120ttt ，解得2t .因此，点P到直线l的距离的最大值等于直线20 xy与直线l之间的
17、距离33 222d，故答案为：3 22.【点睛】本题考查椭圆上的点到直线距离的最值问题，可以利用平移直线与椭圆相切，转化为平行线之间的距离来处理，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.16.已知一族双曲线22:2019nnExy（*nN，且2019n），设直线2x 与nE在第一-11-象限内的交点为nA，点nA在nE的两条渐近线上的射影分别为nB，nC.记nnnA B C的面积为na，则1232019aaaa_.【答案】5052【解析】【分析】设点坐标00,nAxy，表示出nnnA B C的面积，得到na的通项，然后对其求前 2019 项的和.【详解】设00,nAxy，双曲线22:2019
18、nnExy的渐近线为0,0 xyxy，互相垂直.点00,nAxy在两条渐近线上的射影为,nnB C，则0000,22nnnnxyxyA BA C易知nnnA B C为直角三角形，220000001=242019 422nnnA B CxyxyxynS即2019 4nna 为等差数列，其前 2019 项的和为12019201912019201920195052019 42019 4=222aaS【点睛】本题利用三角形的面积将双曲线相关内容与数列相结合，综合性较强的题目，属于难题.三、解答题（本大题有三、解答题（本大题有 6 6 小题，共小题，共 7070 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
19、）分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.已知:p实数x，满足0 xa，:q实数x，满足2430 xx.若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围.【答案】3,【解析】【分析】设命题p、q中实数x的取值集合分别为A、B，将题意转化为BA，由此可列出不等式解出实数a的取值范围.-12-【详解】设命题p、q中实数x的取值集合分别为A、B，则,Aa.解不等式2430 xx，得13x，得1,3B.由于p是q的必要不充分条件，则BA，所以，3a.因此，实数a的取值范围是3,.【点睛】本题考查利用充分必要性求参数的取值范围，一般转化为两集合的包含关系，具体原则如下：（1）若AB，则“xA”是“x
20、B”的充分不必要条件；（2）若AB，则“xA”是“xB”的必要不充分条件；（3）若AB，则“xA”是“xB”的充分必要条件；（4）若AB，则“xA”是“xB”的既不充分也不必要条件.18.（1）求焦点在 x 轴上，长轴长为 6，焦距为 4 的椭圆标准方程；（2）求与双曲线2212xy有公共焦点，且过点2,2的双曲线标准方程【答案】1椭圆的标准方程为22195xy；2双曲线的标准方程为：2212yx【解析】【分析】1设出椭圆的标准方程，根据 2a，2c 所表示的几何意义求得 a，c 的值，再根据椭圆222abc，求得 b2的值，进而可得到椭圆的标准方程；2先求得双曲线的焦点，可设所求双曲线的方程
21、为22221(,0)xya bab，将点2,2代入双曲线方程，结合双曲线222cab，解方程可得a，b，进而可得双曲线的方程【详解】1设椭圆标准方程为22221(0)xyabab，则焦距为 4，长轴长为 6，-13-3a，2c，25b，椭圆标准方程为22195xy；2双曲线2212xy双曲线的焦点为3,0，设双曲线的方程为22221(,0)xya bab，可得223ab，将点2,2代入双曲线方程可得，22221ab，解得1a，2b，即有所求双曲线的方程为：2212yx【点睛】本题考查了椭圆的简单性质与椭圆标准方程的求法，考查了双曲线的方程的求法，考查了运算能力；求椭圆或双曲线的标准方程的一般步
22、骤：先设出标准方程，再根据已知条件代入方程求解.19.已知命题 p:1,12x ，不等式20mx恒成立；q：方程22214xym表示焦点在x轴上的椭圆（1）若p为假命题，求实数m的取值范围；（2）若pq为真命题，pq为假命题，求实数m的取值范围【答案】（1）2m或2m （2）2m 或12m【解析】【分析】（1）由p为假命题，则p为真命题，转化为1,12x 20mx，恒成立，即可求解；（2）分别求得命题,p q都为真命题时实数m的取值范围，在根据pq为真命题，pq为假命题，分类讨论，即可求解。【详解】（1）若p为假命题，则p为真命题若命题p真，-14-即对1,12x 20mx，恒成立，则2max
23、1mx，所以m1（2）命题q：方程表示焦点在x轴上的椭圆，242mm或2m pq为真命题，且pq为假命题，p、q一真一假如果p真q假，则有122mm，得12m；如果p假q真，则有122mmm 或，得2m 综上实数m的取值范围为2m 或12m【点睛】本题主要考查了利用复合命题的真假求解参数问题，其中解答中合理转化，以及正确求解命题,p q为真命题时实数m的取值范围是解答的关键，着重考查了分类讨论思想，以及推理与运算能力，属于基础题。20.如图，DPy轴，点M在DP的延长线上，且3DMDP.当点P在圆221xy上运动时，（1）求点M的轨迹方程.（2）过点1(1,)3Q作直线l与点M的轨迹相交于A、
24、B两点，使点Q被弦AB平分，求直线l的方程【答案】（1）221(0)9xyx（2）320 xy【解析】【分析】-15-（1）设00,M x yP xy，3DMDP,所以03xx，0,Dy,0yy，003xxyy，代入圆的方程得到轨迹方程，抠掉不满足题意的点即可；（2）设出直线l的方程为113yk x，联立直线和椭圆，根据韦达定理列式即可.【详解】（1）解析:设00,M x yP xy，则0,Dy,0yy,0DPx，DMx3DMDP,所以03xx003xxyy003xxyyP在圆221xy上，22001xy，代入得2219xy3,0DMDPDP,0 x,22109xyx.（2）由题意知直线l的斜
25、率存在，l过点11,3，设直线l的方程为113yk x，设1122,A x yB x y，联立2211319yk xxy得，222111 91899033kxkkxk 点11,3在椭圆内部，不论k取何值，必定有0.由韦达定理知21221861 9kkxxk-16-1122,A x yB x y的中点是11,3，122xx，即212218621 9kkxxk，解得13k ，直线l的方程为320 xy.【点睛】本题主要考查直线与圆锥曲线位置关系，所使用方法为韦达定理法：因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定
26、理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用21.双曲线222:1yxb（0b）.（1）若的一条渐近线方程为2yx，求的方程；（2）设1F、2F是的两个焦点，P为上一点，且12PFPF，12PFF的面积为 9，求b的值；【答案】（1）2214yx；（2）3；【解析】【分析】(1)根据双曲线的渐近线方程，得到b，从而可求出双曲线的方程；(2)根据双曲线定义先得到122PFPFa，再由12PFF的面积为 9，得到12PF PF，根据2221212PFPFFF，求出2c，即可得出结果；【详解】(1)因为双曲线222:1yx
27、b（0b）的一条渐近线方程为2yx，所以2b，因此，的方程为22:14yx；(2)双曲线定义可得：1222PFPFa，又12PFPF，12PFF的面积为 9，-17-所以1218PF PF，且222212124PFPFFFc，所以22221212124240cPFPFPFPFPF PF，故210c，所以210 19b ，因此，3b；【点睛】本题主要考查双曲线的方程，以及双曲线的简单性质，熟记性质即可，属于常考题型.22.设椭圆E：222166xyaa的左、右焦点分别为12,0F，22,0F.（）求椭圆E的标准方程；（）过点1F的直线l与椭圆E相交于M，N两点，求2F MN内切圆面积的最大值.【
28、答案】（）22186xy=（）max98S【解析】【分析】（）根据焦点坐标可得2c，结合,a b c可求方程；（）2F MN内切圆面积的最大时，2F MN的面积最大，结合2F MN的面积目标式，求出最大值即可.【详解】解：（）由已知椭圆的左、右焦点分别为12,0F，22,0F，2c 由222628abc，椭圆C的标准方程为：22186xy=.（）令l：2xmy，设11,M x y，22,N xy，-18-222186xmyxy，22346 2180mymy，由，即227272 340mm，mR，则1226 234myym，1221834yym，设2F MN的内切圆半径为R，22214 22F MNSMNMFNFRR，又2121212122F MNSFFyyyy，124 22Ryy，即：124Ryy，2212222227272112 2343434mmyymmm22112 234mm，令21tm，则1t，得：12212 212 21313tyyttt，令 13f ttt，知 f t在1,上是单调递增函数，14f tf，12max12 23 24yy，max43 2R，max3 24R，2F MN内切圆面积max98S.【点睛】本题主要考查椭圆方程的求解和最值问题，最值问题一般是把目标式求出，结合目标式特点选用合适的方法求解，侧重考查数学运算的核心素养.