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1、41 对数及其运算1理解并掌握对数的概念，并能熟练进行指数式与对数式的互化2掌握对数运算性质，并能运用其运算性质进行化简、求值和证明3能利用对数知识用字母表示对数，解对数方程1对数(1)定义：一般地，如果a(a0，a1)的b次幂等于N，即abN，那么数_叫作以a为底N的对数，记作_b.其中a叫作对数的_，N叫作_logaN读作以a为底N的对数 对数式logaNb可看作一种记号，表示关于b的方程abN(a0，a1)的解；也可以看作一种运算，即已知底为a(a0，a1)，幂为N，求幂指数的运算，因此，对数式logaNb又可看作幂运算的逆运算(2)特殊对数：通常将以_为底的对数叫作常用对数，并把log
2、10N简记作_；在科学技术中常使用以无理数e2.718 28为底数的对数，以_为底的对数称为自然对数，并把logeN简记作_(3)常见结论：负数和零没有对数；loga1_；logaa_；alogaN_.【做一做11】 3b5化为对数式是( )Alogb35 Blog35bClog5b3 Dlog53b【做一做12】 log117x化为指数式是( )A7x11 B11x7Cx711 Dx1172对数的运算性质如果a0，a1，M0，N0，则：(1)loga(MN)_；(2)logaMn_(nR)；(3)loga_. 注意：loga(MN)(logaM)(logaN)，loga(MN)logaMlo
3、gaN，loga.积的对数变加法，商的对数变减法，幂的乘方取对数，要把指数提到前【做一做2】 若a0，a1，xy0，下列式子中正确的个数是( )logaxlogayloga(xy)；logaxlogayloga(xy)；logalogaxlogay；loga(xy)logaxlogay.A0 B1 C2 D3答案：1(1)blogaN底数真数(2)10lg NelnN(3)01N【做一做11】 B【做一做12】 B2(1)logaMlogaN(2)nlogaM(3)logaMlogaN【做一做2】 A 1如何理解对数的概念及性质？剖析：由于abNblogaN，故借助指数来分析理解对数的概念及性
4、质(1)对数式logaNb是由指数式abN变换而来的，两式底数相同，对数式中的真数N就是指数式中的幂的值N，而对数值b是指数式中的幂指数对数式与指数式的关系如图所示在指数式abN中，若已知a，N求幂指数b，便是对数运算blogaN.(2)对数记号logaN只有在a0，a1，N0时才有意义因为在abN中，a0，a1，所以在logaN中，a0，a1.又因为正数的任何次幂都是正数，即ab0(a0)，故Nab0.(3)并不是所有的指数式都能直接改写成对数式，如(2)24不能写成log242，只有在a0，a1，N0时，才有abNblogaN.2如何正确运用对数的运算法则？剖析：(1)在运算过程中避免出现
5、以下错误：loga(MN)logaMlogaN.loga.logaNn(logaN)n.logaMlogaNloga(MN)(2)注意前提条件：a0，a1，M0，N0，尤其是M，N都是正数这一条件，否则M，N中有一个小于或等于0，就导致logaM或logaN无意义，另外还要注意，M0，N0与MN0并不等价(3)要注意对数运算法则的逆用题型一 指数式与对数式的互化【例1】 (1)将对数式3化为指数式；(2)将指数式216化为对数式；(3)求式子log2(log5x)0中的x.分析：利用abNblogaN.反思：对数的定义是对数形式和指数形式互化的依据，而对数形式与指数形式的互化又是解决问题的重要
6、手段题型二 化简、求值【例2】 计算下列各式的值：(1)log2log212log242；(2)lg 52lg 8lg 5lg 20(lg 2)2.分析：利用对数运算性质进行计算反思：对于同底的对数的化简，常用方法是：(1)“收”，将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数，如本题(1)；(2)“拆”，将积(商)的对数拆成对数的和(差)，如本题(2)题型三 对数基本性质的应用【例3】 求下列各式中x的值(1)log2(log4x)0；(2)log3(lg x)1；(3) x.分析：解答本题可利用对数的基本性质及对数与指数之间的关系求解反思：1.对数的性质：(1)零和负数没有对数(2)设a0，a
7、1，则有a01.所以loga10.即1的对数等于0.(3)设a0，a1，则有a1a，所以logaa1，即底数的对数为1.2利用“底数”和“1”的对数的值为“1”和“0”，有利于化简和计算题型四 用已知对数表示其他对数【例4】 用logax，logay，logaz表示下列各式：(1)loga；(2)loga.分析：应用对数的运算性质解决反思：用已知对数表示其他对数时，关键是应用对数运算性质，将真数“拆”成已知对数的真数形式题型五 易错辨析易错点 忽略真数大于0导致出错【例5】 已知lg xlg y2lg(x2y)，求的值错解：因为lg xlg y2lg(x2y)，所以xy(x2y)2，即x25x
8、y4y20.所以(xy)(x4y)0，解得xy或x4y.则1或4，所以0或4.错因分析：错解中忽略了lg xlg y2lg(x2y)成立的前提是即x2y0，在求出x，y的关系后未检验是否满足前提条件，从而导致产生增根答案：【例1】 解：(1)因为3，所以327.(2)因为216，所以2.(3)因为log2(log5x)0，所以log5x1，则x515.【例2】 解：(1)原式log2log2.(2)原式2lg 52lg 2lg 5(1lg 2)(lg 2)22(lg 5lg 2)lg 5lg 2(lg 5lg 2)2lg 5lg 2213.【例3】 解：(1)log2(log4x)0，log4
9、x201.x414.(2)log3(lg x)1，lg x313.x1031 000.(3)x，(1)x1.x1.【例4】 解：(1)loga loga(xy)logazlogaxlogaylogaz；(2)loga loga(x2 )loga logax2loga loga 2logaxlogaylogaz.【例5】 正解：因为lg xlg y2lg(x2y)，所以xy(x2y)2，即x25xy4y20.所以(xy)(x4y)0，解得xy或x4y.因为x0，y0，x2y0，所以xy应舍去则4，所以 1 (2011长春高一期末)下列指数式与对数式互化不正确的一组是( )Ae01与ln 10B与
10、Clog392与3Dlog771与7172 在blog2(5a)中，实数a的取值范围是( )Aa5 Ba0 Ca5 DR3 (2011浙江台州高一期末)log2的值是( )A B. C D.4 若log30，则x_.5 已知log23a，log25b，用a，b表示下列各式：(1)log20.6；(2)log2；(3)log2.答案：1C选项C中，log392的指数式为329.2C由对数的定义，知5a0a5.3Dlog2.44由题意得1，解得x4，经检验x4是原方程的根5解：(1)log20.6log2 log23log25ab.(2)log2 log2(352)(log23log25log22)(ab1)(3)log2log2125log233log25a3b.5