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1、概率论与数理统计复习材料提纲第一章 随机事务及其概率 一、随机事务及其运算 1. 样本空间、随机事务 样本点：随机试验的每一个可能结果，用 w 表示； 样本空间：样本点的全集，用 W 表示； 注：样本空间不唯一. 随机事务：样本点的某个集合或样本空间的某个子集，用 A,B,C,表示； 必定事务就等于样本空间；不行能事务 ( ) 是不包含任何样本点的空集； 基本领件就是仅包含单个样本点的子集。2. 事务的四种关系包含关系：A B ，事务 A 发生必有事务 B 发生； 等价关系：A B = ， 事务 A 发生必有事务 B 发生，且事务 B 发生必有事务 A 发生； 互不相容（互斥）：AB=，事务
2、A 与事务 B 肯定不会同时发生。对立关系（互逆）：A ，事务 A 发生事务 A 必不发生，反之也成立；互逆满意A AAA = W= 注：互不相容和对立的关系（对立事务肯定是互不相容事务，但互不相容事务不肯定是对立事务。）3. 事务的三大运算事务的并：A B ，事务 A 与事务 B 至少有一个发生。若 AB= ，则 A B A B = + ； 事务的交：A B AB 或 ，事务 A 与事务 B 都发生；事务的差：- A B ，事务 A 发生且事务 B 不发生。4. 事务的运算规律 交换律：, A B B A AB BA = =结合律：( ) ( ),( ) ( ) A B C A B C A
3、B C A B C = = 安排律：( ) ( ) ( ), ( ) ( ) ( ) A B C A B A C A B C A B A C = = 德摩根 （ De Morgan ）定律 ：, A B ABAB A B = 对于 n 个事务，有1 11 1,n ni ii in ni ii iA AA A= = = 二、随机事务的概率定义和性质 1 1 公理化定义：设试验的样本空间为 W ，对于任一随机事务 ), ( W A A都有确定的实值 P(A)，满意下列性质：(1) 非负性：; 0 ) ( A P (2) 规范性：; 1 ) ( = W P(3)有限可加性(概率加法公式)：对于 k
4、个互不相容事务kA A A , ,2 1L ，有 = =kiikiiA P A P1 1) ( ) ( . 则称 P(A)为随机事务 A 的概率. 2 2 概率的性质 ( ) 1, ( ) 0 P P W = = ( ) 1 ( ) P A P A = -若 A B ，则 ( ) ( ), ( ) ( ) ( ) P A P B P B A P B P A - = - 且 ( ) ( ) ( ) ( ) P A B P A P B P AB = + -( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) P A B C P A P B P C P AB P BC P AC P ABC
5、 = + + - - - +注：性质的逆命题不肯定成立的. .如若 ), ( ) ( B P A P 则 B A 。（×）若 0 ) ( = A P ，则 f = A 。（×）三、 古典概型的概率计算 古典概型：若随机试验满意两个条件：只有有限个样本点, 每个样本点发生的概率相同，则称该概率模型为古典概型, ( )kP An= 。典型例题：设一批产品共 N 件，其中有 M 件次品，从这批产品中随机抽取 n 件样品，则 (1)在放回抽样的方式下, 取出的 n 件样品中恰好有 m 件次品（不妨设事务 A 1 ）的概率为 .) () (1nm n m mnNM N M CA
6、P-=(2)在不放回抽样的方式下, 取出的 n 件样品中恰好有 m 件次品（不妨设事务 A 2 ）的概率为 nNm nM NmMmnAA A CA P-= ) (2.nNm nM NmMCC C-=四、条件概率及其三大公式 1. 条件概率：( ) ( )( | ) , ( | )( ) ( )P AB P ABP B A P A BP A P B= =2.乘法公式：1 2 1 2 1 3 1 2 1 1( ) ( ) ( | ) ( ) ( | )( ) ( ) ( | ) ( | ) ( | )n n nP AB P A P B A P B P A BP A A A P A P A A P
7、A A A P A A A-= = 3.全概率公式：若1 2, , , , ,nn i i jiB B B B B B i j= W = 满意 ，则1( ) ( ) ( | )ni iiP A P B P A B= 。4.贝叶斯公式：若事务1 2, , ,nB B B A 和 如全概率公式所述，且 (A) 0 P ，1( ) ( | )( | )( ) ( | )i ii ni iiP B P A BP B AP B P A B=则. 五、事务的独立 1. 定义：( ) ( ) ( ), P AB P A P B = 若 则称A,B独立 . 推广：若1 2, , ,nA A A 相互独立，1
8、1( ) ( ) ( )n nP A A P A P A =2. 在 , , , , , , , A B A B A B A B 四对事务中，只要有一对独立，则其余三对也独立。3. 三个事务 A, B, C 两两独立：( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )P AB P A P BP BC P B P CP AC P A P C= 注：n 个事务的两两独立与相互独立的区分。（相互独立 两两独立，反之不成立。）4.伯努利概型：( ) , 0,1,2, , , 1 .k k n kn nP k C p q k n q p-= = = -1. 事务的对立与互不相容是等价的。
9、（X X ）2.若 ( ) 0, P A =则 A= 。（X）3. ( ) 0.1, ( ) 0.5, ( ) 0.05 P A P B P AB = = = 若 则 。(X) C 4.A,B,C 三个事务恰有一个发生可表示为 ABC ABC ABC + + 。( ( ∨) )n 5. n 个事务若满意 , , ( ) ( ) ( )i j i ji j P A A P A P A = ，则 n n 个事务相互独立。(X)6. 当 A B 时，有 P(B-A)=P(B)-P(A)。（∨）其次章随机变量及其分布一、随机变量的定义：设样本空间为 W ，变量 ) ( w X X = 为定
10、义在 W 上的单值实值函数，则称 X 为随机变量，通常用大写英文字母，用小写英文字母表示其取值。二、分布函数及其性质 1. 定义：设随机变量 X ，对于随意实数 x R ，函数 ( ) F x P X x = 称为随机变量 X 的概率分布函数，简称分布函数。 注：当2 1x x 时， ) (2 1x X x P =四、连续随机变量及其分布 1.定义.若随机变量 X 的取值范围是某个实数区间 I， 且存在非负函数 f(x)，使得对于随意区间 I b a , ( ，有 , ) ( ) (= badx x f b X a P 则称 X 为连续随机变量; 函数 f (x) 称为连续随机变量 X 的 概
11、率密度函数，简称 概率密度。注 1：连续随机变量 X 任取某一确定值的0x 概率等于 0, 即 ; 0 ) (0= = x X P注 2：) ( ) ( ) (2 1 2 1 2 1x X x P x X x P x X x P = = = =21) ( ) (2 1xxdx x f x X x P2. 概率密度 f (x) 的性质：性质 1：; 0 ) ( x f性质 2：. 1 ) ( =+ -dx x f注 1：一个函数若满意上述 2 个条件，则它必是某个随机变量的概率密度函数。注 2：当2 1x x 时， ) (2 1x X x P ) ( ) (1 2x F x F - =21) (
12、xxdx x f且在 f(x)的连续点 x 处，有 ). ( ) ( x f x F = 3.几种常见的连续随机变量的分布：(1) 匀称分布 ( , ) X U a b ， - -= s+ - = = -x dt e x F e x fxt x,21) (21) (22222) (2) (smsms p s p，1. 概率函数与密度函数是同一个概念。（X ）2. 当 N N 充分大时，超几何分布 H ( (n, M, N) ) 可近似成泊松分布。( X )3 3. .设 设 X X 是随机变量，有 ( ) ( ) P a X b P a X b = 。( X )4.若 X 的密度函数为 ( )
13、 f x = cos , 0, 2x xp ，则0(0 ) cos . P X tdtpp = ( X ) 第三章 随机变量的数字特征 一、期望（或均值）1定义：, EX1,( ) ,k kkx pEXxf x dx=+-= 离散型连续型2期望的性质：(1) ( ) , ( E C C C = 为常数)(2)E(CX)=CE(X)(3)E(X Y)=E(X) E(Y)(4)若X与Y相互独立，则E(XY)=E(X)E(Y),反之结论不成立. 3. 随机变量函数的数学期望1( ) , ( )k kkg x p XE g xX= +-离散型g(x)f(x)dx， 连续型4. 计算数学期望的方法 (1
14、) 利用数学期望的定义；(2) 利用数学期望的性质； 常见的基本方法：将一个比较困难的随机变量 X X 拆成有限多个比较简洁的随机变量 X X i i 之和,再利用期望性质求得 X 的期望. (3)利用常见分布的期望； 1方差 -= - = + -连续型离散型, ) ( ) ( , ) ( ) ( ) (222dx x f X E xp X E xX E X E X Dii 注：D ( X )= E X - E ( X )2 ≥0；它反映了随机变量X 取值分散的程度,假如 D ( X )值越大( 小)，表示 X 取值越分散( 集中)。2方差的性质 (1) ( ) 0, ( D C C =
15、2为常数)(2)D(CX)=C D(X)(3)若X与Y相互独立，则D(X Y)=D(X)+D(Y) (4) 对于随意实数 C∈R，有E ( X-C ) 2 ≥ ≥D( X ) 当且仅当 C = E(X)时,E ( X-C ) 2 取得最小值 D(X). (5) ( 切比雪夫不等式) ): 设 X 的数学期望 E ( X ) 与方差 D ( X ) 存在,对于随意的正数 e ， 有 ( ( ) ) P | X - E X | ε 2( ).D Xε 或 ( ( ) ) P | X - E X |< ε .2( )1-D
16、Xε3. 计算 (1) 利用方差定义；(2) 常用计算公式 . ) ( ) ( ) (2 2X E X E X D - = (3) 方差的性质；(4) 常见分布的方差. 注：常见分布的期望与方差 1. 若 X B ( n , p ), 则 E( X )=np, D ( X ) = npq ; 2. 若 ; ) ( ) ( ), ( l l = = X D X E P X 则3. 若 X U ( a , b ), 则 ;12) () ( ,2) ( E2a bX Db aX-=+= 4. 若 ;1) ( ,1) ( ), ( 2l ll = = X D X E e X 则5. 若
17、 . ) ( , ) ( ), , ( 2 2s m s m = = X D X E N X 则三、原点矩与中心矩 （总体）X 的 k 阶原点矩：) ( ) (kkX E X v =（总体）X 的 k 阶中心矩：kkX E X E X u ) ( ) ( - =1. 只要是随机变量，都能计算期望和方差。( X )2. 期望反映的是随机变量取值的中心位置，方差反映的是随机变量取值的分散程度。( ( √) )3. 方差越小，随机变量取 值越分散，方差越大越集中。( X )4. 方差的实质是随机变量函数的期望。( ( √) )5. 对于随意的 X,Y ，都有 ( ) D X
18、Y DX DY - = + 成立。( X )第四章 正态分布 一、正态分布的定义1. 正态分布 ) , ( 2s m N X 概率密度为 , ,21) (222) (+ - =-x e x fxsms p其 分布函数为 -=xtdt e x F222) (21) (sms p 注：21) ( = m F . 正态密度函数的几何特性：； 对称 曲线关于 m = x ) 1 (； ）（s p 21) ( 2 取得最大值 时， 当 x f μ x =； ， ， 轴为渐近线 以 时 当 x x f x 0 ) ( ) 3 ( ; 2 121) 4 (22222) (2) (s ps psmsm=
19、 = + - + -dx e dx ex x 轴作平移改变. 图形不变，只是沿着 的大小时，f(x)的 变更 ， 当固定 y μ σ ）（5越大, 图形越高越瘦； 越小, 变， 对称轴不变而形态在改 的大小时 变更 ， 当固定 （6）σ σ x f σ μ ) ( ，图形越矮越胖.2. 标准正态分布 当 1 , 0 = = s m 时， ), 1 , 0 ( N X 其密度函数为 . ,21) (22+ - =-x e xxpj 且其分布函数为 .21) (22 -= Fxtdt e xp ) (x F 的 性 质 ：) 0 ( )
20、1 ( F ;21= ). ( 1 ) ( ) 3 ( x x F - = - F 3. 正态分布与标准正态分布的关系定理：若 ), , ( 2s m N X则 ) 1 , 0 ( NXYsm -= . 定理：设 ), , ( 2s m N X 则 ). ( ) ( ) (1 22 1smsm -F -F = = 都有 对任何实数 才有 的个别值 只对都有 对任何实数 都有 对任何实数， ， ，m mm m4.已知连续随机变量 X 的概率密度函数为1 22 1) (- + -=x xe x fp 则 X 的数学期望为_1_; X 的方差为_1/2_. 第五章 数理统计的基本学问 一、总体个体样
21、本1.总体：把探讨对象的全体称为总体 (或母体).它是一个随机变量，记 X.2.个体：总体中每个探讨对象称为个体.即每一个可能的视察值. 3.样本：从总体 X 中，随机地抽取 n 个个体nX X X , , ,2 1L , 称为总体 X 的容量为 n 的 样本。注： 样本 ) , , , (2 1 nX X X L 是一个 n 维的随机变量； 本书中提到的样本都是指简洁随机样本，其满意 2 个特性： 代表性：nX X X , , ,2 1L 中每一个与总体 X 有相同的分布. 独立性：nX X X , , ,2 1L 是相互独立的随机变量.4.样本 ) , , , (2 1 nX X X L
22、的联合分布 设总体 X 的分布函数为 F ( x )，则样本 ) , , , (2 1 nX X X L 的联合分布函数为 = ) , , , (2 1 nx x x F L ; ) (1=niix F(1) 设总体 X 的概率密度函数为 f ( x ), 则样本的联合密度函数为 = ) , , , (2 1 nx x x f L ; ) (1=niix f (2) 设总体 X 的概率函数为 ) , 2 , 1 , 0 ( ), ( L = x x p , 则样本的联合概率函数为 ; ) ( ) , , , (12 1 =nii nx p x x x p L二、统计量1. 定义不含总体分布中任
23、何未知参数的样本函数 ) (n 2 1,X , ,X X g L 称为统计量, ) , , , (2 1 nx x x g L 是 ) (n 2 1,X , ,X X g L 的观测值. 注：（1）统计量 ) (n 2 1,X , ,X X g L 是随机变量； （2）统计量 ) (n 2 1,X , ,X X g L 不含总体分布中任何未知参数；（3）统计量的分布称为 抽样分布. 2. 常用统计量 （1）样本矩：样本均值 =niiXnX11； 其观测值 =niixnx11. 可用于推断：总体均值 E ( X ). 样本方差 ) (11) (1112 212 2 = =-= -=niniiX
24、n XnX XnSi;其观测值=-=niix xns12 2) (11.1112 2-=niix n xn 可用于推断：总体方差 D (X). 样本标准差2S S =-=niiX Xn12) (11 .1112 2-=niiX n Xn 其观测值2s s =-=niix xn12) (11.1112 2-=niix n xn 样本 k 阶原点矩 ) , 2 , 1 ( ,11L = =k XnVniki k其观测值=niki kxnv11样本 k 阶中心矩 ) , 2 , 1 ( , ) (11L = - =k X XnUniki k其观测值=- =niki kx xnu1) (1 注：比较样
25、本矩与总体矩，如样本均值 X 和总体均值 E ( X )；样本方差2S 与总体方差 D ( X )； 样本 k 阶原点矩 ) , 2 , 1 ( ,11L = =k XnVniki k与总体 k 阶原点矩 ) , 2 , 1 ( ), ( L = k X Ek；样本 k 阶中心矩 ) , 2 , 1 ( , ) (11L = - =k X XnUniki k与总体 k 阶原点矩 ) , 2 , 1 ( , ) ( L = - k X E X Ek. 前者是随机变量，后者是常数. (2)样本矩的性质: 设总体 X 的数学期望和方差分别为2, s m = = DX EX ，2,S X 为样本均值、
26、样本方差，则 = ) ( 1 o X E; m= ) ( 2 o X D;12sn. ) ( 32 2 os = S E3.抽样分布：统计量的分布称为抽样分布. 三、3 3 大抽样分布分布2. 1 c ：定义.设kX X X , , ,2 1L 相互独立，且 k i N X i , , 2 , 1 ), 1 , 0 ( L = ，则 ) ( 2 2 22212k X X Xkc c + + + = L注：若 ), 1 , 0 ( N X 则 ). 1 ( 2 2c X（2）性质（可加性）设2221c c 和 相互独立，且 ), ( ), ( 22 22 12 21k k c c c c 则 )
27、. ( 2 12 2221k k + + c c c2. t 分布：设 X 与 Y 相互独立,且 ), ( ), 1 , 0 ( 2k Y N X c 则 ). ( k tk YXt/ /=注：t 分布的密度图像关于 t =0 对称；当 n 充分大时，t 分布趋向于标准正态分布 N(0,1). 3. F 分布: 定义. 设 X 与 Y 相互独立，且 ), ( ), ( 2212k Y k X c c 则 ). , ( /2 121k k Fk Yk XF =(2) 性质. 设 ), (2 1k , k XF 则 ) ( / 11 2 ,kk F X . 四、分位点 定义：对于总体 X 和给定的
28、 ), 1 0 ( a a 若存在ax ，使得 aa= ) ( x X P 则称ax 为 X 分布的 a 分位点。注：常见分布的分位点表示方法 （1）) (2k c 分布的 a 分位点 ); (2kac（2）) (k t 分布的 a 分位点 ), (k t a其性质：); ( ) (1k t k ta a- =- （3）), , (2 1k k F a 分布的 a 分位点 ), , (2 1k k F a 其性质 ;) , (1) , (1 22 1 1k k Fk k Faa=- （4）N(0,1)分布的 a 分位点 ,au 有 ), ( 1 ) ( 1 ) (a a au u X P u
29、X P F - = - = 第六章 参数估计 一、点估计: :设 ) , , , (2 1 nX X X L 为来自总体 X 的样本， q 为 X 中的未知参数， ) , , , (2 1 nx x x L 为样本值，构造某个统计 量 ) , , , (ˆ2 1 nX X X L q 作为参数 q 的估计，则称 ) , , , (ˆ2 1 nX X X L q 为 q 的点估计量， ) , , , (ˆ2 1 nx x x L q 为 q 的估计值.2.常用点估计的方法：矩估计法和最大似然估计法. 二、矩估计法1.基本思想: 用样本矩（原点矩或中心矩）代替相应的总
30、体矩. 2.求总体 X 的分布中包含的 m 个未知参数mq q q , , ,2 1L 的矩估计步骤： 求出总体矩,即 L , 2 , 1 , ) ( ) ( = - k X E X E X Ek k或 ； 用样本矩代替总体矩，列出矩估计方程：L , 2 , 1 , ) ( ) (1) (11 1= - = - = = =k X E X E X XnX E Xnknikikniki或 解上述方程（或方程组）得到mq q q , , ,2 1L 的矩估计量为：m i X X Xn i i, , 2 , 1 ), , , , (ˆ ˆ2 1L L = = q q mq q q
31、, , ,2 1L 的矩估计值为：m i x x xn i i, , 2 , 1 ), , , , (ˆ ˆ2 1L L = = q q3. 矩估计法的优缺点： 优点：直观、简洁; 只须知道总体的矩,不须知道总体的分布形式. 缺点：没有充分利用总体分布供应的信息；矩估计量不具有唯一性；可能估计结果的精度比其它估计法的低 三、最大似然估计法1. 直观想法：在试验中，事务 A 的概率 P (A)最大, 则 A 出现的可能性就大；假如事务 A 出现了，我们认为事务 A的概率最大. 2. 定义 设总体 X 的概率函数或密度函数为 ) , ( q x p （或 ) , ( q x f
32、 ），其中参数 q 未知，则 X 的样本 ) , , , (2 1 nX X X L 的联 合概率函数（或联合密度函数）=niix p L1) , ( ) ( q q （或=niix f L1) , ( ) ( q q称为似然函数. 3. 求最大似然估计的步骤：（1）求似然函数: X 离散：=niix p L1) , ( ) ( q q X 连续：=niix f L1) , ( ) ( q q（2）求 ) ( ln q L 和似然方程：m iLi, , 2 , 1 , 0) ( lnL = =qq （3）解似然方程，得到最大似然估计值：m i x x xn i i, , 2 , 1 ), ,
33、, , (ˆ ˆ2 1L L = = q q（4）最终得到最大似然估计量：m i X X Xn i i, , 2 , 1 ), , , , (ˆ ˆ2 1L L = = q q4. 最大似然估计法是在各种参数估计方法中比较优良的方法，但是它须要知道总体 X 的分布形式. 四、 估计量的评价标准 1.无偏性:设 ) (1 nX , , X θ θ Lˆ ˆ =是未知参数 θ 的估计量，若 θ θ E = ) ( ˆ ，则 ) (1 nX , , X θ &
34、theta; Lˆ ˆ =是 θ 的无偏估计量，) (x 1nx , , θ θ Lˆ ˆ =是 θ 的无偏估计值。有效性:设 ) (1 1 1 nX , , X θ θ Lˆ ˆ= 和 ) (1 2 2 nX , , X θ θ Lˆ ˆ= 是未知参数 θ 的无偏估计量， 若 θ θ D θ D = ) ( ) (2 1ˆ ˆ，则称1θ&c
35、irc;比2θˆ有效。1.若 ) , , , (2 1 nX X X L 是来自总体 X 的样本，则nX X X , , ,2 1L 相互独立. （ √）2.不含总体 X 的任何未知参数的样本函数 ) , , , (2 1 nX X X g L 就是统计量. ( √ ) 3.样本矩与总体矩是等价的。（ X ）4.矩估计法的基本思想是用总体矩代替样本矩，故矩估计量不唯一.( X )设总体 未知 ， 其中2 2 ), ( s m s m N X ，则估计量=- = =niiX XnX12 2) (1ˆ ˆ s m ， 分别是2s m ， 的无偏估计量.( X )