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1、八年级数学上册探索勾股定理教案八年级数学上册勾股定理的应用教案 八年级数学上册勾股定理的应用教案 教学目标详细要求： 1.学问与技能目标：会用勾股定理及直角三角形的判定条件解决实际问题。 2.过程与方法目标：经验勾股定理的应用过程，娴熟驾驭其应用方法，明确应用的条件。 3.情感看法与价值观目标：通过自主学习的发展体验获得数学学问的感受；通过有关勾股定理的历史讲解，对学生进行德育教化。 重点：勾股定理的应用 难点：勾股定理的应用 教案设计 一、学问点讲解 学问点1：（已知两边求第三边) 1在直角三角形中,若两直角边的长分别为1cm，2cm，则斜边长为_。 2已知直角三角形的两边长为3、4，则另一
2、条边长是_。 3三角形ABC中,AB=10,AC=17,BC边上的高线AD=8,求BC的长？ 学问点2： 利用方程求线段长 1、如图，马路上A，B两点相距25km，C，D为两村庄，DAAB于A，CBAB于B，已知DA=15km，CB=10km，现在要在马路AB上建一车站E， （1）使得C，D两村到E站的距离相等，E站建在离A站多少km处？ （2）DE与CE的位置关系 （3）使得C，D两村到E站的距离最短，E站建在离A站多少km处？ 利用方程解决翻折问题 2、如图，用一张长方形纸片ABCD进行折纸，已知该纸片宽AB为8cm，长BC为10cm当折叠时，顶点D落在BC边上的点F处（折痕为AE）想一想
3、，此时EC有多长？ 3、在矩形纸片ABCD中，AD=4cm，AB=10cm，按图所示方式折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，求DE的长。 4.如图，将一个边长分别为4、8的矩形形纸片ABCD折叠，使C点与A点重合，则EF的长是多少？ 5、折叠矩形ABCD的一边AD,折痕为AE,且使点D落在BC边上的点F处,已知AB=8cm,BC=10cm，以B点为原点，BC为x轴，BA为y轴建立平面直角坐标系。求点F和点E坐标。 6、边长为8和4的矩形OABC的两边分别在直角坐标系的x轴和y轴上，若沿对角线AC折叠后，点B落在第四象限B1处，设B1C交x轴于点D，求（1）三角形ADC的面积，（2）点B1的坐标
4、，（3）AB1所在的直线解析式. 学问点3:推断一个三角形是否为直角三角形间接给出三边的长度或比例关系 1.（1）.若一个三角形的周长12cm,一边长为3cm,其他两边之差为1cm,则这个三角形是_。 （2）将直角三角形的三边扩大相同的倍数后，得到的三角形是_。 （3）在ABC中，a：b：c=1:1：，那么ABC的准确形态是_。 2.如图，正方形ABCD中，边长为4，F为DC的中点，E为BC上一点，CE=BC，你能说明AFE是直角吗？ 变式：如图，正方形ABCD中，F为DC的中点，E为BC上一点，且CE=BC，你能说明AFE是直角吗？ 3.一位同学向西南走40米后，又走了50米，再走30米回到
5、原地。问这位同学又走了50米后向哪个方向走了? 二、课堂小结 谈一谈你这节课都有哪些收获？ 应用勾股定理解决实际问题 三、课堂练习以上习题。 四、课后作业卷子。 八年级数学上册探究勾股定理学问点北师大版 八年级数学上册探究勾股定理学问点北师大版 1.勾股定理：假如直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2。2.勾股定理逆定理：假如三角形三边长a,b,c满意a2+b2=c2。，那么这个三角形是直角三角形。3.经过证明被确认正确的命题叫做定理。我们把题设、结论正好相反的两个命题叫做互逆命题。假如把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。(例：勾股定理与勾股定理逆定理
6、)4.直角三角形的性质(1)、直角三角形的两个锐角互余。可表示如下：C=90A+B=90(2)、在直角三角形中，30角所对的直角边等于斜边的一半。A=30可表示如下：BC=ABC=90(3)、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半ACB=90可表示为：CD=AB=BD=ADD为AB的中点5、摄影定理在直角三角形中，斜边上的高线是两直角边在斜边上的摄影的比例中项，每条直角边是它们在斜边上的摄影和斜边的比例中项ACB=90CDAB6、常用关系式由三角形面积公式可得：ABCD=ACBC7、直角三角形的判定1、有一个角是直角的三角形是直角三角形。2、假如三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是
7、直角三角形。3、勾股定理的逆定理：假如三角形的三边长a，b，c有关系，那么这个三角形是直角三角形。 八年级数学勾股定理 北师大版八年级数学（上）第一章勾股定理教学分析与建议一、主要内容勾股定理在数学的发展历史上起过重要的作用，在现实世界中也有着广泛的应用。它的发觉、证明和应用都蕴涵着丰富的数学的、文化的内涵。它是几何学中的重要的定理之一。教材为学生设计了自主探究勾股定理内容以及验证它的素材和空间，教学中要使学生经验视察、归纳、猜想和验证的数学发觉过程教材的设计过程中，希望学生能够利用方格纸探究勾股定理内容，并且能利用拼图验证勾股定理，再次就是通过测量获得勾股定理的逆定理教材供应了较为丰富的历史
8、的或现实的例子，以展示勾股定理及其逆定理的应用，体现其文化价值。当然限于学生的已有学问，问题解决中所涉及的数据均为完全平方数，本章更多的关注学生对勾股定理及其逆定理的理解和应用，不追求困难计算。二，评价建议1，关注对探究勾股定理等活动的评价。一方面要关注学生是否主动参加，是否能与同伴进行有效合作沟通；另一方面也要关注学生在活动中能否进行主动的思索，能否探究出解决问题的方法，是否能够进行主动的思索，在活动中学生所表现出的归纳，概括实力，学生是否能够有条理地表达活动过程和所获得的结论等。2，关注考查对勾股定理及其逆定理的理解和应用。留意评价时，不应以困难运算为主，我们应更另关注学生对有关结论的正确
9、运用。三、教学目标l经验探究勾股定理及一个三角形是直角三角形的条件的过程，发展合情推理实力，体会数形结合的思想2驾驭勾股定理，了解利用拼图验证勾股定理的方法，并能运用勾股定理解决一些实际问题。3驾驭推断一个三角形是直角三角形的条件，并能运用它解决一些实际问题。4通过实例了解勾股定理的历史和应用，体会勾股定理的文化价值。 四、教材特点勾股定理是反映自然界基本规律的一条重要结论，它有着悠久的历史，在数学发展中起过重要的作用，在现实世界中也有着广泛的应用。勾股定理的发觉、验证和应用蕴涵着丰富的文化价值。勾股定理从边的角度进一步刻画了直角三角形的特征，通过对勾股定理的学习，学生将在原有的基础上对直角三
10、角形有进一步的相识和理解。为了使学生能更好地相识勾股定理、发展推理实力，教科书设计了在方格纸上通过计算面积的方法探究勾股定理的活动，同时又支配了用拼图的方法验证勾股定理的内容，试图让学生经验视察、归纳、猜想和验证的数学发觉的过程，同时也渗透了代数运算与几何图形之间的关系（如将a2,b2,c2与正方形的面积联系起来，再由比较同一正方形面积的几种不同的代数表示得到勾股定理）。勾股定理的逆定理也有着重要的地位，但在本章中不要求学生从逻辑上对定理与逆定理进行一般的相识，因此，教科书中没有给出勾股定理逆定理的名称，而是称之为直角三角形的判别条件。教科书以历史上古埃及人作直角的方法引人“三角形的三边长假如
11、满意a2+b2=c2是否能得到一个直角三角形”的问题，然后通过让学生按已知数据作出三角形，并测量三角形三个内角的度数来获得一个三角形是直角三角形的有关边的条件。为了让学生更好地体会勾股定理及逆定理在解决实际问题中的作用，教科书供应了较为丰富的历史的或现实的例子来展示它们的应用，体现了它们的文化价值。限于学生已有的学问，有关应用中涉及的数均为完全平方数，本章更多关注的是对勾股定理的理解和实际应用，而不追求计算上的困难。在学生学习了无理数之后，可以再利用勾股定理解决一些涉及无理数运算的实际问题。五、课时支配建议1探究勾股定理2课时2能得到直角三角形吗1课时3蚂蚁怎样走最近1课时六、详细内容分析1、
12、探究勾股定理（第一课时）本节核心内容：勾股定理及它的探究过程在教学中，我们可以通过介绍我国数学家华罗庚的建议向宇宙放射勾股定理的图形与外星人联系，并说明勾股定理是我国古代数学家于2000年前就发觉了的，激发学生对勾股定理的爱好和骄傲感，引入课题其中课本中的，做一做”采纳的是数方格的方法；“议一议”对归纳基础的加强；“想一想”是一个好玩的实际问题；教科书设计了在方格纸上通过计算面积的方法探究勾股定理的活动，老师应激励学生充分经验这一视察、归纳、猜想的过程！激励学生尝试求出方格中三个正方形的面积，比较这三个正方形的面积，由此得到直角三角形三边的关系，通过对几个特别例子的考察归纳出直角三角形三边之间
13、的一般规律，运用自己的语言表达探究过程和所得结论当然教学时，老师也可以依据学生的实际状况，设计其他的探究情景。勾股定理揭示了直角三角形三边之间的数量关系，是直角三角形的一个重要性质如有条件，还可以利用计算机（几何画板软件动态显示）的优越条件，供应足够充分的典型材料形态大小、位置发生改变的各种直角三角形，让学生视察分析，归纳概括，探究出直角三角形三边之间的关系式，并通过与锐角、钝角三角形的对比，强调直角三角形的这个特有性质，启发学生独立分析问题、发觉问题、总结规律的教学方法教学中要留意：a，多实行小组合作探讨的方式b,给学生留下充分的探究实践的时间和空间c,介绍相关的背景材料 2，探究勾股定理（
14、其次课时）本节核心内容：用拼图来验证勾股定理及其一个简洁运用。在勾股定理的探究和验证过程中，数形结合的思想有较多的体现老师在教学中应留意渗透这种思想，激励学生从代数表示联想到有关的几何图形，由几何图形联想到有关的代数表示，这有助于学生相识数学的内在联系。例如，在探究勾股定理的过程中，老师应引导学生由正方形的面积想到a2,b2,c2，而在勾股定理的验证过程中，老师又应引导学生由数“a2+b2=c2想到正方形的面积。”在教学中，“议一议”使学生进一步体会直角三角形三边的关系，要给学生充分的探讨空间。勾股定理的发觉、验证及应用的过程蕴涵了丰富的文化价值，古代许多国家和民族都对勾股定理有不同程度的相识
15、和了解，我国是最早了解勾股定理的国家之一当考虑等腰直角三角形的斜边时，这肯定理又导致了无理数的产生一数学历史上的第一次数学危机。老师应激励每一个学生阅读教科书供应的勾股定理的历史，并可以向学生再展示一些历史资料。老师还可以引导学生自己从书籍、网络上查阅资料，了解更多的有关勾股定理的内容，体会它的文化价值 3，能得到直角三角形吗本节的核心内容是：驾驭直角三角形的判别条件。课本创设了古埃及人利用结绳的方法作出直角，老师还可以创设其他现实情境或激励学生自己找寻有关问题，进一步呈现勾股定理和逆定理在解决问题中的作用，相识现实世界中蕴涵着丰富的数学信息。在教学中，“做一做”是用计算、画图再测量的方法归纳
16、出勾股定理的逆定理。归纳的基础应尽可能的厚实一些，但此处有肯定的作图困难。老师可对其正确性予以说明。还要让学生熟识一些常用的勾股数。3，蚂蚁怎样走最近本节的核心内容是：勾股定理及其判别条件的简洁运用。这一节内容，可以让学生先自主探究，再引导其考虑侧面绽开图来解决问题，培育空间观念。本节课要以老师为主导，以学生为主体，以学问为载体，以培育学生的思维实力，动手实力，探究实力为重点的教学思想。在课堂教学中，尽量为学生供应“做中学”的空间，小组合作，探究沟通得到了真正体现。数学源于生活，并运用于生活是整节课的一条暗线贯穿其中。这节课的目标详细的可以分为：1、初步运用勾股定理及直角三角形的判别条件（即勾
17、股定理的逆定理）解决简洁的实际问题。2、能在实际问题中构造直角三角形，提高建模实力，进一步深化对构造法和代数计算法和理解。3、在解决实际问题的过程中，体验空间图形绽开成平面图形时，对应的点，线的位置关系，从中培育空间观念。4、在解决实际问题的过程中，进一步培育从“形”到“数”和从“数”到“形”的转化，培育学生的转化、推理实力。5、通过探讨勾股定理的历史，了解中华民族文化的发展对数学发展的贡献，激发学生的爱国热忱和学习数学的爱好。总之，我们要培育学生从空间到平面的想象实力，运用数学方法解决实际问题的创新实力及探究意识。 课题学习拼图与勾股定理一，教学建议l本课题具有肯定的挑战性，学生可以采纳小组
18、合作的方式进行探讨。在小组活动中，老师应供应给学生充分实践、探究和沟通的时间，激励他们主动思索解决问题的方法，并与他人进行合作与沟通。老师应深化到各小组中倾听学生们的探讨，了解他们的思索过程并赐予肯定的指导在小组活动的基础上，老师要组织各小组在全班充分沟通自己的成果。2教科书只是供应了该课题探讨的基本线索，老师可以依据学生的特点自己设置若干小课题，以保证全部的人都能参加本课题的探讨但由于课题学习的主要目标是培育学生综合运用所学学问和方法解决挑战性问题的实力，不宜将课题分解成一个一个的小问题，限制学生的思维二，评价建议1由于课题学习更关注解决问题的过程，所以老师在评价时应首先关注学生在小组活动中
19、的表现。对此的评价主要包括两个方面一是学生参加活动的主动程度，包括是否主动思索，探究解决问题的方法；是否乐于与小组其他成员进行合作，情愿与同伴沟通各自的想法；是否有解决问题的自信念，能够不回避遇到的困难等。二是学生在活动中所表现出来的思索水平，包括是否能够通过动手操作和独立思索获得解决问题的思路；能否找到有效解决问题的方法，尝试从不同的角度去思索问题；是否理解他人的思路，并在与同伴沟通中获益；是否有反思自己思索过程的意识等，即要对学生的动手操作实力、推理实力、空间观念、口头表达实力等作出综合的评价2老师要留意视察学生的活动过程，特殊是刚好记录学生独特的解决问题的想法。老师要留意了解学生的差异（
20、思维特征与活动水平），学生只要能主动投人到活动中都要赐予激励，同时促进每一个学生得到不同的发展。 三，教学目标：1，经验综合运用已有学问解决问题的过程，在此过程中，加深对勾股定理、整式运算、面积等的相识。2经验用不同的拼图方法验证勾股定理的过程！体验解决同一问题方法的多样性，进一步体会勾股定理的文化价值。3，通过验证过程中数与形的结合，体会数形结合的思想以及数学学问之间的内在联系。4通过丰富好玩的拼图活动，经验视察、比较、拼图、计算，推理、沟通等过程，发展空间观念和有条理地思索与表达的实力，获得一些探讨问题与合作沟通的方法与阅历。5通过获得胜利的体验和克服困难的经验，增进数学学习的信念。四，教
21、材特点勾股定理是数学中一个特别重要的定理。长期以来，人们对它进行了大量的探讨，找到了很多不同的验证方法。这些方法不仅验证了勾股定理，而且丰富了探讨问题的手段，促进了数学的发展。本课学习给出了中国古代历史上利用拼图的方法对勾股定理进行验证的几种思路，也介绍了国外一些验证勾股定理的方法。在本课题中，设计了丰富的拼图活动！学生经过自己的操作与思索，一方面经验了验证勾股定理的过程，感受了解决同一问题的不同方法，激发了数学学习的爱好，积累了数学活动阅历；另一方面通过对中外多种方法的了解，开阔了视野，感受到了古代人民的聪慧才智。课题学习中给出的验证方法，虽然都与图形的拼摆、分割有关，但又各有特点第一部分的
22、拼图方法与第一章第一节中验证方法有共同之处，都是将数与形联系起来，由所拼图形的面积表达式之间的关系，通过代数恒等变形验证勾股定理。其次部分介绍的是“青朱出人图”，它是我国古代数学家利用拼图来验证勾股定理的一种闻名方法，这种方法是利用拼图来说明以勾、股为边长的正方形（分别称为朱和青），经过割补可以拼成以弦为边长的正方形在这部分的学习中，主要以学生的实践活动为主。第三部分介绍了意大利闻名画家达芬奇对勾股定理的一种探讨结果，他的方法新奇，具有肯定的操作性，可以开阔学生的视野、丰富学生的想像。 五，课时支配建议2课时 六，教学建议本节课的核心内容是：用多种拼图方法来验证勾股定理的过程。第一课时可以完成
23、议一议。在教学中，老师可以首先回顾第一章中进行过的验证勾股定理的过程，指明本课题学习的目的，激发学生的探究欲望。课题提出后，老师可以不立刻进入到下一环节，而是让学生先独立思索和探讨一段时间在学生思维遇到困难而又迫切希望行到帮助的时候，自然引入下一环节。在做议一议的时候，老师应当先让学生视察图1，让学生感知由数到形的过程。然后激励学生用同样的思路摆出不同的图形，并让学生得到充分的实践。最终让胜利者上来演示，强化他的胜利的感觉，激发其他同学渴求胜利的欲望。完成做一做，在做一做中，必需要让学生先回家打算好两副五巧板，在做五巧板的时候本节课的核心内容：利用五巧板来验证勾股定理。其次课时，完成青朱出入图
24、的探讨与想一想。经过上一节课五巧板的拼图，学生已有一点的阅历。老师现在展示“青朱出入图”学生会感觉到亲切。并让学生依据拼图帮助理解“青朱出入图”意思。学生理解后拼出展示过的“青朱出入图”，学生通过拼图，从而抓住拼图的要点，即用已有的两副“五巧板”拼成分别“长”在直角三角形三边上的三个正方形。留意，教学中，要给学生留有充分的时间和空间来拼摆图形，引导要适度，不要限制学生的思维。同时激励学生在拼图的过程中进行沟通合作。整个教学过程中，老师要留意引导学生刚好反思自己的活动过程以及在小组活动中的表现，积累数学活动与合作沟通的阅历。 素材精选：1.如图是一个三级台阶，它的每一级的长宽和高分别为20dm、
25、3dm、2dm，A和B是这个台阶两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到B点最短路程是_. 2.印度数学家什迦逻（1141年-1225年）曾提出过“荷花问题”：“平平湖水清可鉴，面上半尺生红莲；出泥不染亭亭立，忽被强风吹一边，渔人观看忙向前，花离原位二尺远；能算诸君请解题，湖水如何知深浅？”请用学过的数学学问回答这个问题。 3如图，A、B是笔直马路l同侧的两个村庄，且两个村庄到直路的距离分别是300m和500m，两村庄之间的距离为d(已知d2=400000m2)，现要在马路上建一汽车停靠站，使两村到停靠站的距离之和最小。问最小是多少？ 4图，OAB=OBC=
26、OCD=90，AB=BC=CD=1，OA=2，则OD2=_. 5寒冷的冬天，你须要一杯热热的朱古力。可是在调制的过程中，老师遇到了这样一个问题：搅拌棒的长度太短了，不能搅拌究竟部的饮料。已知圆柱形水杯的底面直径为5cm，高为12cm，你能帮老师计算一下搅拌棒至少要多长吗？老师新买的一根长为24cm的搅拌棒，假如设其露在杯子外面的长为hcm，你能求出h的取值范围吗？处理方式：1）分小组活动，动手试验。2）画图，并计算。 6如图是棱长为4cm的立方体木块，一只蚂蚁现在A点，若在B点处有一块糖，它想尽快吃到这块糖，则蚂蚁沿正方体表面爬行的最短路程是cm； 7如图，一块草坪的形态为四边形ABCD，其中B=90，AB=3m，BC=4m，CD=12m，AD=13m，求这块草坪的面积。 第15页 共15页第 15 页 共 15 页第 15 页 共 15 页第 15 页 共 15 页第 15 页 共 15 页第 15 页 共 15 页第 15 页 共 15 页第 15 页 共 15 页第 15 页 共 15 页第 15 页 共 15 页第 15 页 共 15 页