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1、高中数学必修四2.3.1平面向量基本定理导学案中学数学必修四2.3.3平面对量的坐标运算导学案 233平面对量的坐标运算 【学习目标】1.理解平面对量的坐标的概念；驾驭平面对量的坐标运算；2.会依据向量的坐标，推断向量是否共线. 【新知自学】学问回顾：1平面对量基本定理：假如，是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数1，2使=_(1)不共线向量，叫做表示这一平面内全部向量的一组；(2)由定理可将任一向量在给出基底，的条件下进行分解；分解形式惟一.1，2是被，唯一确定的实数对；2.向量的夹角:已知两个非零向量、，作，则AOB，叫向量、的夹角，当=，、同向，当=
2、，、反向，当=，与垂直，记作。3向量的坐标表示：在平面直角坐标系中，取=(1,0)，=(0,1)作为一组基底,设=x+y，则向量的坐标就是点的坐标。新知梳理：1平面对量的坐标运算已知：=(),=()，我们考虑如何得出、的坐标。设基底为、，则=即=，同理可得=结论：(1)若=(),=()，则，即：两个向量和与差的坐标分别等于.（2）若=(x,y)和实数，则.实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标。 思索感悟：已知，怎样来求的坐标？若，=则=结论:一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的 对点练习：1.设向量，坐标分别是（-1，2），（3，-5）则+=_，-=_，3=_，2+5=_
3、2.如右图所示，平面对量的坐标是（）A.B.C.D. 3若A(0，1)，B(1，2)，C(3，4)，则2=. 【合作探究】典例精析：例1：已知=(2，1)，=(-3，4)，求+，-，3+4的坐标. 变式1：已知，求：（1）（2）（3） 例2：已知平行四边形ABCD的三个顶点的坐标分别为A(2，1)，B(1，3)，C(3，4)，求点D的坐标。 *变式2：设，,用表示 【课堂小结】 【当堂达标】1、设则=_2、已知M（3，-2）N（-5，-1），且，则=（）A（-8，1）BC（-16,2）D(8,-1)3、若点A的坐标是，向量=，则点B的坐标为（）ABCD4、已知则=（）A（6，-2）B（5，0）
4、C（-5，0）D（0，5） 【课时作业】1如图，已知，点是的三等分点，则（）A.B.C.D. 2若M(3，-2)N(-5，-1)且，则P点的坐标 *3已知，则 *4.在ABC中，点P在BC上，且BP2PC，点Q是AC的中点，若PA(4,3)，PQ(1,5)，则BC_. 5.已知平行四边形三个顶点的坐标分别为(1,0)，(3,0)，(1，5)，则第四个顶点的坐标是()A(1,5)或(5,5)B(1,5)或(3，5)C(5，5)或(3，5)D(1,5)或(5，5)或(3，5) 6.已知(1,2)，(2,3)，(1,2)，以，为基底，试将分解为的形式 7.已知三个力=(3，4)，=(2，5)，=(x
5、，y)的合力+=，求的坐标. 8.已知平行四边形的三个顶点的坐标分别为，求第四个顶点的坐标。 9.已知点，若，（1）试求为何值时，点P在第一、三象限的交平分线上？（2）试求为何值时，点P在第三象限？ 【延长探究】已知点O(0,0)，A(1,2)，B(4,5)，且OPOAtAB，试问：(1)t为何值时，P在x轴上，P在y轴上，P在其次象限？(2)四边形OABP能否成为平行四边形？若能，求出相应的t值；若不能，请说明理由 中学数学必修四2.1平面对量的实际背景及基本概念导学案 2.1平面对量的实际背景及基本概念编审：周彦魏国庆 【学习目标】1.了解平面对量的实际背景，理解平面对量的概念，驾驭向量的
6、几何表示，学会用字母表示向量；2.理解向量的模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量等概念.【新知自学】新知梳理1.向量的概念：我们把既有又有的量叫向量.2、叫做有向线段.以A为起点，B为终点的有向线段记作.有向线段包括三个要素:、.3、向量的表示方法有两种，即或4、向量的大小，也就是向量的（或模），记作.长度为0的向量叫做；长度为1的向量叫做.5、的向量叫做平行向量.向量与向量平行，通常记作.规定零向量与向量平行.6、的向量叫做相等向量，若向量与向量相等，记作7、共线向量与相等向量的关系是思索感悟1、数量与向量有何区分？ 2、有向线段和线段有何区分和联系？分别可以表示向量的什么？
7、3、共线向量用有向线段表示时必需在同始终线上吗？ 对点练习：1.推断正误：（1）不相等的向量肯定不平行.（2）平行向量肯定方向相同.（3）共线向量肯定在同始终线上.2.填空：（1）与零向量相等的向量必定是_向量（2）与随意向量都平行的向量是_向量（3）两个非零向量相等，当且仅当_（4）若两个向量在同始终线上，则这两个向量肯定是_向量 3给出下列物理量：密度；温度；速度；质量；功；位移.正确的是()A.是数量，是向量B.是数量，是向量C.是数量，是向量D.是数量，是向量 4.下列说法错误的是()A.向量与的长度相同B.单位向量的长度都相等C.向量的模是一个非负实数D.非零向量与是平行向量，则直线
8、与直线平行 【合作探究】典例精析：例1如图，设是正六边形的中心，分别写出图中与向量、相等的向量. 变式练习1：例1中，与向量长度相等的向量有多少个？ 变式练习2：例1中，是否存在与向量、长度相等、方向相反的向量？ 例2.如图，D、E、F分别是ABC的边AB、BC、CA的中点，写出以A、B、C、D、E、F这六个点中随意两个点为起点和终点的向量中，与平行的全部向量. 变式练习3：例2中，与向量共线的向量有哪些？ 【课堂小结】 【当堂达标】1.关于零向量，下列说法中错误的是()A.零向量是没有方向的B.零向量的长度是0C.零向量与任一向量平行D.零向量的方向是随意的 2.若向量与随意向量都平行，则=
9、_；若|=1,则向量是. 3.把平面上一切单位向量的起点放在同一点,那么这些向量的终点所构成的图形是. 4.把平行于某始终线的一切向量平移到同一起点，则这些向量的终点构成的图形是_. 5.如图，ABCD的对角线交于点O,则在以A、B、C、D、O这五个点中随意两个点为起点和终点的向量中，与和都不平行的向量有哪些？ 【课时作业】1.给出下列命题：向量的大小是实数平行向量的方向肯定相同向量可以用有向线段表示单位向量都相等正确的有. 2.给出下列命题：若|=0,则=0；若是单位向量，则|=1；与不平行，则与都是非零向量.假如/,/,那么/其中真命题是(填序号) 3.下列各组中的两个量是不是向量？假如是
10、向量，说明它们是不是平行向量.(1)两个平面图形各自的面积. (2)停放在广场上的两辆小汽车各自受到的重力. (3)小船驶向河对岸的速度与水流速度. (4)浮在水面的物体受到的重力与与浮力. 4.如图所示，已知矩形，对角线上向量与的关系是 5.如图所示，四边形ABCD和BCED都是平行四边形,（1）写出与BC相等的向量：_.（2）写出与BC共线的向量：_.*（3）写出与的模相等的向量: *6.如图，四边形ABCD为正方形，BCE为等腰直角三角形.以图中各点为起点和终点，写出与向量的模相等的全部向量.*7.某人从A点动身向西走了200m到达B点，然后变更方向，向西偏北的方向走450m到达C点，最
11、终又变更方向，向东走200m到达D点.（1）做出向量(1cm表示200米)；（2）求的模. 【延长探究】在矩形ABCD中，AB=2BC=2，M、N分别是AB和CD的中点，在以A、B、C、D、M、N为起点和终点的全部向量中，回答下列问题：（1）与向量相等的向量有哪些？向量的相反向量有哪些？（2）与向量相等的向量有哪些？向量的相反向量有哪些？（3）在模为的向量中，相等的向量有几对？（4）在模为1的向量中，相等的向量有几对？ 中学数学必修四2.3.4平面对量共线的坐标表示导学案 2.3.4平面对量共线的坐标表示【学习目标】1理解平面对量共线的坐标表示；2驾驭平面上两点间的中点坐标公式及定点坐标公式；
12、3会依据向量的坐标，推断向量是否共线. 【新知自学】学问回顾：1平面对量基本定理： 2平面对量的坐标表示:=x+y，=() 3平面对量的坐标运算（1）若=(),=()，则，（2）若，则 4什么是共线向量？新知梳理：1、两个向量共线的坐标表示设=(x1，y1)，=(x2，y2)共线，其中.由=得，(x1，y1)=(x2，y2)消去即可所以()的等价条件是思索感悟：（1）上式在消去时能不能两式相除？（2）条件x1y2-x2y1=0能不能写成？(3)向量共线的几种表示形式：()x1y2-x2y1=0 对点练习：1若=(2，3)，=(4，-1+y)，且，则y=（）A.6B.5C.7D.8 2.若A(x
13、，-1)，B(1，3)，C(2，5)三点共线，则x的值为（）?A.-3B.-1C.1D.3 3.若=+2，=(3-x)+(4-y)(其中、的方向分别与x、y轴正方向相同且为单位向量).与共线，则x、y的值可能分别为（）A.1，2B.2，2C.3，2D.2，4 【合作探究】典例精析：例1：已知=(4，2)，=(6，y)，且，求y. 变式1：若向量=(-1，x)与=(-x，2)共线且方向相同，求x 变式2：已知A(-1，-1)，B(1，3)，C(1，5)，D(2，7)，向量与平行吗？直线AB平行于直线CD吗？ 例2：已知A(-1，-1)，B(1，3)，C(2，5)，试推断A，B，C三点之间的位置关
14、系.（你有几种方法） 变式3：已知：四点A(5，1)，B(3，4)，C(1，3)，D(5，-3)，如何求证：四边形ABCD是梯形.？ 规律总结：要留意向量的平行与线段的平行之间的区分和联系 例3：设点P是线段P1P2上的一点，P1、P2的坐标分别是(x1，y1)，(x2，y2).(1)当点P是线段P1P2的中点时，求点P的坐标；(2)当点P是线段P1P2的一个三等分点时，求点P的坐标. 思索探究：本例在（1）中P1P：PP2=；在（2）中P1P：PP2=；若P1P：PP2=，如何求点P的坐标？ 【课堂小结】1、学问2.方法3.思想【当堂达标】1.若=(-1，x)与=(x，2)共线且方向相同，则
15、x= 2.已知=(1，2)，=(x，1)，若与平行，则x的值为 3.设=(4，3)，=(x，5)，=(1，y)，若+=，则（x，y）= 4、若A(1，1)，B(1，3)，C(x，5)三点共线，则x=【课时作业】1.已知=(5，3)，C(1，3)，=2，则点D坐标A(11，9)B(4，0)C(9，3)D(9，-3) 2、若向量=(1，2)，|=4|，且，共线，则可能是A(4，8)B(4，8)C(4，8)D(8，4)3*、在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点A(3,1)，B(1,3)若点C(x，y)满意OCOAOB，其中，R且1，则x，y所满意的关系式为()A3x2y110B(x1)2(y2
16、)25C2xy0Dx2y50 4、已知=(3，2)，=(2，1)，若+与+（R）平行，则= 5、已知|=10，=（4，3），且，则向量的坐标是 *6已知a(1,0)，b(2,1)(1)当k为何值时，kab与a2b共线？(2)若AB2a3b，BCamb且A，B，C三点共线，求m的值 7.如图所示，在你四边形ABCD中，已知，求直线AC与BD交点P的坐标。 【延长探究】1对于随意的两个向量m(a，b)，n(c，d)，规定运算“”为mn(acbd，bcad)，运算“”为mn(ac，bd)设m(p，q)，若(1,2)m(5,0)，则(1,2)m等于_2、如图所示，已知AOB中，A(0,5)，O(0,0
17、)，B(4,3)，OC14OA，OD12OB，AD与BC相交于点M，求点M的坐标 中学数学必修四2.4平面对量的数量积小结导学案 2.4平面对量的数量积小结【学习目标】1.理解数量积的含义驾驭数量积的坐标表达式，会进行平面对量数量积的运算2能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积推断两个平面对量的垂直关系3会用向量方法解决某些简洁的实际问题【新知自学】学问梳理：1向量的夹角已知两个_向量a和b，作OAa，OBb，则_称作向量a与向量b的夹角，记作a，b向量夹角a，b的范围是_，且_b，a若a，b_，则a与b垂直，记作_2平面对量的数量积_叫做向量a和b的数量积(或内积)，记作ab_.可见，a
18、b是实数，可以等于正数、负数、零其中|a|cos(|b|cos)叫做向量a在b方向上(b在a方向上)的投影数量积的记号是ab，不能写成ab，也不能写成ab.向量数量积满意下列运算律：ab_(交换律)(ab)c_(安排律)(a)b_a(b)(数乘结合律)3平面对量数量积的性质：已知非零向量a(a1，a2)，b(b1，b2)性质几何表示坐标表示定义ab|a|b|cosa，baba1b1a2b2模aa|a|2或|a|aa|a|a21a22 若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB(x2x1，y2y1)|AB| abab0a1b1a2b20夹角cosa，bab|a|b|(|a|b|0)cosa，b
19、a1b1a2b2a21a22b21b22 |ab|与|a|b|的关系|ab|a|b|a1b1a2b2|a21a22b21b22 对点练习：1已知下列各式：|a|2a2；ab|a|2ba；(ab)2a2b2；(ab)2a22abb2，其中正确的有()A1个B2个C3个D4个2设向量a(1,0)，b12，12，则下列结论中正确的是()A|a|b|Bab22CabDab与b垂直3已知a(1，3)，b(4,6)，c(2,3)，则(bc)a等于()A(26，78)B(28，42)C52D784若向量a，b满意|a|1，|b|2且a与b的夹角为3，则|ab|_. 5已知|a|2，|b|4且a(ab)，则a
20、与b的夹角是_ 【合作探究】典例精析：一、平面对量数量积的运算例1、（1)在等边ABC中，D为AB的中点，AB5，求ABBC，|CD|；(2)若a(3，4)，b(2,1)，求(a2b)(2a3b)和|a2b|. 变式练习：如图，在菱形ABCD中，若AC4，则CAAB_. 规律总结：向量数量积的运算与实数运算不同：(1)若a，b为实数，且ab0，则有a0或b0，但ab0却不能得出a0或b0.(2)若a，b，cR，且a0，则由abac可得bc,但由abac及a0却不能推出bc.(3)若a，b，cR，则a(bc)(ab)c(结合律)成立，但对于向量a，b，c，而(ab)c与a(bc)一般是不相等的，
21、向量的数量积是不满意结合律的(4)若a，bR，则|ab|a|b|，但对于向量a，b，却有|ab|a|b|，等号当且仅当ab时成立二、两平面对量的夹角与垂直例2、已知|a|4，|b|3，(2a3b)(2ab)61.(1)求a与b的夹角；(2)若ABa，BCb，求ABC的面积规律总结：1数量积大于0说明两向量的夹角为锐角或共线同向；数量积等于0说明两向量的夹角为直角；数量积小于0说明两向量的夹角为钝角或反向2当a，b是非坐标形式时，求a与b的夹角，需求得ab及|a|，|b|或得出它们的关系变式练习：已知平面内A，B，C三点在同一条直线上，OA(2，m)，OB(n,1)，OC(5，1)，且OAOB，
22、求实数m，n的值 三、求平面对量的模例3、（1）设单位向量m(x，y)，b(2，1)若mb，则|x2y|_.（2）已知向量acos3x2，sin3x2，bcosx2，sinx2，且x3，4.(1)求ab及|ab|；(2)若f(x)ab|ab|，求f(x)的最大值和最小值 规律总结：利用数量积求长度问题是数量积的重要应用，要驾驭此类问题的处理方法：(1)|a|2a2aa；(2)|ab|2(ab)2a22abb2；(3)若a(x，y)，则|a|x2y2.变式练习：已知a与b是两个非零向量，且|a|b|ab|，求a与ab的夹角 四、平面对量的应用例4、已知向量OAa(cos，sin)，OBb(2co
23、s，2sin)，OCc(0，d)(d0)，其中O为坐标原点，且02.(1)若a(ba)，求的值；(2)若OBOC|OC|1，OAOC|OC|32，求OAB的面积S. 变式练习：ABC的面积是30，内角A，B，C所对边长分别为a，b，c，cosA1213.(1)求ABAC；(2)若cb1，求a的值 【课堂小结】 【当堂达标】1已知向量a(x1,2)，b(2,1)，则ab的充要条件是()Ax12Bx1Cx5Dx02在ABC中，A90，AB1，AC2.设点P，Q满意APAB，AQ(1)AC，R.若BQCP2，则()A13B23C43D23在长江南岸渡口处，江水以12.5km/h的速度向东流，渡船的速
24、度为25km/h.渡船要垂直地渡过长江，则航向为_4给出以下四个命题：对随意两个向量a，b都有|ab|a|b|；若a，b是两个不共线的向量，且AB1ab，ACa2b(1，2R)，则A，B，C共线121；若向量a(cos，sin)，b(cos，sin)，则ab与ab的夹角为90；若向量a，b满意|a|3，|b|4，|ab|13，则a，b的夹角为60.以上命题中，错误命题的序号是_ 【课时作业】1.已知向量a和b的夹角为120，|a|1，|b|3，则|ab|()A.13B.23C.15D.42已知a，b是非零向量且满意(a2b)a，(b2a)b，则a与b的夹角是()A.6B.3C.23D.563.
25、已知两个非零向量a与b，定义|ab|a|b|sin，其中为a与b的夹角若a(3,4)，b(0,2)，则|ab|的值为()A.8B.6C.8D.64.已知向量a(2,1)，b(1，m)，若a与b的夹角是锐角，则实数m的取值范围是_5.已知向量a，b满意|2ab|7，且ab，则|2ab|_.6.在ABC中，A90，且ABBC1，则边c的长为_7、已知a=(4,2)，（1）求与a垂直的单位向量；（2）与垂直的单位向量；（3）与平行的单位向量 8、已知点A（1，2），B（3，4），C（5，0），求BAC的正弦值。【延长探究】已知平面上三点A，B，C，向量BC(2k,3)，AC(2,4)(1)若三点A，B，C不能构成三角形，求实数k应满意的条件；(2)若ABC为直角三角形，求k的值 第15页 共15页第 15 页 共 15 页第 15 页 共 15 页第 15 页 共 15 页第 15 页 共 15 页第 15 页 共 15 页第 15 页 共 15 页第 15 页 共 15 页第 15 页 共 15 页第 15 页 共 15 页第 15 页 共 15 页