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1、高中数学必修四2.2.1向量加法运算及其几何意义导学案中学数学必修四2.2.3向量数乘运算及其几何意义导学案 2.2.3向量数乘运算及其几何意义编审：周彦魏国庆【学习目标】1驾驭向量数乘的运算，并理解其几何意义；2理解两个向量共线的含义，并能证明简洁的平行及共线问题；3.了解向量的线性运算性质及其几何意义；【新知自学】学问回顾：已知非零向量，求作和 新知梳理：1实数与向量的积的定义：一般地，实数与向量的积是一个向量，记作，它的长度与方向规定如下：（1）；（2）当时，的方向与的方向；当时，的方向与的方向；当时，2实数与向量的积的运算律：（1）（结合律）；（2）（第一安排律）；（3）（其次安排律）
2、对点练习1、下面给出四个命题：对于实数和向量,恒有()=；对于实数,和向量，恒有()=mn；若=(R),则有=；若=(,R,0),则有=.其中正确命题的个数是()A.1B.2C.3D.42、将化简成最简形式为()A.B.C.D.3向量共线定理：定理：假如有一个实数，使（），那么向量与是共线向量；反之，假如向量与（）是共线向量，那么有且只有一个实数，使得对点练习3、与非零向量同向的单位向量是；与非零向量反向的单位向量是；与非零向量共线的单位向量是.【合作探究】典型精析例1计算：（1） 变式练习：1化简： 例2已知向量和向量，求作向量和 例3推断并证明：向量，是否共线？ 变式练习：2 例4已知两个
3、非零向量和不共线，.求证：三点共线. 变式练习：3设两个非零向量与不共线，若，.求证：、三点共线. 【课堂小结】 【当堂达标】1.若32()=0，则=()A.2aB.-2aC.25aD.-25a 2.设,是两个不共线的向量，下列状况下，向量，共线的有（），；，；，A.B.C.D.3.已知向量,且AB=+2,BC=5+6,CD=72,则肯定共线的三点是()A.A、B、DB.A、B、CC.B、C、DD.A、C、D 4.已知向量与反向，且，则的值等于().A.B.C.D. 【课时作业】1.设，下面叙述不正确的是（）A.B.C.D.与的方向相同（）2.已知向量与不共线，且，则点三点共线应满意（）A.B
4、.C.D. *3.已知O是ABC所在平面内一点，D为BC边的中点，且2OA+OB+OC=0，那么()A.AO=ODB.AO=2ODC.AO=3ODD.2AO=OD 4.在ABC中，,三边BC,CA,AB的中点依次是D,E,F，则AD+BE+CF=. 5.若a=m+2n,b=3m4n，且m,n共线，则a与b的关系是. 6.若,为平面上随意一点，则=(用OA,OB表示). 7.已知x，y是实数，向量,不共线，若，则_，_. *8.设,是两个不共线的向量，已知,.若三点A,B,D共线，求的值. *9.在四边形ABCD中，且，不共线，试推断四边形ABCD的形态.【延长探究】在ABC中，D为BC的一个三
5、等分点，求证:AD=23AB+13AC 向量的加法运算及其几何意义 向量的加法运算及其几何意义教学目标：1、驾驭向量的加法运算，并理解其几何意义；2、会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量，培育数形结合解决问题的实力；3、通过将向量运算与熟识的数的运算进行类比，使学生驾驭向量加法运算的交换律和结合律，并会用它们进行向量计算，渗透类比的数学方法；教学重点：会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量.教学难点：理解向量加法的定义.学法：数能进行运算，向量是否也能进行运算呢？数的加法启发我们，从运算的角度看，位移的合成、力的合成可看作向量的加法.借助于物理中位移的
6、合成、力的合成来理解向量的加法，让学生顺理成章接受向量的加法定义.结合图形驾驭向量加法的三角形法则和平行四边形法则.联系数的运算律理解和驾驭向量加法运算的交换律和结合律.教具：多媒体或实物投影仪，尺规授课类型：新授课教学思路：一、设置情景：1、复习：向量的定义以及有关概念强调：向量是既有大小又有方向的量.长度相等、方向相同的向量相等.因此，我们探讨的向量是与起点无关的自由向量，即任何向量可以在不变更它的方向和大小的前提下，移到任何位置2、情景设置：（1）某人从A到B，再从B按原方向到C，则两次的位移和：（2）若上题改为从A到B，再从B按反方向到C，则两次的位移和：（3）某车从A到B，再从B变更
7、方向到C，则两次的位移和：（4）船速为，水速为，则两速度和：二、探究探讨：、向量的加法：求两个向量和的运算，叫做向量的加法.、三角形法则（“首尾相接，首尾连”）如图，已知向量a、.在平面内任取一点，作a，则向量叫做a与的和，记作a，即a，规定：a+0-=0+a 探究：（1）两相向量的和仍是一个向量；（2）当向量与不共线时，+的方向不同向，且|+|+|；（3）当与同向时，则+、同向，且|+|=|+|，当与反向时，若|，则+的方向与相同，且|+|=|-|；若|，则+的方向与相同，且|+b|=|-|.（4）“向量平移”（自由向量）：使前一个向量的终点为后一个向量的起点，可以推广到n个向量连加例一、已
8、知向量、，求作向量+作法：在平面内取一点，作，则. 加法的交换律和平行四边形法则问题：上题中+的结果与+是否相同？验证结果相同从而得到：）向量加法的平行四边形法则（对于两个向量共线不适应）向量加法的交换律：+=+向量加法的结合律：(+)+=+(+)证：如图：使，则(+)+=，+(+)=(+)+=+(+)从而，多个向量的加法运算可以根据随意的次序、随意的组合来进行.三、应用举例：例二（P9495）略练习：P95四、小结1、向量加法的几何意义；、交换律和结合律；、留意：|+|+|，当且仅当方向相同时取等号.五、课后作业：P103第、题六、板书设计（略）七、备用习题1、一艘船从A点动身以的速度向垂直
9、于对岸的方向行驶，船的实际航行的速度的大小为，求水流的速度.2、一艘船距对岸，以的速度向垂直于对岸的方向行驶，到达对岸时，船的实际航程为8km，求河水的流速.3、一艘船从A点动身以的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速为，船的实际航行的速度的大小为，方向与水流间的夹角是，求和.4、一艘船以5km/h的速度在行驶，同时河水的流速为2km/h，则船的实际航行速度大小最大是km/h，最小是km/h、已知两个力F1，F2的夹角是直角，且已知它们的合力F与F1的夹角是60，|F|=10N求F1和F2的大小.、用向量加法证明：两条对角线相互平分的四边形是平行四边形 高二数学向量加法运算及其几何意义1
10、 2.2.1向量的加法运算及其几何意义教学目标：1、驾驭向量的加法运算，并理解其几何意义；2、会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量，培育数形结合解决问题的实力；3、通过将向量运算与熟识的数的运算进行类比，使学生驾驭向量加法运算的交换律和结合律，并会用它们进行向量计算，渗透类比的数学方法；教学重点：会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量.教学难点：理解向量加法的定义.教学思路：一、设置情景：1、复习：向量的定义以及有关概念强调：向量是既有大小又有方向的量.长度相等、方向相同的向量相等.因此，我们探讨的向量是与起点无关的自由向量，即任何向量可以在不变更它的
11、方向和大小的前提下，移到任何位置2、情景设置：（1）某人从A到B，再从B按原方向到C，则两次的位移和：（2）若上题改为从A到B，再从B按反方向到C，则两次的位移和：（3）某车从A到B，再从B变更方向到C，则两次的位移和：（4）船速为，水速为，则两速度和： 二、探究探讨：、向量的加法：求两个向量和的运算，叫做向量的加法.、三角形法则（“首尾相接，首尾连”）如图，已知向量a、.在平面内任取一点，作a，则向量叫做a与的和，记作a，即a，规定：a+0-=0+a探究：（1）两向量的和与两个数的和有什么关系？两向量的和仍是一个向量；（2）当向量与不共线时，|+|+|；什么时候|+|=|+|，什么时候|+|
12、=|，当向量与不共线时，+的方向不同向，且|+|+|；当与同向时，则+、同向，且|+|=|+|，当与反向时，若|，则+的方向与相同，且|+|=|-|；若|，则+的方向与相同，且|+b|=|-|.（3）“向量平移”（自由向量）：使前一个向量的终点为后一个向量的起点，可以推广到n个向量连加例一、已知向量、，求作向量+作法：在平面内取一点，作，则.加法的交换律和平行四边形法则问题：上题中+的结果与+是否相同？验证结果相同从而得到：）向量加法的平行四边形法则（对于两个向量共线不适应）向量加法的交换律：+=+你能证明：向量加法的结合律：(+)+=+(+)吗？6由以上证明你能得到什么结论？多个向量的加法运
13、算可以根据随意的次序、随意的组合来进行.三、应用举例：例二（P8384）略变式1、一艘船从A点动身以的速度向垂直于对岸的方向行驶，船的实际航行速度的大小为，求水流的速度.变式2、一艘船从A点动身以的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速为，船的实际航行的速度的大小为，方向与水流间的夹角是，求和.练习：P84面1、2、3、4题四、小结1、向量加法的几何意义；、交换律和结合律；、|+|+|，当且仅当方向相同时取等号.五、课后作业：习案作业十八。六、备用习题思索：你能用向量加法证明：两条对角线相互平分的四边形是平行四边形吗？ 向量的减法运算及其几何意义 向量的减法运算及其几何意义教学目标：1.了
14、解相反向量的概念；2.驾驭向量的减法，会作两个向量的减向量，并理解其几何意义；3.通过阐述向量的减法运算可以转化成向量的加法运算，使学生理解事物之间可以相互转化的辩证思想.教学重点：向量减法的概念和向量减法的作图法.教学难点：减法运算时方向的确定.学法：减法运算是加法运算的逆运算，学生在理解相反向量的基础上结合向量的加法运算驾驭向量的减法运算；并利用三角形做出减向量.教具：多媒体或实物投影仪，尺规授课类型：新授课教学思路：一、复习：向量加法的法则：三角形法则与平行四边形法则向量加法的运算定律：例：在四边形中，.解：二、提出课题：向量的减法1用“相反向量”定义向量的减法（1）“相反向量”的定义：
15、与a长度相同、方向相反的向量.记作a（2）规定：零向量的相反向量仍是零向量.(a)=a.任一向量与它的相反向量的和是零向量.a+(a)=0假如a、b互为相反向量，则a=b，b=a，a+b=0（3）向量减法的定义：向量a加上的b相反向量，叫做a与b的差.即：ab=a+(b)求两个向量差的运算叫做向量的减法. 2用加法的逆运算定义向量的减法：向量的减法是向量加法的逆运算：若b+x=a，则x叫做a与b的差，记作ab3求作差向量：已知向量a、b，求作向量(ab)+b=a+(b)+b=a+0=a作法：在平面内取一点O，作=a，=b则=ab即ab可以表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量.留意：1表示
16、ab.强调：差向量“箭头”指向被减数2用“相反向量”定义法作差向量，ab=a+(b)明显，此法作图较繁，但最终作图可统一. 2探究：）假如从向量a的终点指向向量b的终点作向量，那么所得向量是ba. ）若ab，如何作出ab？三、例题：例一、（P例三）已知向量a、b、c、d，求作向量ab、cd.解：在平面上取一点O，作=a，=b，=c，=d，作，则=ab，=cd 例二、平行四边形中，a，b，用a、b表示向量、.解：由平行四边形法则得：=a+b，=ab变式一：当a，b满意什么条件时，a+b与ab垂直？（|a|=|b|）变式二：当a，b满意什么条件时，|a+b|=|ab|？（a，b相互垂直）变式三：a
17、+b与ab可能是相当向量吗？（不行能，对角线方向不同）练习：98四、小结：向量减法的定义、作图法|五、作业：P103第4、题六、板书设计（略）七、备用习题：1.在ABC中，=a，=b，则等于()?A.a+b?B.-a+(-b)?C.a-b?D.b-a?2.O为平行四边形ABCD平面上的点，设=a，=b，=c，=d，则A.a+b+c+d=0B.a-b+c-d=0?C.a+b-c-d=0D.a-b-c+d=0.如图，在四边形ABCD中，依据图示填空：?a+b=，b+c=，c-d=，a+b+c-d=.?、如图所示，O是四边形ABCD内任一点，试依据图中给出的向量，确定a、b、c、d的方向（用箭头表示），使a+b=，c-d=，并画出b-c和a+d. 第10页 共10页第 10 页 共 10 页第 10 页 共 10 页第 10 页 共 10 页第 10 页 共 10 页第 10 页 共 10 页第 10 页 共 10 页第 10 页 共 10 页第 10 页 共 10 页第 10 页 共 10 页第 10 页 共 10 页