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1、http:/ 永久免费组卷搜题网http:/ 永久免费组卷搜题网2010 年高考数学一轮复习精品学案（人教版年高考数学一轮复习精品学案（人教版 A 版）版）-函数基本性质一【课标要求】一【课标要求】1通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性、最大（小）值及其几何意义；2结合具体函数，了解奇偶性的含义；二【命题走向】二【命题走向】从近几年来看，函数性质是高考命题的主线索，不论是何种函数，必须与函数性质相关联，因此在复习中，针对不同的函数类别及综合情况，归纳出一定的复习线索预测 2010 年高考的出题思路是：通过研究函数的定义域、值域，进而研究函数的单调性、奇偶性以及最值预测明年的对本讲的
2、考察是：（1）考察函数性质的选择题 1 个或 1 个填空题，还可能结合导数出研究函数性质的大题；（2）以中等难度、题型新颖的试题综合考察函数的性质，以组合形式、一题多角度考察函数性质预计成为新的热点三【要点精讲】三【要点精讲】1奇偶性（1）定义：如果对于函数 f(x)定义域内的任意 x 都有 f(x)=f(x)，则称 f(x)为奇函数；如果对于函数 f(x)定义域内的任意 x 都有 f(x)=f(x)，则称 f(x)为偶函数。如果函数 f(x)不具有上述性质，则 f(x)不具有奇偶性.如果函数同时具有上述两条性质，则 f(x)既是奇函数，又是偶函数。注意：1函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶
3、性，函数的奇偶性是函数的整体性质；2由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个 x，则x 也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）。（2）利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：1首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称；2确定 f(x)与 f(x)的关系；3作出相应结论：若 f(x)=f(x)或 f(x)f(x)=0，则 f(x)是偶函数；若 f(x)=f(x)或 f(x)f(x)=0，则 f(x)是奇函数（3）简单性质：图象的对称性质：一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于原点对称；一个函数是偶函数的充要条件是它的图象关于 y 轴对称
4、；设()f x，()g x的定义域分别是12,D D，那么在它们的公共定义域上：奇+奇=奇，奇奇=偶，偶+偶=偶，偶偶=偶，奇偶=奇2单调性（1）定义：一般地，设函数 y=f(x)的定义域为 I，如果对于定义域 I 内的某个区间 D内的任意两个自变量 x1，x2，当 x1x2时，都有 f(x1)f(x2)），那么就说 f(x)在区间 D 上是增函数（减函数）；注意：1函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质；http:/ 永久免费组卷搜题网http:/ 永久免费组卷搜题网2必须是对于区间 D 内的任意两个自变量 x1，x2；当 x1x2时，总有 f(x1)f(x2)（2）如
5、果函数 y=f(x)在某个区间上是增函数或是减函数，那么就说函数 y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，区间 D 叫做 y=f(x)的单调区间。（3）设复合函数 y=fg(x)，其中 u=g(x),A 是 y=fg(x)定义域的某个区间，B 是映射 g:xu=g(x)的象集：若 u=g(x)在 A 上是增（或减）函数，y=f(u)在 B 上也是增（或减）函数，则函数 y=fg(x)在 A 上是增函数；若 u=g(x)在 A 上是增（或减）函数，而 y=f(u)在 B 上是减（或增）函数，则函数 y=fg(x)在 A 上是减函数。（4）判断函数单调性的方法步骤利用定义证明函数 f(x)在给
6、定的区间 D 上的单调性的一般步骤：1任取 x1，x2D，且 x10 与 a 0 时，),0()0,(|aaaaxaxa函数的定义域为xxaxfax22)(,0|，当 a 0 时，f(x)为奇函数；,2,2,2)(,0|2122axaxaxxaxfax称的两点取定义域内关于原点对)(,0,03353)2()2(xfaafaf时当 既不是奇函数，也不是偶函数.点评：判断函数的奇偶性是比较基本的问题，难度不大，解决问题时应先考察函数的定义域，若函数的解析式能化简，一般应考虑先化简，但化简必须是等价变换过程（要保证定义域不变）例 2(2007(2007 年江苏省南京师范大学附属中学年江苏省南京师范大
7、学附属中学)已知函数2()|(,0)f xxaxbxR b，给出以下三个条件:(1)存在0Rx，使得00()()fxf x；(2)(3)(0)ff成立；(3)()f x在区间,)a上是增函数.若()f x同时满足条件和（填入两个条件的编号），则()f x的一个可能的解析式为()f x.答案满足条件(1)(2)时,231yxx等；满足条件(1)(3)时,221yxx等；满足条件(2)(3)时,239yxx等题型二：奇偶性的应用例 3山东省潍坊市 2008 年高三教学质量检测已知函数baxcxxf2)(为奇函数，)3()1(ff，且不等式23)(0 xf的解集是 1,24,2http:/ 永久免费
8、组卷搜题网http:/ 永久免费组卷搜题网（1）求 a,b,c。（2）是否存在实数 m 使不等式23)sin2(2mf对一切R成立？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由。解：（1）为奇函数，baxcxxf2)(1 分的解集中包含 2 和2,即得,220)2(2acf所以4c2 分,35)3(,3)1()3()1(afafff，.0353aaa所以，3 分下证：当 a0 时，在(0,+)上axxxf4)(2是增函数在(0,+)内任取 x1，x2，且 x10，且 f(5)=1，设 F(x)=f(x)+)(1xf，讨论 F(x)的单调性，并证明你的结论。解：这是抽角函数的单调性问题，应该
9、用单调性定义解决在 R 上任取 x1、x2，设 x1x2，f(x2)=f(x1)，,)()(11)()()(1)()(1)()()(2112112212xfxfxfxfxfxfxfxfxFxFf(x)是 R 上的增函数，且 f(10)=1，当 x10 时 0 f(x)10 时 f(x)1;1若 x1x25，则 0f(x1)f(x2)1,20 f(x1)f(x2)1,)()(1121xfxf0,F(x2)x15，则 f(x2)f(x1)1,f(x1)f(x2)1,)()(1121xfxf0,F(x2)F(x1)；综上，F(x)在（，5）为减函数，在（5，+）为增函数http:/ 永久免费组卷搜题
10、网http:/ 永久免费组卷搜题网点评：该题属于判断抽象函数的单调性。抽象函数问题是函数学习中一类比较特殊的问题，其基本能力是变量代换、换元等，应熟练掌握它们的这些特点题型四：函数的单调区间例7(2009山东卷文)已知定义在R上的奇函数)(xf，满足(4)()f xf x,且在区间0,2上是增函数,则().A.(25)(11)(80)fffB.(80)(11)(25)fffC.(11)(80)(25)fffD.(25)(80)(11)fff答案D解析因为)(xf满足(4)()f xf x,所以(8)()f xf x,所以函数是以 8 为周期的周期函数,则)1()25(ff,)0()80(ff,
11、)3()11(ff,又因为)(xf在 R 上是奇函数，(0)0f,得0)0()80(ff,)1()1()25(fff,而由(4)()f xf x 得)1()41()3()3()11(fffff,又因为)(xf在区间0,2上是增函数,所以0)0()1(ff,所以0)1(f,即(25)(80)(11)fff,故选 D.【命题立意】:本题综合考查了函数的奇偶性、单调性、周期性等性质,运用化归的数学思想和数形结合的思想解答问题.例 8（1）求函数20.7log(32)yxx的单调区间；（2）已知2()82,f xxx若2()(2)g xfx试确定()g x的单调区间和单调性。解：（1）函数的定义域为)
12、,2()1,(，分解基本函数为ty7.0log、232xxt显然ty7.0log在),0(上是单调递减的，而232xxt在),2(),1,(上分别是单调递减和单调递增的。根据复合函数的单调性的规则：所以函数20.7log(32)yxx在),2(),1,(上分别单调递增、单调递减。（2）解法一：函数的定义域为 R，分解基本函数为82)(2xttfg和22tt。显然82)(2xttfg在),1(上是单调递减的，)1,(上单调递增；http:/ 永久免费组卷搜题网http:/ 永久免费组卷搜题网而22xt在),0(),0,(上 分 别 是 单 调 递 增 和 单 调 递 减 的。且1122xx，根据
13、复合函数的单调性的规则：所以函数的单调增区间为(,1),(0,1)；单调减区间为(1,),(1,0)。解法二：222()82(2)(2)g xxx4228xx，3()44g xxx，令()0g x，得1x 或01x，令()0g x，1x 或10 x 单调增区间为(,1),(0,1)；单调减区间为(1,),(1,0)。点评：该题考察了复合函数的单调性。要记住“同向增、异向减”的规则。题型五：单调性的应用例 9已知偶函数 f(x)在(0，+)上为增函数，且 f(2)=0，解不等式 flog2(x2+5x+4)0。解：f(2)=0,原不等式可化为 flog2(x2+5x+4)f(2)。又f(x)为偶
14、函数，且 f(x)在(0，+)上为增函数，f(x)在(,0)上为减函数且 f(2)=f(2)=0。不等式可化为log2(x2+5x+4)2或log2(x2+5x+4)2由得 x2+5x+44，x5 或 x0由得 0 x2+5x+441得2105x4 或1x2105由得原不等式的解集为x|x5 或2105x4 或1x2105或 x0。例 10已知奇函数 f(x)的定义域为 R，且 f(x)在0，+上是增函数，是否存在实数m，使 f(cos23)+f(4m2mcos)f(0)对所有0,2都成立？若存在，求出符合条件的所有实数 m 的范围，若不存在，说明理由解：f(x)是 R 上的奇函数，且在0，+
15、上是增函数，f(x)是 R 上的增函数，于是不等式可等价地转化为 f(cos23)f(2mcos4m)，即 cos232mcos4m,即 cos2mcos+2m20。设 t=cos,则问题等价地转化为函数http:/ 永久免费组卷搜题网http:/ 永久免费组卷搜题网g(t)=t2mt+2m2=(t2m)242m+2m2 在0，1上的值恒为正，又转化为函数g(t)在0，1上的最小值为正当2m0,即 m0m1 与 m0422m4+22，4221,即 m2 时，g(1)=m10m1。m2综上，符合题目要求的 m 的值存在，其取值范围是 m422。另法(仅限当 m 能够解出的情况)：cos2mcos
16、+2m20 对于 0,2 恒成立，等价于 m(2cos2)/(2cos)对于0,2恒成立当0,2时，(2cos2)/(2cos)422，m422。点评：上面两例子借助于函数的单调性处理了恒成立问题和不等式的求解问题题型六：最值问题例 11（2009 江苏卷）(本小题满分 16 分)设a为实数，函数2()2()|f xxxaxa.(1)若(0)1f，求a的取值范围；(2)求()f x的最小值；(3)设函数()(),(,)h xf x xa，直接写出(不需给出演算步骤)不等式()1h x 的解集.解本小题主要考查函数的概念、性质、图象及解一元二次不等式等基础知识，考查灵活运用数形结合、分类讨论的思
17、想方法进行探索、分析与解决问题的综合能力。满分16 分（1）若(0)1f，则20|111aa aaa （2）当xa时，22()32,f xxaxa22min(),02,0()2(),0,033f a aaaf xaafaa当xa时，22()2,f xxaxa2min2(),02,0()(),02,0fa aaaf xf a aaahttp:/ 永久免费组卷搜题网http:/ 永久免费组卷搜题网综上22min2,0()2,03aaf xaa（3）(,)xa时，()1h x 得223210 xaxa，222412(1)128aaa 当6622aa 或时，0,(,)xa；当6622a时，0,得：22
18、3232()()033aaaaxxxa讨论得：当26(,)22a时，解集为(,)a;当62(,)22a 时，解集为223232(,)33aaaaa;当22,22a 时，解集为232,)3aa.例 12设 m 是实数，记 M=m|m1，f(x)=log3(x24mx+4m2+m+11m)。(1)证明：当 mM 时，f(x)对所有实数都有意义；反之，若 f(x)对所有实数 x 都有意义，则 mM；(2)当 mM 时，求函数 f(x)的最小值；(3)求证：对每个 mM,函数 f(x)的最小值都不小于 1。(1)证明：先将 f(x)变形：f(x)=log3(x2m)2+m+11m,当 mM 时，m1,
19、(xm)2+m+11m0 恒成立，故 f(x)的定义域为 R反之，若 f(x)对所有实数 x 都有意义，则只须 x24mx+4m2+m+11m0。令0，即 16m24(4m2+m+11m)0，解得 m1，故 mM。(2)解析：设 u=x24mx+4m2+m+11m，y=log3u 是增函数，当 u 最小时，f(x)最小。而 u=(x2m)2+m+11m，http:/ 永久免费组卷搜题网http:/ 永久免费组卷搜题网显然，当 x=m 时，u 取最小值为 m+11m，此时 f(2m)=log3(m+11m)为最小值。(3)证明：当 mM 时，m+11m=(m1)+11m+13，当且仅当 m=2
20、时等号成立。log3(m+11m)log33=1点评：该题属于函数最值的综合性问题，考生需要结合对数函数以及二次函数的性质来进行处理题型七：周期问题例 13若 y=f(2x)的图像关于直线2ax 和)(2abbx对称，则 f(x)的一个周期为（）A2ba B)(2ab C2ab D)(4ab 解：因为 y=f(2x)关于2ax 对称，所以 f(a+2x)=f(a2x)。所以 f(2a2x)=fa+(a2x)=fa(a2x)=f(2x)。同理，f(b+2x)=f(b2x)，所以 f(2b2x)=f(2x)，所以 f(2b2a+2x)=f2b(2a2x)=f(2a2x)=f(2x)。所以 f(2x
21、)的一个周期为 2b2a，故知 f(x)的一个周期为 4(ba)。选项为 D。点评：考察函数的对称性以及周期性，类比三角函数中的周期变换和对称性的解题规则处理即可。若函数 y=f(x)的图像关于直线 x=a 和 x=b 对称（ab），则这个函数是周期函数，其周期为 2（ba）例 14 已 知 函 数()yf x是 定 义 在R上 的 周 期 函 数，周 期5T，函 数()(11)yf xx 是奇函数 又知()yf x在0,1上是一次函数，在1,4上是二次函数，且在2x 时函数取得最小值5。证明：(1)(4)0ff；求(),1,4yf x x的解析式；求()yf x在4,9上的解析式。解：()f
22、 x是以5为周期的周期函数，http:/ 永久免费组卷搜题网http:/ 永久免费组卷搜题网(4)(45)(1)fff，又()(11)yf xx 是奇函数，(1)(1)(4)fff ，(1)(4)0ff。当1,4x时，由题意可设2()(2)5(0)f xa xa，由(1)(4)0ff得22(1 2)5(42)50aa，2a，2()2(2)5(14)f xxx。()(11)yf xx 是奇函数，(0)0f，又知()yf x在0,1上是一次函数，可设()(01)f xkxx，而2(1)2(1 2)53f，3k ，当01x时，()3f xx，从而当10 x 时，()()3f xfxx ，故11x 时
23、，()3f xx。当46x时，有151x，()(5)3(5)315f xf xxx 。当69x时，154x，22()(5)2(5)252(7)5f xf xxx2315,46()2(7)5,69xxf xxx。点评：该题属于普通函数周期性应用的题目，周期性是函数的图像特征，要将其转化成数字特征五【思维总结】五【思维总结】1判断函数的奇偶性，必须按照函数的奇偶性定义进行，为了便于判断，常应用定义的等价形式：f(x)=f(x)f(x)f(x)=0；2对函数奇偶性定义的理解，不能只停留在 f(-x)=f(x)和 f(-x)=-f(x)这两个等式上，要明确对定义域内任意一个 x，都有 f(-x)=f(
24、x)，f(-x)=-f(x)的实质是：函数的定义域关于原点对称http:/ 永久免费组卷搜题网http:/ 永久免费组卷搜题网这是函数具备奇偶性的必要条件。稍加推广，可得函数 f(x)的图象关于直线 x=a 对称的充要条件是对定义域内的任意 x，都有 f(x+a)=f(a-x)成立函数的奇偶性是其相应图象的特殊的对称性的反映；3若奇函数的定义域包含 0，则 f(0)=0，因此，“f(x)为奇函数”是f(0)=0的非充分非必要条件；4奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于 y 轴对称，因此根据图象的对称性可以判断函数的奇偶性。5若存在常数 T，使得 f(x+T)=f(x)对 f(x)定义域内任意 x 恒成立，则称 T 为函数 f(x)的周期，一般所说的周期是指函数的最小正周期周期函数的定义域一定是无限集。6单调性是函数学习中非常重要的内容，应用十分广泛，由于新教材增加了“导数”的内容，所以解决单调性问题的能力得到了很大的提高，因此解决具体函数的单调性问题，一般求导解决，而解决与抽象函数有关的单调性问题一般需要用单调性定义解决。注意，关于复合函数的单调性的知识一般用于简单问题的分析，严格的解答还是应该运用定义或求导解决