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1、3.2.1大小本答案,(1)3.2 复数代数形式的四则运算 3.2.1 复数代数形式的加、减运算及其几何意义 内 容 标 准 学 科 素 养 1.娴熟驾驭复数代数形式的加、减运算法则； 2.理解复数加减法的几何意义，能够利用数形结合的思想解题. 严格数学定义 娴熟数形结合 提升数学运算授课提示：对应学生用书第 54 页基础相识 学问点一 复数代数形式的加减法 预习教材P 107 108 ，思索并完成以下问题类比多项式的加减法运算，想一想复数如何进行加减运算？ 提示：两个复数相加(减)就是把实部与实部、虚部与虚部分别相加(减)，即(abi)±(cdi)(a±c)(b&
2、plusmn;d)i.学问梳理 (1)运算法则 设 z 1 abi，z 2 cdi 是随意两个复数，那么(abi)(cdi)(ac)(bd)i，(abi)(cdi)(ac)(bd)i. (2)加法运算律 对随意 z 1 ，z 2 ，z 3 ∈C，有 z 1 z 2 z 2 z 1 ，(z 1 z 2 )z 3 z 1 (z 2 z 3 ) 学问点二 复数加减法的几何意义 思索并完成以下问题1复数与复平面内的向量一一对应，你能从向量加法的几何意义动身探讨复数加法的几何意义吗？ 提示：如图，设OZ 1→，OZ 2→分别与复数 abi，cdi 对应， 则OZ 1&rar
3、r;(a，b)，OZ 2→(c，d)， 由平面对量的坐标运算，得OZ 1→OZ 2→(ac，bd)， 所以OZ 1→OZ 2→与复数(ac)(bd)i 对应，复数的加法可以 按 照向量的加法来进行2怎样作出与复数 z 1 z 2 对应的向量？ 提示：z 1 z 2 可以看作 z 1 (z 2 )因为复数的加法可以根据向量的加法来进行所以可以根据平行四边形法则或三角形法则作出与 z 1z 2 对应的向量(如图)图中OZ 1→对应复数 z 1 ，OZ 2→对应复数 z 2 ，则Z 2 Z 1→对应复数 z 1 z 2
4、.学问梳理复数加法的几何意义 复数 z 1 z 2 是以OZ 1→，OZ 2→为邻边的平行四边形的对角线OZ→ 所对应的复数复数减法的几何意义 复数 z 1 z 2 是从向量OZ 2→的终点指向向量OZ 1→的终点的向量Z 2 Z 1→所对应的复数思索：1.怎样理解复数加减法运算？ 提示：(1)一种规定：复数的代数形式的加法法则是一种规定，减法是加法的逆运算 (2)运算律：实数加法的交换律、结合律在复数集中仍成立实数的移项法则在复数中仍旧成立 (3)运算结果：两个复数的和(差)是唯一的复数 (4)适当推广：可以推广到多个复数进行加、减
5、运算 (5)虚数单位 i：在进行复数加减运算时，可将虚数单位 i 看成一个字母，然后去括号，合并同类项即可 2怎样理解复数加减法运算的几何意义？ 提示：(1)复数的加法：依据复数加法的几何意义知，两个复数的和就是两个复数对应向量的和所对应的复数 (2)复数的减法：依据复数减法的几何意义，两个复数的差就是两个复数对应向量的差所对应的复数 自我检测 1已知复数 z 1 34i，z 2 34i，则 z 1 z 2 等于() A8iB6 C68iD68i 解析：z 1 z 2 34i34i(33)(44)i6.选 B. 答案：B 2若复数 z 1 15i，z 2 37i，则复数 zz 1 z 2 在复
6、平面内对应的点在() A第一象限B其次象限C第三象限D第四象限 解析：zz 1 z 2 (15i)(37i)42i，对应点为(4，2)，故选 D. 答案：D 3(56i)(22i)(33i)_. 解析：(56i)(22i)(33i)(523)(623)i11i. 答案：11i授课提示：对应学生用书第 54 页 探究一 复数的加、减运算 例 1 计算：(1)(23i)(5i)； (2)(1 2i)(1 2i)； (3)(abi)(2a3bi)3i(a，b∈R) 解析 (1)(23i)(5i) (25)(31)i32i. (2)(1 2i)(1 2i) (11)( 2 2)i2 2i.
7、(3)(abi)(2a3bi)3i (a2a)(b3b3)ia(4b3)i. 方法技巧 复数加、减运算法则的记忆 (1)复数的实部与实部相加减，虚部与虚部相加减 (2)把 i 看作一个字母，类比多项式加减中的合并同类项 (3)在进行复数减法运算时要留意格式，两复数相减所得结果依旧是一个复数，其对应的实部与虚部分别是两复数的实部与虚部的差，留意中间用号，如 z 1 abi，z 2 cdi，z 1 z 2 (ac)(bd)i，而不是 z 1 z 2 (ac)(bd)i(a，b，c，d∈R) (4)复数中出现字母时，首先要推断其是否为实数，再确定复数的实部与虚部，最终把实部与虚部分别相加
8、提示：留意运算格式及范围，避开出错 跟踪探究 1.(1)已知 z 1 23i，z 2 12i.求 z 1 z 2 ，z 1 z 2 ； (2)计算：13 12 i (2i) 43 32i . 解析：(1)z 1 z 2 23i(12i)15i. z 1 z 2 23i(12i)3i.(2) 13 12 i (2i) 43 32 i 13 243 12 132i1i. 探究二 复数加减法的几何意义 例 2 如图所示，平行四边形 OABC 的顶点 O，A，C 分别对应的复数为0,32i，24i. 求：(1)AO→表示的复数 (2)CA→ 表示的复数 解析 (1)因为AO&rar
9、r;OA→，所以AO→表示的复数为32i. (2)因为 C(2,4)，A(3,2)， 所以CA→ (5，2)，所以CA → 表示的复数为 52i. 延长探究 (1)若本例条件不变，试求点 B 所对应的复数 解析：因为OB→OA→OC→，所以OB→表示的复数为(32i)(24i)16i.所以点 B 所对应的复数为 16i. (2)若本例条件不变，求对角线 AC，BO 的交点 M 对应的复数 解析：由题意知，点 M 为 OB 的中点，则OM→ 12 OB→，因为OB→OA→OC&
10、rarr;，所以OB→表示的复数为(32i)(24i)16i，所以点 B 所对应的复数为 16i，点 B 的坐标为(1,6)，所以点 M 的坐标为 12 ，3 ，所以点 M 对应的复数为12 3i. 方法技巧 利用复数加减运算的几何意义解题的技巧及常见结论 (1)技巧 形转化为数：利用几何意义可以把几何图形变换转化成复数运算去处理； 数转化为形：对于一些复数运算也可以赐予几何说明，使复数作为工具运用于几何之中 (2)常见结论：在复平面内，z 1 ，z 2 对应的点分别为 A，B，z 1 z 2 对应的点为 C，O 为坐标原点，则四边形 OACB：为平行四边形； 若|z 1 z 2 |
11、z 1 z 2 |，则四边形 OACB 为矩形； 若|z 1 |z 2 |，则四边形 OACB 为菱形； 若|z 1 |z 2 |且|z 1 z 2 |z 1 z 2 |，则四边形 OACB 为正方形 跟踪探究 2.在复平面内 A，B，C 三点对应的复数分别为 1,2i，12i. (1)求AB→ ，BC → ，AC → 对应的复数； (2)推断ABC 的形态；(3)求ABC 的面积 解析：(1)AB→ 对应的复数为(2i)11i. BC→ 对应的复数为(12i)(2i)3i. AC→ 对应的复数为(12i)122i. (2)由(1)可
12、得，|AB→ | 2，|BC → | 10，|AC → |2 2， 所以|AB→ | 2 |AC → | 2 |BC → | 2 ， 所以ABC 为直角三角形 (3)由(2)可知，三角形 ABC 为直角三角形，∠A 为直角， 所以 S 12 |AB→ |AC → | 12 × 2×2 22.探究三 复数模的最值问题 例 3 复数 z 1 34i，z 2 0，z 3 c(2c6)i 在复平面内对应的点分别为 A，B，C，若∠BAC 是钝角，求实数 c 的取值范围 解析 在复平面
13、内三点坐标为 A(3,4)，B(0,0)，C(c,2c6)，由∠BAC 为钝角，得 cos ∠BAC0，且 A，B，C 不共线.AB→ (3，4)，AC → (c3,2c10)，AB → AC → 0，且不共线，得 c 的取值范围是 c c 4911 ，且c≠9. 延长探究 (1)在本例中，若∠BAC 为锐角，求实数 c 的取值范围 解析：要使∠BAC 为锐角，由余弦定理得 |AB| 2 |AC| 2 |BC| 2 0，且 A，B，C 不共线， 25(c3) 2 (2c64) 2 c 2 (2c6) 2 0， 解得
14、c 4911 ，故 c4911 .故 c 的取值范围为 ∞， 4911. (2)在本例中，求|z 1 z 3 |的最小值 解析：z 1 z 3 c3(2c2)i， |z 1 z 3 | 2 (c3) 2 (2c2) 2 5c 2 2c13 5 c 152 645， 当 c 15 时，|z 1 z 3 |2 取得最小值 645， 即|z 1 z 3 |的最小值为 8 55. 方法技巧 (1)|zz 0 |表示复数 z，z 0 的对应点之间的距离，在应用时，要把肯定值号内变为两复数差的形式(2)|zz 0 |r 表示以 z 0 对应的点为圆心，r 为半径的圆 (3)涉及复数模的最值问题
15、以及点的轨迹问题，均可从两点间距离公式的复数表达形式入手进行分析推断，然后通过几何方法进行求解 跟踪探究 3.已知 z 1 22i，且|z|1，求|zz 1 |的最大值 解析：如图，因为|z|1， 所以 z 的轨迹可看成是半径为 1，圆心为(0,0)的圆 而 z 1 对应复平面内的点为 Z 1 (2，2)， 所以|zz 1 |的最大值可以看成点(2，2)到圆上的点的最大距离， 则 |zz 1 | max 2 21.授课提示：对应学生用书第 56 页课后小结(1)复数代数形式的加减法满意交换律、结合律，复数的减法是加法的逆运算 (2)复数加法的几何意义就是向量加法的平行四边形法则，复数减法的几何
16、意义就是向量减法的三角形法则素养培优误会复数代数形式的几何意义致错 易错案例：已知复平面上的四个点 A，B，C，D 构成平行四边形，顶点 A，B，C 对应的复数分别为52i，45i,2，则点 D 对应的复数为_ 易错分析：本题中误认为只有平行四边形 ABCD 一种状况而造成漏解，应对不同的状况结合几何图形进行直观地分析、分类探讨求解考查数形结合、分类探讨等核心素养 自我订正：(1)若 ABCD 是平行四边形，则BA→ CD →，所以OA→OB→OD→OC→，即OD→OC→OA→OB→， 所以OD
17、→2(52i)(45i)17i， 所以点 D 对应的复数为 17i. (2)若 ABDC 是平行四边形，则AB→ CD →， 所以OD→OC→OA→OB→ 2(52i)(45i)37i， 所以点 D 对应的复数为 37i.(3)若 ACBD 是平行四边形，则AC→ DB →， OD→OA→OB→OC→ (52i)(45i)2113i， 所以点 D 对应的复数为113i. 综上所述，点 D 对应的复数为 17i 或 37i 或113i. 答案：17i 或 37i 或1
18、13i单独成册：对应学生用书第 105 页A 组 学业达标 1已知复数 z 1 32i，z 2 13i，则复数 zz 1 z 2 在复平面内对应的点 Z 位于复平面内的() A第一象限B其次象限 C第三象限D第四象限 解析：因为 z 1 32i，z 2 13i， 所以 zz 1 z 2 32i(13i)(31)(23)i25i.所以点 Z 位于复平面内的第一象限 答案：A 2已知 x，y∈R，i 为虚数单位，若 1xi(2y)3i，则|xyi|() A. 10B3 C. 5 D. 2 解析：1xi(2y)3i⇒ 2y1，x3⇒ x3，y1，则|xyi| 10. 答
19、案：A 3假如一个复数与它的模的和为 5 3i，那么这个复数是() A. 115B 3i C. 115 3i D. 1152 3i 解析：设这个复数为 abi(a，b∈R)，则|abi| a 2 b 2 . 由题意知 abi a 2 b 2 5 3i， 即 a a 2 b 2 bi5 3i 所以 a a 2 b 2 5，b 3，解得 a 115，b 3.所以所求复数为 115 3i. 答案：C 4在平行四边形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，若向量OA→，OB→对应的复数分别是 3i，13i，则CD→对应的复数是() A24iB24i
20、 C42iD42i 解析：在平行四边形 ABCD 中，CD→BA→ OA →OB→，故CD→对应的复数是 3i(13i)42i，故选 D. 答案：D 5A，B 分别是复数 z 1 ，z 2 在复平面内对应的点，O 是坐标原点，若|z 1 z 2 |z 1 z 2 |，则AOB 肯定是() A等腰三角形B直角三角形 C等边三角形D等腰直角三角形 解析：复数 z 1 对应向量OA→，复数 z 2 对应向量OB→， 则|z 1 z 2 |OA→OB→|，|z 1 z 2 |OA→OB→|，依
21、题意有|OA→OB→|OA→OB→|. 所以以OA→，OB→为邻边所作的平行四边形是矩形，所以AOB 是直角三角形故选 B. 答案：B 6设复数 z 满意 z|z|2i，则 z_. 解析：设 zxyi(x，y∈R)，则|z| x 2 y 2 . 所以 xyi x 2 y 2 2i. 所以 x x 2 y 2 2，y1， 解得 x 34 ，y1.所以 z 34 i. 答案：34 i 7已知复数 z 1 2ai，z 2 ai(a∈R)，且复数 z 1 z 2 在复平面内对应的点位于其次象限，则 a 的取值范围是_ 解析
22、：复数 z 1 z 2 2aiai(2a)(a1)i 在复平面内对应的点位于其次象限，∴ 2a0，a10，解得 a2.答案：(2，∞) 8若复数 z 1 13i，z 2 2ai，且 z 1 z 2 b8i，z 2 z 1 3ci，则实数 a_，b_，c_. 解析：z 1 z 2 (12)(3a)i1(3a)ib8i，z 2 z 1 (21)(a3)i3(a3)i3ci，所以 b1，3a8，a3c，解得 b1，a5，c2. 答案：5 1 2 9已知 z 1 32a(a1)i，z 2 3 3b(b2)i，(a，b∈R)，且 z 1 z 2 4 3，求复数zabi
23、. 解析：z 1 z 2 32a(a1)i 3 3b(b2)i 32a3 3b (ab1)i4 3， 所以 32a3 3b4 3，ab10. 解得 a2，b1，所以 z2i. B 组 实力提升 10复数 z(a 2 2a)(a 2 a2)i(a∈R)在复平面内对应的点位于虚轴上，则 z1i等于() A13i 或1iB1i C13iD1i 或13i 解析：因为复数 z 在复平面内对应的点位于虚轴上，所以复数 z 的实部为 0，所以 a 2 2a0，解得 a0 或 a2.当 a0 时，z2i，z1i2i1i13i；当 a2 时，z0，z1i01i1i.综上，z1i13i 或 z1i1i.
24、故选 A. 答案：A 11假如复数 z 满意|z2i|z2i|4，那么|zi1|的最小值是() A1B 2 C2 D. 5 解析：设复数2i,2i，(1i)在复平面内对应的点分别为 Z 1 ，Z 2 ，Z 3 ，因为|z2i|z2i|4，|Z 1 Z 2 |4，所以复数 z 的集合为线段 Z 1 Z 2 ，如图所示，问题转化为：动点 Z 在线段 Z 1 Z 2 上移动，求|ZZ 3 |的最小值因此作 Z 3 Z 0⊥Z 1 Z 2 ，则 Z 3 与 Z 0 的距离即为所求的最小值，|ZZ 3 |取得最小值|Z 0 Z 3 |1，故选 A. 答案：A 12已知在复平面内的正方形 ABC
25、D 有三个顶点对应的复数分别是 12i，2i，12i，则第四个顶点对应的复数是_ 解析：设复平面内正方形 ABCD 的三个顶点 A，B，C 对应的复数分别为 12i，2i，12i，则OA→(1,2)，OB→(2,1)，OC→(1，2)，设OD→(a，b) AB→ OB →OA→(3，1)，BC→ OC →OB→(1，3)，且 1×(3)(1)×(3)0， ∴AB→ ⊥BC → ， ∴AB→ DC &rar
26、r;，即向量AB→ 与DC →对应的复数相等， ∴3i1a(2b)i， ∴ 2b1，1a3，解得 a2，b1.∴OD→(2，1) 故第四个顶点对应的复数是 2i. 答案：2i 13若|z1|z1|，则|z1|的最小值是_ 解析：法一：设 zabi，(a，b∈R)， 则|(a1)bi|(a1)bi|， 所以 (a1) 2 b 2 (a1) 2 b 2 ，即 a0， 所以 zbi，b∈R，所以|z1| min |bi1| min ( (1) 2 b 2 ) min ， 故当 b0 时，|z1|的最小值为 1
27、. 法二：因为|z1|z1|， 所以 z 的轨迹为以(1,0)，(1,0)为端点的线段的垂直平分线，即 y 轴，|z1|表示 y 轴上的点到(1,0)的距离，所以最小值为 1. 答案：1 14已知|z|2，求|z1 3i|的最大值和最小值 解析：设 zxyi(x，y∈R)，则由|z|2 知 x 2 y 2 4，故 z 对应的点在以原点为圆心，2 为半径的圆上，又|z1 3i|表示点(x，y)到点(1， 3)的距离，点(1， 3)在圆x 2 y 2 4 上，所以圆上的点到点(1， 3)的距离的最小值为 0，最大值为圆的直径 4，即|z1 3i|的最大值和最小值分别为 4 和 0. 15已知在复平面内的平行四边形 ABCD .