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1、多问一个“为什么”数学教学不应忽视对数学基础和数学哲学问题的探讨_数学教学数学发端于古代人们计数与度量的实际须要。现代的很多数学理论尽管具有特别抽象的形式，但它同时也是现实世界空间形式和数量关系的深刻反映，因此可以广泛地应用于自然科学、社会科学和技术的各个部门，对人类相识自然和改造自然，起着重要的作用。在我国中小学的课程设置中，数学作为一门主课，被给予大量的课时。在高校，不仅理工科的学生要学习高等数学，很多文科专业也开设了高等数学。这是数学重要性的体现。然而，在我们的数学教学中，过于注意按部就班地讲解并描述教科书上现有的数学定义和数学命题，介绍各种计算题和证明题的解题方法，让学生做大量的习题，
2、却忽视了与数学有关的一些根本性问题的说明和探讨，特殊是数学基础和数学哲学问题。前不久，中心电视台10套的一档节目中，嘉宾提出这样一个问题：“有理数多还是无理数多？”有三个答案供在场的学生选择：（A）有理数多，（B）无理数多，（C）一样多。结果，绝大多数学生选择了B，嘉宾表示了确定。这一问题看似浅显，但要真正理解它提出的学问背景，并作较深化的阐述，并不那么简单，因为它与某些数学概念、数学理论赖以成立的基本前提有关，涉及了数学基础和数学哲学探讨中的一个重要问题“无限观”，即应当如何看待数学中出现的无限多的对象（如无限多的自然数、有理数、无理数）的问题。在数学的探讨中，有两种“无限观”。当学生们作“
3、无理数多”的解答时，是依据学过的集合论的有关学问来回答的。集合论是一百多年前德国数学家康托尔创立的，这种理论建立在一种“无限观”“实无限”的基础上。所谓“实无限”，即把“无限”作为一个已经完成了的观念实体来看待。在集合论中用N（n：n是自然数表示全体自然数的集合就是如此。然而，集合论之前的几千年的数学发展史中，数学探讨中占主导地位的却是古希腊哲学家亚里士多德所主见的另一种无限观“潜无限”的观念，即把“无限”看作一个不断发展着的、又恒久无法完成的过程来看待。把自然数看成一个不断延长的无穷无尽的序列1，2，3，n，就是如此。假如采纳“潜无限”的观念，“有理数多，还是无理数多？”这一问题就没有什么意
4、义，因为有理数和无理数都为数无穷，而“无限”是一个不断发展着的、又恒久无法完成的过程，不能加以比较。正如伽利略所说：“等于、大于和小于诸性质不能用于无限，而只能用于有限的数量。”还须要说明的是，尽管现在集合论已进入中学和高校的数学教科书，成为全部经典数学的理论基础，但是它并非无懈可击。人们已先后发觉了一系列的“集合论悖论”，这说明集合论隐含着逻辑冲突，运用集合论和采纳“实无限”观念来探讨数学，可能会出问题。这也从一个侧面说明白数学理论只具有相对的真理性。学习数学理论如此，对数学方法同样要多思索。初中学习平面几何，学生就接触了公理方法，这种常用的数学方法源于古希腊数学家欧几里德的几何原本，它具有
5、严格、高度概括的特点。然而，为什么要选择这些公理而不选另一些呢？公理方法有没有什么限度呢？正是对几何原本中公理选择方式的质疑，导致了后来的“非欧几何”的创建；对公理化方法的限度的探讨，则推动了近代的数理逻辑和数学哲学的发展。可见，学会提出问题、思索问题是多么重要，“问题”是科学发展的推动力。笔者学了多年数学，高校本科读的是数学专业，可是，直到投入程其襄教授门下，就读数理逻辑专业的探讨生，才刚刚接触本文前述的那些数学基础问题。记得研一时读的一本英文书中某一节的标题是：“Whatistwo？”（2是什么？），读罢茅塞顿开：原来自然界中有的只是一个个详细的事物，如1把椅子、2张桌子等等，却找不到1、
6、2、之类的数。自然数是人们观念的产物，是思维中的对象。看似简洁、从小就熟识的自然数，要真正理解却并不简洁。数学基础是探讨数学的对象、性质和方法的学科，它以数学本身为探讨对象，考察重要的数学概念、数学理论和数学方法赖以成立的背景和条件，探究数学的真理性，涉及一系列数学探讨中的根本问题，包括数学哲学问题。可以这么说，数学基础是让我们在学习或探讨数学的时候，对最基本的数学概念、数学理论和数学方法再问一个“为什么”。我以为，这将使我们的数学学习或探讨有更高的立足点。笔者近年来担当了1999年版辞海和正在编纂的大辞海（数学卷）“数学基础数理逻辑”分科词条的撰写，深知数学基础和数学哲学的重要性。向公众、特殊是中学生和高校生普及一些与数学基础和数学哲学有关的学问，或许会使他们更喜爱数学，同时在学习数学时也多问一个“为什么”。（作者为华东师范高校哲学系教授，上海逻辑学会副会长） <关闭本页>