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1、http:/ 永久免费组卷搜题网http:/ 永久免费组卷搜题网20102010 年高考数学一轮复习精品学案（人教版年高考数学一轮复习精品学案（人教版 A A 版）版）圆锥曲线方程及性质圆锥曲线方程及性质一一【课标要求】【课标要求】1 了解圆锥曲线的实际背景，感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用；2经历从具体情境中抽象出椭圆、抛物线模型的过程，掌握它们的定义、标准方程、几何图形及简单性质；3了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道双曲线的有关性质.二二【命题走向】【命题走向】本讲内容是圆锥曲线的基础内容，也是高考重点考查的内容，在每年的高考试卷中一般有 23 道客观题，难度上易、
2、中、难三档题都有，主要考查的内容是圆锥曲线的概念和性质，从近十年高考试题看主要考察圆锥曲线的概念和性质。圆锥曲线在高考试题中占有稳定的较大的比例，且选择题、填空题和解答题都涉及到，客观题主要考察圆锥曲线的基本概念、标准方程及几何性质等基础知识和处理有关问题的基本技能、基本方法.对于本讲内容来讲，预测 2010 年：（1）1 至 2 道考察圆锥曲线概念和性质客观题，主要是求值问题；（2）可能会考察圆锥曲线在实际问题里面的应用，结合三种形式的圆锥曲线的定义。三三【要点精讲】【要点精讲】1椭圆（1）椭圆概念平面内与两个定点1F、2F的距离的和等于常数（大于21|FF）的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点叫
3、做椭圆的焦点，两焦点的距离叫椭圆的焦距。若M为椭圆上任意一点，则有21|2MFMFa.椭圆的标准方程为：22221xyab（0ab）（焦点在 x 轴上）或12222bxay（0ab）（焦点在 y 轴上）。注：以上方程中,a b的大小0ab，其中222cab；在22221xyab和22221yxab两个方程中都有0ab的条件，要分清焦点的位置，只要看2x和2y的分母的大小。例如椭圆221xymn（0m，0n，mn）当mn时表示焦点在x轴上的椭圆；当mn时表示焦点在y轴上的椭圆.（2）椭圆的性质范围：由标准方程22221xyab知|xa，|yb，说明椭圆位于直线xa，http:/ 永久免费组卷搜题
4、网http:/ 永久免费组卷搜题网yb 所围成的矩形里；对称性：在曲线方程里，若以y代替y方程不变，所以若点(,)x y在曲线上时，点(,)xy也在曲线上，所以曲线关于x轴对称，同理，以x代替x方程不变，则曲线关于y轴对称。若同时以x代替x，y代替y方程也不变，则曲线关于原点对称。所以，椭圆关于x轴、y轴和原点对称。这时，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是对称中心，椭圆的对称中心叫椭圆的中心；顶点：确定曲线在坐标系中的位置，常需要求出曲线与x轴、y轴的交点坐标。在椭圆的标准方程中，令0 x，得yb，则1(0,)Bb，2(0,)Bb是椭圆与y轴的两个交点。同理令0y 得xa，即1(,0)Aa，2(,0
5、)A a是椭圆与x轴的两个交点。所以，椭圆与坐标轴的交点有四个，这四个交点叫做椭圆的顶点。同时，线段21A A、21B B分别叫做椭圆的长轴和短轴，它们的长分别为2a和2b，a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。由椭圆的对称性知：椭圆的短轴端点到焦点的距离为a；在22Rt OB F中，2|OBb，2|OFc，22|B Fa，且2222222|OFB FOB，即222cac；离心率：椭圆的焦距与长轴的比cea叫椭圆的离心率。0ac，01e，且e越接近1，c就越接近a，从而b就越小，对应的椭圆越扁；反之，e越接近于0，c就越接近于0，从而b越接近于a，这时椭圆越接近于圆。当且仅当ab时，0c，两
6、焦点重合，图形变为圆，方程为222xya。2双曲线（1）双曲线的概念平 面 上 与 两 点 距 离 的 差 的 绝 对 值 为 非 零 常 数 的 动 点 轨 迹 是 双 曲 线（12|2PFPFa）。注意：（*）式中是差的绝对值，在1202|aFF条件下；12|2PFPFa时为双曲线的一支（含2F的一支）；21|2PFPFa时为双曲线的另一支（含1F的一支）；当122|aFF时，12|2PFPFa表 示 两 条 射 线；当122|aFF时，12|2PFPFa不表示任何图形；两定点12,F F叫做双曲线的焦点，12|FF叫做焦距。http:/ 永久免费组卷搜题网http:/ 永久免费组卷搜题网
7、椭圆和双曲线比较：椭圆双曲线定义1212|2(2|)PFPFaaFF1212|2(2|)PFPFaaFF方程22221xyab22221xyba22221xyab22221yxab焦点(,0)Fc(0,)Fc(,0)Fc(0,)Fc注意：如何有方程确定焦点的位置！（2）双曲线的性质范围：从标准方程12222byax，看出曲线在坐标系中的范围：双曲线在两条直线ax的外侧。即22ax，ax 即双曲线在两条直线ax的外侧。对称性：双曲线12222byax关于每个坐标轴和原点都是对称的，这时，坐标轴是双曲线的对称轴，原点是双曲线12222byax的对称中心，双曲线的对称中心叫做双曲线的中心。顶点：双曲
8、线和对称轴的交点叫做双曲线的顶点。在双曲线12222byax的方程里，对 称 轴 是,x y轴，所 以 令0y得ax，因 此 双 曲 线 和x轴 有 两 个 交 点)0,()0,(2aAaA，他们是双曲线12222byax的顶点。令0 x，没有实根，因此双曲线和 y 轴没有交点。1）注意：双曲线的顶点只有两个，这是与椭圆不同的（椭圆有四个顶点），双曲线的顶点分别是实轴的两个端点。2）实轴：线段2AA叫做双曲线的实轴，它的长等于2,a a叫做双曲线的实半轴长。虚轴：线段2BB叫做双曲线的虚轴，它的长等于2,b b叫做双曲线的虚半轴长.渐近线：注意到开课之初所画的矩形，矩形确定了两条对角线，这两条
9、直线即称为双曲线的渐近线。从图上看，双曲线12222byax的各支向外延伸时，与这两条直线逐渐接近。等轴双曲线：1）定义：实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线。定义式：ab；http:/ 永久免费组卷搜题网http:/ 永久免费组卷搜题网2）等轴双曲线的性质：（1）渐近线方程为：xy；（2）渐近线互相垂直.注意以上几个性质与定义式彼此等价。亦即若题目中出现上述其一，即可推知双曲线为等轴双曲线，同时其他几个亦成立。3）注意到等轴双曲线的特征ab，则等轴双曲线可以设为：)0(22yx，当0时交点在x轴，当0时焦点在y轴上.注意191622yx与221916yx的区别：三个量,a b c中,a b不
10、同（互换）c相同，还有焦点所在的坐标轴也变了。3抛物线（1）抛物线的概念平面内与一定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线(定点F不在定直线l 上)。定点 F 叫做抛物线的焦点，定直线 l 叫做抛物线的准线。方程022ppxy叫做抛物线的标准方程。注意：它表示的抛物线的焦点在 x 轴的正半轴上，焦点坐标是 F（2p,0），它的准线方程是2px；（2）抛物线的性质一条抛物线，由于它在坐标系的位置不同，方程也不同，有四种不同的情况，所以抛物线的标准方程还有其他几种形式：pxy22，pyx22，pyx22.这四种抛物线的图形、标准方程、焦点坐标以及准线方程如下表：标准方程22(0)ypxp
11、22(0)ypxp 22(0)xpyp22(0)xpyp 图形焦点坐标(,0)2p(,0)2p(0,)2p(0,)2p准线方程2px 2px 2py 2py 范围0 x 0 x 0y 0y 对称性x轴x轴y轴y轴顶点(0,0)(0,0)(0,0)(0,0)oFxyloxyFlxyoFlhttp:/ 永久免费组卷搜题网http:/ 永久免费组卷搜题网离心率1e 1e 1e 1e 说明：（1）通径：过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦称为通径；（2）抛物线的几何性质的特点：有一个顶点，一个焦点，一条准线，一条对称轴，无对称中心，没有渐近线；（3）注意强调p的几何意义：是焦点到准线的距离。四四【典例解析
12、】【典例解析】题型 1：椭圆的概念及标准方程例 1求适合下列条件的椭圆的标准方程：（1）两个焦点的坐标分别是(4,0)、(4,0)，椭圆上一点P到两焦点距离的和等于10；（2）两个焦点的坐标分别是(0,2)、(0,2)，并且椭圆经过点3 5(,)2 2；（3）焦点在x轴上，:2:1a b，cb；（4）焦点在y轴上，225ab，且过点(2,0)；（5）焦距为b，1ab；（6）椭圆经过两点3 5(,)2 2，(3,5)。解析：（1）椭圆的焦点在x轴上，故设椭圆的标准方程为22221xyab（0ab），210a，4c，2229bac，所以，椭圆的标准方程为221259xy。（2）椭圆焦点在y轴上，故
13、设椭圆的标准方程为22221yxab（0ab），由椭圆的定义知，22223535312()(2)()(2)10102 10222222a，10a，又2c，2221046bac，所以，椭圆的标准方程为221106yx。（3）6c，2226abc，又由:2:1a b 代入得2246bb，http:/ 永久免费组卷搜题网http:/ 永久免费组卷搜题网22b，28a，又焦点在x轴上，所以，椭圆的标准方程为22182xy。（4）设椭圆方程为22221yxab，221b，22b，又225ab，23a，所以，椭圆的标准方程为22132yx（5）焦距为6，3c，2229abc，又1ab，5a，4b，所以，椭
14、圆的标准方程为2212516xy或2212516yx（6）设椭圆方程为221xymn（,0m n），由2235()()221351mnmn得6,10mn，所以，椭圆方程为221106yx 点评：求椭圆的方程首先清楚椭圆的定义，还要知道椭圆中一些几何要素与椭圆方程间的关系.例 2（1）（06 山东）已知椭圆中心在原点，一个焦点为 F（23，0），且长轴长是短轴长的 2 倍，则该椭圆的标准方程是。（2）（06 天津理，8）椭圆的中心为点(10)E ，它的一个焦点为(3 0)F ，相应于焦点F的准线方程为72x ，则这个椭圆的方程是（）222(1)21213xy222(1)21213xyhttp:/
15、 永久免费组卷搜题网http:/ 永久免费组卷搜题网22(1)15xy22(1)15xy解析：（1）已知222222242,2 3161164(2 3,0)bab cyxaabcF为所求；（2）椭圆的中心为点(1,0),E 它的一个焦点为(3,0),F 半焦距2c，相应于焦点 F 的准线方程为7.2x252ac，225,1ab，则这个椭圆的方程是22(1)15xy，选 D。点评：求椭圆方程的题目属于中低档题目，掌握好基础知识就可以。题型 2：椭圆的性质例 3（1）（06 山东理，7）在给定椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为2，焦点到相应准线的距离为 1，则该椭圆的离心率为（）(A)2(B)22
16、(C)21(D)42（2）（2009 全国卷理）设双曲线22221xyab（a0,b0）的渐近线与抛物线 y=x2+1 相切，则该双曲线的离心率等于()A.3B.2C.5D.6【解析】设切点00(,)P xy，则切线的斜率为00|2x xyx.由题意有0002yxx又2001yx解得:2201,2,1()5bbxeaa.【答案】C点评：本题重点考查了椭圆和双曲线的基本性质。例 4（1）（2009 全国卷理）已知椭圆22:12xCy的右焦点为F,右准线为l，点Al，线段AF交C于点B，若3FAFB ,则|AF=()http:/ 永久免费组卷搜题网http:/ 永久免费组卷搜题网A.2B.2C.3
17、D.3【解析】过点B作BMl于M,并设右准线l与X轴的交点为N，易知FN=1.由题意3FAFB ,故2|3BM.又由椭圆的第二定义,得2 22|233BF|2AF.故选 A【答案】A（2）（2009 浙江理）过双曲线22221(0,0)xyabab的右顶点A作斜率为1的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为,B C若12ABBC ，则双曲线的离心率是()A2B3C5D10【解析】对于,0A a，则直线方程为0 xya，直线与两渐近线的交点为 B，C，22,(,)aabaabBCab ababab则有22222222(,),a ba bababBCABababab ab ，因222,4,5
18、ABBCabe 【答案】C题型 3：双曲线的方程例 5（1）已知焦点12(5,0),(5,0)FF，双曲线上的一点P到12,F F的距离差的绝对值等于6，求双曲线的标准方程；（2）求与椭圆221255xy共焦点且过点(3 2,2)的双曲线的方程；（3）已 知 双 曲 线 的 焦 点 在y轴 上，并 且 双 曲 线 上 两 点12,P P坐 标 分 别 为9(3,4 2),(,5)4，求双曲线的标准方程。解 析：（1）因 为 双 曲 线 的 焦 点 在x轴 上，所 以 设 它 的 标 准 方 程 为22221xyab(0,0)ab，26,210ac，3,5ac，2225316b。所以所求双曲线的
19、方程为221916xy；http:/ 永久免费组卷搜题网http:/ 永久免费组卷搜题网（2）椭圆221255xy的焦点为(2 5,0),(2 5,0)，可以设双曲线的方程为22221xyab，则2220ab。又过点(3 2,2)，221821ab。综上得，22202 10,2 10ab，所以221202 102 10 xy。点评：双曲线的定义；方程确定焦点的方法；基本量,a b c之间的关系。（3）因 为 双 曲 线 的 焦 点 在y轴 上，所 以 设 所 求 双 曲 线 的 标 准 方 程 为22221(0,0)yxabab；点12,P P在双曲线上，点12,P P的坐标适合方程。将9(3
20、,4 2),(,5)4分别代入方程中，得方程组：2222222(4 2)319()2541abab将21a和21b看着整体，解得221116119ab，22169ab即双曲线的标准方程为221169yx。点评：本题只要解得22,a b即可得到双曲线的方程，没有必要求出,a b的值；在求解的过程中也可以用换元思想，可能会看的更清楚.例 6已知双曲线中心在原点，一个顶点的坐标为(3,0),且焦距与虚轴长之比为5:4，则双曲线的标准方程是_.解析：双曲线中心在原点，一个顶点的坐标为(3,0),则焦点在 x 轴上，且 a=3，焦距与虚轴长之比为5:4，即:5:4c b，解得5,4cb，则双曲线的标准方
21、程是221916xy；http:/ 永久免费组卷搜题网http:/ 永久免费组卷搜题网点评：本题主要考查双曲线的基础知识以及综合运用知识解决问题的能力。充分挖掘双曲线几何性质，数形结合，更为直观简捷.题型 4：双曲线的性质例 7（1）（2009 安徽卷理）下列曲线中离心率为62的是.22124xy.22142xy.22146xy.221410 xy【解析】由62e 得222222331,1,222cbbaaa，选 B.【答案】（2）（2009 江西卷文）设1F和2F为双曲线22221xyab(0,0ab)的两个焦点,若12FF，(0,2)Pb是正三角形的三个顶点,则双曲线的离心率为A32B2C
22、52D3【解析】由3tan623cb有2222344()cbca,则2cea,故选 B.【答案】B（3）（2009 天津卷文）设双曲线)0,0(12222babyax的虚轴长为 2，焦距为32，则双曲线的渐近线方程为（）A.xy2B.xy2C.xy22D.xy21【解析】由已知得到2,3,122bcacb，因为双曲线的焦点在 x 轴上，故渐近线方程为xxaby22【答案】C【考点定位】本试题主要考查了双曲线的几何性质和运用。考察了同学们的运算能力和推理能力。例 8（1）(2009 湖北卷理)已知双曲线22122xy的准线过椭圆22214xyb的焦点，则直http:/ 永久免费组卷搜题网http
23、:/ 永久免费组卷搜题网线2ykx与椭圆至多有一个交点的充要条件是()A.1 1,2 2K B.11,22K C.22,22K D.22,22K 【解析】易得准线方程是2212axb 所以222241cabb即23b 所以方程是22143xy联立2 ykx可得22 3+(4k+16k)40 xx 由0 可解得 A.【答案】A（2）（2009 四川卷文、理）已知双曲线)0(12222bbyx的左、右焦点分别是1F、2F，其一条渐近线方程为xy，点),3(0yP在双曲线上.则1PF2PF()A.12B.2C.0D.4【解析】由渐近线方程为xy 知双曲线是等轴双曲线，双曲线方程是222 yx，于是两
24、焦点坐标分别是（2，0）和（2，0），且)1,3(P或)1,3(P.不妨去)1,3(P，则)1,32(1PF，)1,32(2PF.1PF2PF01)32)(32()1,32)(1,32(【答案】C（3）（2009 全国卷理）已知双曲线222210,0 xyCabab：的右焦点为F,过F且斜率为3的直线交C于AB、两点，若4AFFB,则C的离心率为()A65B.75C.58D.95【解析】设双曲线22221xyCab：的右准线为l,过AB、分 别作AMl于M,BNl于N,BDAMD于,由 直 线 AB 的 斜 率 为3,知 直 线 AB 的 倾 斜 角http:/ 永久免费组卷搜题网http:/
25、 永久免费组卷搜题网16060,|2BADADAB,由双曲线的第二定义有1|(|)AMBNADAFFBe 11|(|)22ABAFFB .又15643|25AFFBFBFBee .【答案】A题型 5：抛物线方程例 9（1）)焦点到准线的距离是 2；（2）已知抛物线的焦点坐标是 F(0，2)，求它的标准方程.解析：（1）y2=4x，y2=4x，x2=4y，x2=4y；方程是 x2=8y。点评：由于抛物线的标准方程有四种形式，且每一种形式中都只含一个系数 p，因此只要给出确定 p 的一个条件，就可以求出抛物线的标准方程。当抛物线的焦点坐标或准线方程给定以后，它的标准方程就唯一确定了；若抛物线的焦点
26、坐标或准线方程没有给定，则所求的标准方程就会有多解。题型 6：抛物线的性质例 10（1）若抛物线22ypx的焦点与椭圆22162xy的右焦点重合，则p的值为（）A2B2C4D4（2）抛物线28yx的准线方程是（）(A)2x (B)4x (C)2y (D)4y （3）（2009 湖南卷文）抛物线28yx 的焦点坐标是（）A（2，0）B（-2，0）C（4，0）D（-4，0）解析：（1）椭圆22162xy的右焦点为(2,0)，所以抛物线22ypx的焦点为(2,0)，则4p，故选 D；（2）2p8，p4，故准线方程为 x2，选 A；（3）【解析】由28yx,易知焦点坐标是(,0)(2,0)2p，故选
27、B.http:/ 永久免费组卷搜题网http:/ 永久免费组卷搜题网【答案】B点评：考察抛物线几何要素如焦点坐标、准线方程的题目根据定义直接计算机即可。例 11（1）（全国卷 I）抛物线2yx 上的点到直线4380 xy距离的最小值是（）A43B75C85D3（2）对于顶点在原点的抛物线，给出下列条件：焦点在 y 轴上；焦点在 x 轴上；抛物线上横坐标为 1 的点到焦点的距离等于 6；抛物线的通径的长为 5；由原点向过焦点的某条直线作垂线，垂足坐标为（2，1）。（3）对于抛物线 y2=4x 上任意一点 Q，点 P（a，0）都满足|PQ|a|，则 a 的取值范围是（）A.（，0）B.（，2C.0
28、，2D.（0，2）能使这抛物线方程为 y210 x 的条件是（要求填写合适条件的序号）解析：（1）设抛物线2yx 上一点为(m，m2)，该点到直线4380 xy的距离为2|438|5mm，当 m=32时，取得最小值为43，选 A；（2）答案：，解析：从抛物线方程易得，分别按条件、计算求抛物线方程，从而确定。（3）答案：B解析：设点 Q 的坐标为（420y，y0），由|PQ|a|，得 y02+（420ya）2a2.整理，得：y02（y02+168a）0，y020，y02+168a0.即 a2+820y恒成立.而 2+820y的最小值为 2.a2.选 B。点评：抛物线问题多考察一些距离、最值及范围
29、问题。五五【思维总结】【思维总结】在复习过程中抓住以下几点：（1）坚持源于课本、高于课本，以考纲为纲的原则。高考命题的依据是高考说明.并明确考点及对知识点与能力的要求作出了明确规定，其实质是精通课本，而本章考题大多数是课本的变式题，即源于课本，因此掌握双基、精通课本是关键；（2）在注重解题方法、数学思想的应用的同时注意一些解题技巧，椭圆、双曲线、抛http:/ 永久免费组卷搜题网http:/ 永久免费组卷搜题网物线的定义揭示了各自存在的条件、性质及几何特征与圆锥曲线的焦点、焦半径、准线、离心率有关量的关系问题，若能用定义法，可避免繁琐的推理与运算；（3）焦半径公式：抛物线上一点 P（x1，y1），F 为抛物线的焦点，对于四种抛物线的焦半径公式分别为（p0）：221122112:;2:222:;2:22ppypx PFxypx PFxppxpyPFyxpyPFy