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1、http:/ 永久免费组卷搜题网http:/ 永久免费组卷搜题网典型例题一典型例题一例例 1今有标号为 1、2、3、4、5 的五封信，另有同样标号的五个信封，现将五封信任意地装入五个信封中，每个信封一封信，试求至少有两封信与信封标号一致的概率分析分析：至少有两封信与信封的标号配对，包含了下面两种类型：两封信与信封标号配对；3 封信与信封标号配对；4 封信与信封标号配对，注意：4 封信配对与 5 封信配对是同一类型现在我们把上述三种类型依次记为事件321AAA、，可以看出321AAA、两两互斥，记“至少有两封信与信封标号配对”为事件A，事件A发生相当于321AAA、有一个发生，所以用公式)()(
2、)()(321APAPAPAP 可以计算)(AP.解：解：设至少有两封信配对为事件A，恰好有两封信配对为事件1A，恰有 3 封信配对为事件2A，恰有 4 封信（也就是 5 封信）配对为事件3A，则事件A等于事件321AAA ，且321AAA、事件为两两互斥事件，所以)()()()(321APAPAPAP 5 封信放入 5 个不同信封的所有放法种数为55A，其中正好有 2 封信配对的不同结果总数为.225 C正好有 3 封信配对的不同结果总数为.35C正好有 4 封信（5 封信）全配对的不同结果总数为 1，而且出现各种结果的可能性相同，.12031)()()()(,1201)(,121)(,61
3、)2()(32135535255251ApAPAPAPAPACAPACAP说明说明：至少有两封信与信封配对的反面是全不配对和恰好有 1 封信配对，但是配对越少，计算该结果的所有方法总数越困难，即计算该事件的概率越不方便 现在把问题改为计算“至多两封信与信封标号配对”的概率是多少？我们转化为求其对立事件的概率就简单得多，它的对立 事件为“3 封信配 对或 4 封信（即 5 封）配 对”，得到 其结果的 概率为120109)1(1555535 AAC，在计算事件的概率时有时采用“正难则反”的逆向思维方法，直接计算事件的概率比较难，而计算其对立事件的概率比较容易时可采用这种方法典型例题七典型例题七h
4、ttp:/ 永久免费组卷搜题网http:/ 永久免费组卷搜题网例例 7射手张强在一次射击中射中 10 环、9 环、8 环、7 环、7 环以下的概率分别为24.0，28.0，19.0，16.0，13.0计算这个射手在一次射击中：(1)射中 10 环或 9 环的概率；(2)至少射中 7 环的概率；(3)射中环数不足 8 环的概率分析分析：“射中 10 环”，“射中 9 环”，“射中 7 环以下”是彼此互斥事件，可运用“事件的和”的概率公式求解解：解：设“射中 10 环”、“射中 9 环”、“射中 8 环”、“射中 7 环”、“射中 7 环以下”的事件分别为A、B、C、D、E，则(1)52.028.
5、024.0)()()(BPAPBAP，所以射中 10 环或 9 环的概率为52.0(2)(DCBAP)()()()(DPCPBPAP87.016.019.028.024.0，所以至少射中 7 环的概率为87.0(3)29.013.016.0)()()(EPDPEDP，所以射中环数不足 8 环的概率为29.0说明说明：公式)()()(BPAPBAP只有在A、B两事件互斥时才使用，如果A、B两事件不互斥，就不能应用这一公式，一定要注意)()()(BPAPBAP这一公式应用的前提是A、B两个事件互斥典型例题三典型例题三例例 3有 4 个红球，3 个黄球，3 个白球装在袋中，小球的形状、大小相同，从中
6、任取两个小球，求取出两个同色球的概率是多少？分析分析：与倒 2 中取球方式不同的是，从中取出两球是不放回的取出处理上，例 2 是分步取球，先取哪个后取哪个是有区别地对待，而本例中，只要搞清是取的什么球，直接用组合数列式取出两个同色球可以分成下面几个类型：两个红球；两个黄球；两个白球解：解：从 10 个小球中取出两个小球的不同取法数为,210C“从中取出两个红球”的不同取法数为，其概率为,21024CC “从中取出两个黄球”的不同取法数为，其概率为,21023CC “从中取出两个白球”的不同取法数为，其概率为,21023CC http:/ 永久免费组卷搜题网http:/ 永久免费组卷搜题网所以取
7、出两个同色球的概率为：.154210232102321024 CCCCCC说明：说明：本题求取出两个同色球的概率，对结果比较容易分类，如果换上“取出 3 个球，至少两个同颜色”，这样的问题分类相对就比较复杂，在此我们不一一列出，但考虑其反面，对立事件为“取出 3 个球，颜色全不相同”，对立事件的概率比较容易算出取出 3 个球，颜色全不相同的所有不同取法数为36334 （种），对立事件的概率为453636210 C，所以“取出 3 个球，至少两个同颜色”的概率为：.2.045361 典型例题九典型例题九例例 9小明的袋中放有 3 个伍分硬币、3 个贰分硬币和 4 个壹分硬币，从中任取 3 个，求
8、总数超过 8 分的概率分析分析 1：视其为互斥事件，进而求概率解法解法 1：(1)记“总数超过 8 分”为事件A，它包括下列四种情况：“取到 3 个伍分硬币”记为事件1B；“取到 2 个伍分硬币和 1 个贰分硬币”为事件2B；“取到 2 个伍分硬币和 1 个壹分硬币”为事件3B；“取到个伍分硬币和 2 个贰分硬币”为事件4B1201)(310331CCBP，1209)(31013232CCCBP，12012)(31014233CCCBP，1209)(31023134CCCBP根据题意，1B、2B、3B、4B彼此互斥，故所求概率)()(4321BBBBPAP)()()()(4321BPBPBPB
9、P12031分析分析 2：视其为等可能事件，进而求概率解法解法 2：从 10 个硬币中取 3 个，共有310C种不同方法“总数超过 8 分”的共有以下四种情况：取 3 个伍分硬币，共有33C种方法；取 2 个伍分硬币和 1 个贰分硬币，共有1323CC种方法；取 2 个伍分硬币和 1 个壹分硬币，共有1423CC种方法；取个伍分硬币和 2 个贰分硬币，共有2313CC种不同方法，所以“总数超过8分”共有3123131423132333CCCCCCChttp:/ 永久免费组卷搜题网http:/ 永久免费组卷搜题网种方法总数超过 8 分的概率为12031说明：说明：复杂的等可能事件的概率可化为彼此
10、互斥的简单事件来求，要注意分类的不重、不漏典型例题二典型例题二例例 2袋中装有红、黄、白 3 种颜色的球各 1 只，从中每次任取 1 只，有放回地抽取 3次，求：（1）3 只全是红球的概率，（2）3 只颜色全相同的概率，（3）3 只颜色不全相同的概率，（4）3 只颜色全不相同的概率分析分析：有放回地抽 3 次的所有不同结果总数为33，3 只全是红球是其中的 1 种结果，同样 3 只颜色全相同是其中 3 种结果，全红、全黄、全白，用求等可能事件的概率方式可以求它们的概率“3 种颜色不全相同”包含的类型较多，而其对立事件为“三种颜色全相同”却比较简单，所以用对立事件的概率方式求解3 只颜色全不相同
11、，由于是一只一只地按步取出，相当于三种颜色的一个全排列，其所有不同结果的总数为33A，用等可能事件的概率公式求解解：解：有放回地抽取 3 次，所有不同的抽取结果总数为：3 只全是红球的概率为,2713 只颜色全相同的概率为.91273“3 只颜色不全相同”的对立事件为“三只颜色全相同”故“3 只颜色不全相同”的概率为,98911 “3 只颜色全不相同”的概率为.2763333 A说明说明：如果 3 种小球的数目不是各 1 个，而是红球 3 个，黄球和白球各两个，其结果又分别如何？首先抽 3 次的所有不同结果总数为37，全是红球的结果总数为33，所以全是红球的概率为343277333 ，同样全是
12、黄球的概率为3438，全是白球的概率也是3438，所以3 只球颜色全相同的概率为上述三个事件的概率之和，243432438243824327 ，“三种颜色不全相同”为“三种颜色全相同”的对立事件，其概率为.243200243431 “3 只小球颜色全不相同”可以理解为三种颜色的小球各取一只，然后再将它们排成一列，得到抽取的一种结果，其所有不同结果总数为7222333 A（种），所以“3 只小球颜色全不相同”的概率为.24372http:/ 永久免费组卷搜题网http:/ 永久免费组卷搜题网典型例题五典型例题五例例 5判断下列各对事件是否是互斥事件，并说明道理某小组有 3 名男生和 2 名女生，
13、从中任选 2 名同学去参加演讲比赛，其中(1)恰有 1 名男生和恰有 2 名男生；(2)至少有一名男生和至少有一名女生；(3)至少有一名男生和全是男生；(4)至少有 1 名男生和全是女生分析分析：判断两个事物是否为互斥事件，就是考察它们能否同时发生，如果不能同时发生，则是五斥事件，不然就不是互斥事件解：解：(1)是互斥事件道理是：在所选的 2 名同学中，“恰有 1 名男生”实质是选出的是“一名男生和一名女生”，它与“恰有两名男生”，不可能同时发生，所以是一对互斥事件(2)不可能是互斥事件道理是：“至少有 1 名男生”包括“1 名男生、1 名女生”和“两名都是男生”两种结果“至少有 1 名女生”
14、包括“1 名女生、1 名男性”和“两名都是女生”两种结果，它们可同时发生(3)不可能是互斥事件道理是：“至少有一名男生”包括“一名男生、一名女生”和“两名都是男性”，这与“全是男生”，可同时发生(4)是互斥事件道理是：“至少有 1 名男生”包括“1 名男生、1 名女生”和“两名都是男生”两种结果，它和“全是女生”不可能同时发生小结：互斥事件是概率知识中重要概念，必须正确理解(1)互斥事件是对两个事件而言的若有A、B两个事件，当事件A发生时，事件B就不发生；当事件B发生时，事件A就不发生（即事件A、B不可能同时发生），我们就把这种不可能同时发生的两个事件叫做互斥事件否则就不是互斥事件(2)对互斥
15、事件的理解，也可以从集合的角度去加以认识如果A、B是两个互斥事件，反映在集合上，是表示A、B这两个事件所含结果组成的集合彼此互不相交如果事件nAAA,21中的任何两个都是互斥事件，那么称事件nAAA,21彼此互斥，反映在集合上，表现为由各个事件所含的结果组成的集合彼此互不相交典型例题八典型例题八例例 8玻璃球盒中装有各色球 12 只，其中 5 红、4 黑、2 白、1 绿，求从中取 1 球：(1)红或黑的概率；(2)红或黑或白的概率分析分析 1：视其为等可能事件，进而求概率解法解法 1：(1)从 12 只球中任取 1 球得红球有 5 种取法，得黑球有 4 种取法，得红球或黑球共有945种不同取法
16、，任取一球有12种取法，任取 1 球得红球或黑球的概率得431291Phttp:/ 永久免费组卷搜题网http:/ 永久免费组卷搜题网(2)从 12 只球中任取 1 球得红球有 5 种取法，得黑球有 4 种方法，得白球有 2 种取法，从而得红或黑或白球的概率为1211122452P分析分析 2：视其为互斥事件，进而求概率解法解法 2：记事件1A：从 12 只球中任取 1 球得红球；2A：从中任取 1 球得黑球；3A：从中任取 1 球得白球；4A：从中任取 1 球得绿球，则125)(1AP，124)(2AP，122)(3AP，121)(4AP根据题意，1A、2A、3A、4A彼此互斥，由互斥事件概
17、率得(1)取出红球或黑球的概率为43124125)()()(2121APAPAAP；(2)取出红或黑或白球的概率为1211122124125)()()()(321321APAPAPAAAP分析分析 3：应用对立事件求概率解法解法 3：(1)由思路 2，取出红球或黑球的对立事件为取出白球或绿球，即21AA 的对立事件为43AA，取出红球或黑球的概率为)()(1)(1)(434321APAPAAPAAP431291211221(2)321AAA的对立事件为4A12111211)(1)(4321APAAAP即为所求说明：说明：(1)“互斥”和“对立”事件容易搞混互斥事件是指指事件不能同时发生，对立事
18、件是指互斥的两事件中必有一个发生(2)求复杂事件的概率通常有两种方法：一是将所求事件转化成彼此互斥的事件的和；二是先去求对立事件的概率，进而再求所求事件的概率典型例题六典型例题六例例 6判断下列给出的每对事件，(1)是否为互斥事件，(2)是否为对立事件，并说明道理从扑克 40 张(红桃、黑桃、方块、梅花点数从 110 各 10 张)中，任取一张(1)“抽出红桃”与“抽出黑桃”；(2)“抽出红色牌”与“抽出黑色色牌”；(3)“抽出的牌点数为 5 的倍数”与“抽出的牌点数大于 9”解：解：(1)是互斥事件，不是对立事件http:/ 永久免费组卷搜题网http:/ 永久免费组卷搜题网道理是：从 40
19、 张扑克牌中任意抽取 1 张，“抽出红桃”和“抽出黑桃”是不可能同时发生的，所以是互斥事件，同时，不能保证其中必有一个发生，这是由于还可能抽出“方块”或者“梅花”，因此，二者不是对立事件(2)既是互斥事件，又是对立事件道理是：从 40 张扑克牌中，任意抽取 1 张“抽出红色牌”与“抽出黑色色牌”，两个事件不可能同时发生，但其中必有一个发生，所以它们既是互斥事件，又是对立事件(3)不是互斥事件，当然不可能是对立事件道理是：从 40 张扑克牌中任意抽取 1 张“抽出的牌点数为 5 的倍数”与“抽出的牌点数大于 9”这两个事件可能同时发生，如抽得 10，因此，二者不是互斥事件，当然不可能是对立事件说
20、明说明：“互斥事件”和“对立事件”都是就两个事件而言的，互斥事件是不可同时发生的两个事件，而对立事件是其中必有一个发生的互斥事件 因此，对立事件必须是互斥事件，但互斥事件不一定是对立事件，也就是说“互斥事件”是“对立事件”的必要但不充分的条件“对立事件”是“互斥事件”的充分不必要条件典型例题十典型例题十例例 10同时抛掷两枚骰子，求至少有一个 5 点或 6 点的概率分析分析 1：视其为等可能事件，进而求概率解法解法 1：同时投掷两枚骰子，可能结果如下表：共有 36 个不同的结果，其中至少有一个 5 点或 6 点的结果有 20 个，所以至少有一个 5点或 6 点的概率为953620P分析分析 2
21、：利用对立事件求概率解法解法 2：至少有一个 5 点或 6 点的对立事件是没有 5 点或 6 点如上表，没有 5 点或 6点的结果共有 16 个，没有 5 点或 6 点的概率为943616P至少有一个 5 点或 6 点的概率为95941下面再给出一种解法（此解法可在下一节学完后，再学习）分析分析 3：利用公式)()()()(BAPBPAPBAP解法解法 3：记事件A：含有点数为 5 的事件B：含有点数为 6 的显然A、B不是互斥事件3611)(AP，3611)(BP，362)(BAP至少有一个 5 点或 6 点的概率为http:/ 永久免费组卷搜题网http:/ 永久免费组卷搜题网)()()(
22、)(BAPBPAPBAP953620362362236236113611说明：说明：(1)本题常出现的错误有两类：一类是不符合题意的臆想，含 5 的有 6 个，含 6的有 6 个，至少有一个 5 或 6 的有 12 个，从而所求概率为3136123666；另一类是没有搞清楚A、B是否为互斥事件，直接利用公式3622)()()(BPAPBAP(2)解题时，将所有基本事件全部列出是避免重复和遗漏的有效方法；对于用直接法难于解决的问题，可求其对立事件的概率，进而求得概率，以降低难度典型例题十一典型例题十一例例 11 一批产品共100件，其中5件是废品，任抽10件进行检查，求下列事件的概率(1)10件
23、产品中至多有一件废品；(2)10件产品中至少有一件废品分析：分析：10件产品中恰有5,4,3,2,1,0件废品是互斥事件，可用概率加法公式解：解：设iA为事件“10件产品中恰有i件废品”，其中5,4,3,2,1,0i，易知iA(5,1,0i)为彼此互斥事件(1)设iA为事件“10件产品中至多有1件废品”，则有10AAA，又由于0A与1A互斥，所以)()()()(1010APAPAAPAP923.0101009951510100109505CCCCCC(2)(法 1)设B为事件“10件产品中至少有1件废品”，则有54321AAAAAB，而且521,AAA彼此互斥，所以)()(54321AAAAA
24、PBP)()()()()(54321APAPAPAPAP416.010100595551010069545101007953510100895251010099515CCCCCCCCCCCCCCC(法 2)由于B的对立事件为“10件产品中无废品”，即0AB，)(1)(1)(0APBPBPhttp:/ 永久免费组卷搜题网http:/ 永久免费组卷搜题网416.0110100109505CCC说明说明：抽查产品问题与模球问题类似，是一类典型问题，应予以很好地理解和掌握(1)“至多有一件废品”的意义是“可以有一件废品，也可以没有废品”，即1m（又Nm，1,0m），其反面是“有2件以上废品”，即2m（
25、故5,4,3,2m）“至少有一件废品”的意义是“可以一件废品、可以有两件废品，可以有五件废品”，即1m，（故5,4,3,2,1m），其反面是“没有废品”，即0m（故0m）要正确理解“至多”、“至少”的含义，有时直接解简单，而有时用其反而去解简单(2)注意求概率的直接法和间接法两种思路典型例题十三典型例题十三例例 13 学校文娱队员唱歌、跳舞至少会一项，已知会唱歌的有5人，会跳舞的有7人，现从中选3人，且至少有一位既会唱歌又会跳舞的概率是216，问该文娱队有多少人？分析分析：可选设既会唱歌又会跳舞的人数为x，则该队的队员人数为)75(x人如图所示解：解：设该队既会唱歌又会跳舞的人有x名，则该队队
26、员的人数为)212(x名，只会唱歌的人有x5人，只会跳舞的人有x7人，从中选出3人，记A为事件“至少有一位既会唱歌又会跳舞的人”，则A的对立事件A为“3人都只会唱歌或只会跳舞”3123212)(xxCCAP，21161)(1)(3123212xxCCAPAP215)10)(11)(12()210)(211)(212(xxxxxx解得：3x912 xhttp:/ 永久免费组卷搜题网http:/ 永久免费组卷搜题网该文娱队共有9人说明说明：(1)注意集合元素个数的计算方法：card（BA）=cardA+cardB-card（BA）(2)本题中出现了“至少”一词，可考虑从反而做，因为人数不知，所以从
27、正面做较繁典型例题十二典型例题十二例例 12 某战士射击一次，设中靶的概率为95.0令事件A为“射击一次、中靶”，求：(1)A的概率是多少？(2)若事件B（中靶环数大于5）的概率是75.0，那么事件C（中靶环数小于6）的概率是多少？事件D（中靶环数大于0且小于6）的概率是多少？分析：分析：(1)易做(2)搞清三个事件B、C、D之间的包含或对立关系解：解：(1)05.095.01)(1)(APAP(2)由题意，事件B即为“中靶环数为10,9,8,7,6环”，而事件C为“中靶环数为5,4,3,2,1,0环”，事件D为“中靶环数为5,4,3,2,1环”可见B与C是对立事件，而ADC25.075.01
28、)(1)()(BPBPCP又)()()(APDPCP，20.005.025.0)()()(APCPDP说明说明：离散型随机变量在某一范围内取值的概率，往往利用其在不同范围内发生的互斥性，再根据概率的加法处理例如教材中例题：某地区年降水量在150,100(mm)内的概率是12.0，在200,150(mm)内的概率是25.0，则该地区年降水量在200,100(mm)内的概率即为37.025.012.0，因为这两个事件是互斥的典型例题四典型例题四例例 4在 9 个国家乒乓球队中有 3 个亚洲国家队，抽签分成三组进行比赛预赛求：（1）三个组各有一支亚洲队的概率；（2）至少有两个亚洲国家队在同组的概率分
29、析分析：9 个队平均分成三组的所有不同的分法总数为33363639)(ACCC，其中每个队有一支亚洲国家队的分法数为222426CCC，用等可能事件的概率公式可求其概率 至少有两支亚洲国家队在同一小组可分成两类：恰好有两支亚洲国家队在同一组；三支亚洲国家队在同一组分别计算它们的概率然后相加此外，我们也可以先计算其对立事件的概率，而其对立事件为“3 支亚洲国家队不在同一组”，实际上两小题的事件互为对立事件http:/ 永久免费组卷搜题网http:/ 永久免费组卷搜题网解解：（1）所有的分组结果是等可能的，9 支队平均分成 3 组的不同分法数为：280)(33333639 ACCC（种）其中三个组
30、各有一支亚洲队，可以看成其它 6 支队中任取 2 支队与第 1 个亚洲队合为一组，剩下 4 支队任取 2 支与第 2 个亚洲队一组，最后 2 支队与第 2、3 支亚洲队一组，所有不同的分法数为902426 CC（种）。所以“三个组各有一支亚洲队的概率为.28928090 （2）方法 1：“至少有两支亚洲队在同一组”分为两类：“恰好两支亚洲国家队在一组”，概率为;2818280)(251623 CCC“三支亚洲国家队在同一组”的概率为.28192812818 方法 2：“至少有两支亚洲在同一组”的对立事件为“三个组各有一支亚洲队”。由（1）可得，“至少有两支亚洲队在同一组”的概率为：.28192891