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1、2013 年高考数学复习专题系列-立体几何部分第 1 页 共 25 页第六部分第六部分 立体几何立体几何一，常见结论一，常见结论1、简单旋转体的结构特征对比：、简单旋转体的结构特征对比：结构特征球圆柱圆锥圆台母线无母线都平行且相等所有的母线都相等且交于顶点所有的母线都相等延长交于一点底面无两底面平行相等圆一个底面圆两底面平行不等圆平行于底截面球的任何截面都是圆与底面相等的圆与底面不等的圆与底面不等的圆轴截面大圆矩形等腰三角形等腰梯形侧面展开图不可展开矩形扇形扇环2、简单多面体的结构特征对比：简单多面体的结构特征对比：结构特征棱柱棱锥棱台底面平行且全等多边形多边形平行相似多边形侧面平行四边形三角
2、形梯形侧棱平行且相等相交于一点延长线交于一点平行于底的截面与底面全等的多边形与底面相似多边形与底面相似多边形过不相邻侧棱的截面平行四边形三角形梯形3、简单几何体的表面积和体积简单几何体的表面积和体积（1）圆柱、圆锥、圆台、球的表面积(c是底面周长，l为母线长)圆柱的侧面积:2Sclrl，表面积)(2222lrrrlrS；圆锥的侧面积12Sclrl，表面积)(2lrrrlrS；圆台的侧面积12121()()2Scc ll rr，表面积)(222121rrlrlrS；球的表面积24 RS（2）简单几何体的体积棱柱和圆柱的体积hSV；棱锥和圆锥的体积hSV31；棱台和圆台的体积hSSSSV）下下上上
3、(31；球的体积334RV。4、三视图的投影规律：、三视图的投影规律：主、俯视图长对正；主、左视图高平齐；俯、左视图宽相等5 5、空间图形的公理、空间图形的公理公理公理 1 1：文字语言：文字语言：如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内（即直线在平面内）。2013 年高考数学复习专题系列-立体几何部分第 2 页 共 25 页符号语言：符号语言：,Al Bl ABl。应用：应用：证明或说明点在平面内，线在平面内。公理公理 2 2：文字语言文字语言:经过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面（即可以确定一个平面）。符号语言符号语言：若ABC直线点，则点A、B、C确定一
4、个平面，又可记作：平面ABC。推论 1 经过直线和直线外的一点，确定一个平面；推论 2 经过两相交直线，确定一个平面；推论 3 经过两平行直线，确定一个平面。应用：应用：证明点或线共面,确定平面。公理公理 3 3：文字语言：文字语言：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条经过这个点的公共直线。符号语言：符号语言：,Aa Aa。应用：应用：证明多点共线，多线公点，判定两平面相交。公理公理 4 4：文字语言：文字语言：平行于同一直线的两条直线平行。符号语言：符号语言：/,/ab bcac。应用：应用：证明线线平行。6 6、线面、面面、线线平行的证明方法、线面、面面、线线平行的证明方
5、法(1)(1)线面平行的证明：/,/mn mnm（线线平行线面平行）/,/mm（面面平行线面平行）,/nnmm（直线所在的向量和平面的法向量垂直）(2)面面平行的证明：,/,/ababA ab（线面平行面面平行）,/,/ababA cdcdB ac bd（线线平行面面平行）/,/（面面平行传递性）,/aa,/nmnm(两平面的法向量平行)(3)线线平行的证明：/,/ab bcac（线线平行传递性）/,/aabab（线面平行线线平行）/,/abab（面面平行线线平行）,/abab2013 年高考数学复习专题系列-立体几何部分第 3 页 共 25 页7 7、线面、面面、线线垂直的证明方法、线面、面
6、面、线线垂直的证明方法(1)(1)线面垂直的证明：,am an mnmnAa（线线垂直线面垂直）,l aala （面面垂直线面垂直）/,ab ba/,aa,/mama(2)面面垂直的证明：,aa（线面垂直面面垂直）,mnmn(3)线线面垂直的证明：0a babab,abab8 8、空间角的求法、空间角的求法（1 1）异面直线所成的角:范围：(0,2求法：【方法一】平移法：把两条直线平移到同一个平面内求解【方法二】向量法：设异面直线,m n的夹角为，它们的方向向量分别为,m n，则|cos,|cosm n；（2 2）直线与平面所成的角:范围：(0,2求法：设直线l与平面所成角为【方法一】定义法：
7、如图 1，设直线l与平面的交点为A，在直线l上取一点P，过P作平面的垂线，垂足是O，则PAO就是设直线l与平面所成角，然后在Rt POA计算即可【方法二】向量法：设直线l的方向向量为l，平面的法向量为n，则|cos,|sinl n，即,2l n 或者,2l n；2013 年高考数学复习专题系列-立体几何部分第 4 页 共 25 页（3 3）二面角:范围：(0,)求法：设平面与平面所成角为，l，【方法一】定义法：在两个平面的交线l上取一点O，过O分别在平面,内作l的垂线，公共垂足是O，即,OAl OBl所以平面与平面所成角为就是AOB；【方法二】如图 2，在平面（或）中任取一点A，向另一平面（或
8、）作垂线，垂足为B，即AB（或AB），然后过A向交线l作垂线，垂足为O，即AOl，连接OB，则交线l垂直于平面AOB，即,lAO lABAOB；【方法三】向量法：设平面的法向量为n，平面的法向量为m，则|cos,|cos|m n 即（1）当两个平面的法向量n，m的方向都指向两个平面的内部或外部时，,m n ；（2）当两个平面的法向量n，m的方向一个指向平面的内部（或外部），另一个指向平面的外部（或内部）时，,m n;如图 3 所示；9、空间距离的求法：、空间距离的求法：（1）空间中的距离分三类：点到平面的距离：直线和平面平行的线面距离：转化为点到平面距离两个平行平面的面面距离：转化为点到平面距
9、离即点到平面的距离，直线和平面平行的线面距离，两个平行平面的面面距离都是转化为点到平面距离来求；（2）点到平面距离的定义：2013 年高考数学复习专题系列-立体几何部分第 5 页 共 25 页过点向已知平面作垂线，则点和垂足构成的线段就是点到平面的距离；如图 4 所示：AO，垂足是O，则点A到平面距离就是AO；(3)求法：【方法一】定义法：先作后求【方法二】等体积法：【方法三】向量法：在平面内任取一点B，设平面的法向量为n，则|AB ndn 原因如下：如图 5 所示，点A到平面距离就是AO，设AOd，在Rt AOB中，|cosdABBAO|cos|cos,|AB nAB nAB nBAOAB
10、ndABAB nAB nn ，10、空间直角坐标系中点的坐标：、空间直角坐标系中点的坐标：（1）空间直角坐标系中点的坐标的如何确定：设空间中有一点(,)P x y z，则点P的横坐标的绝对值是它到yoz平面的距离，点P的纵坐标的绝对值是它到xoz平面的距离，点P的竖坐标的绝对值是它到xoy平面的距离；（2）空间直角坐标系中特殊点的坐标若点P在原点，则点P的坐标为(0,0,0)；若点P在 x 轴上，则点P的坐标为(,0,0)x；若点P在 y 轴上，则点P的坐标为(0,0)y；若点P在 z 轴上，则点P的坐标为(0,0,)z；若点P在xoy平面上，则点P的坐标为(,0)x y；若点P在yoz平面上
11、，则点P的坐标为(0,)y z；2013 年高考数学复习专题系列-立体几何部分第 6 页 共 25 页若点P在xoz平面上，则点P的坐标为(,0,)xz；若点P在空间上，则点P的坐标为(,)x y z；二，例题分析二，例题分析例例 1、（12 新课标文新课标文、理理 7）如图 6，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（）A、6B、9C、D、【解析】此题考查三视图、锥体的体积计算公式、考查学生的空间想象能力；由已知三视图可知，该几何体是三棱锥，底面 是 俯 视 图，高 为3，所 以 几 何 体 的 体 积 为93362131V，选 B；例例 2、（12 新
12、课标理新课标理 11）已知三棱锥SABC的所有顶点都在球O的球面上，ABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且2SC；则此棱锥的体积为（）A、26B、36C、23D、22【解析】此题考查球的性质、点到平面的距离、锥体体积的计算公式、考查学生的空间想象能力和转化化归思想的应用；【解法一】直接法：ABC的外接圆的半径33r，点O到面ABC的距离2263dRr,SC为球O的直径点S到面ABC的距离为2 623d，此棱锥的体积为1132 62233436ABCVSd，所以选 A【解法二】排除法：因为13236ABCVSR排除,B C D,选 A.例例 3、（12 新课标文新课标文 8）平面截球
13、O 的球面所得圆的半径为 1，球心 O 到平面的距离为2，则此球的体积为（）A、6B、4 3C、4 6D、6 3【解析】此题考查球的截面、球的性质、球的体积的计算公式；球半径3)2(12r，所以球的体积为34)3(343，选 B.例例 3、（12 全国文全国文 8、理、理 4）已知正四棱柱1111ABCDABC D中，2AB，12 2CC，2013 年高考数学复习专题系列-立体几何部分第 7 页 共 25 页E为1CC的中点，则直线1AC与平面BED的距离为（）A、2B、3C、2D、1【解析】此题考查空间中距离的计算、考查学生的等价转化和化归思想的应用、考查学生的运算求解能力；如图 7 所示，
14、连结BDAC,交于点O，连结OE，因为EO,是中点，所以1/ACOE,且121ACOE，所以BDEAC/1，即直线1AC与平面 BED 的距离等于点C到平面 BED 的距离，过C做OECF 于F,则CF即为所求距离.因为底面边长为2，高为22，所以22AC,2,2CEOC,2OE,所以利用等积法得1CF，选 D.例例 4.（12 陕西文陕西文 8）将正方形（如图 8 所示）截去两个三棱锥，得到图 9 所示的几何体，则该几何体的左视图为（）2013 年高考数学复习专题系列-立体几何部分第 8 页 共 25 页【解析】此题考查三视图知识、考查学生的空间想象能力；根据空间几何体的三视图的概念易知左视
15、图1AD是实线CB1是虚线，故选 B.例例 5、（12 江西文江西文 7）若一个几何体的三视图如图 10 所示，则此几何体的体积为（）A、112B、5C、4D、92【解析】此题考查三视图、柱体的体积计算公式、考查学生的空间想象能力；由三视图可知这是一个高为1 的 直 六 棱 柱。底 面 为 六 边 形 的 面 积 为421231）（，所以直六棱柱的体积为414，选 D.此题题容易把底面六边形看成是边长为 1 的正六边形，其实只有上下两个边长是 1.例例 6、（12 湖南文湖南文 4、理、理 3）某几何体的正视图和侧视图均如图 11 所示，则该几何体的俯视图不可能是（）【解析】此题考查空间几何体
16、的三视图、考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力；此题是组合体的三视图问题，由几何体的正视图和侧视图均如图 1 所示知，原图下面图为圆柱或直四棱柱，上面是圆柱或直四棱柱或下底是直角的三棱柱，都可能是该几何体的俯视图，不可能是该几何体的俯视图，因为它的正视图上面应为如图的矩形.2013 年高考数学复习专题系列-立体几何部分第 9 页 共 25 页例例 7、（12 广东理广东理 6）某几何体的三视图如图 12 所示，它的体积为（）A、12B、45C、57D、81【解析】此题考查空间几何体的三视图、空间组合体的体积的计算、考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力；该几何体是一个组合体，上部是一个圆锥，下部
17、是一个圆柱，如图13 所 示，根 据 三 视 图 中 的 数 量 关 系，可 得57533-53312222圆柱圆锥VVV，所以选 C；例例 8、（12 四川理四川理、文文 14）如图 13，在正方体1111ABCDABC D中，M、N分别是CD、1CC的中点，则异面直线1AM与DN所成角的大小是_。【解析】本题主要考查空间中直线与直线，直线与平面的位置关系，以及异面直线所成角的求法，有两种方法：一是定义法，二是向量法；【解法一】定义法：连接1MD，则DNMD 1,又DNDA11，易知11MDADN面，所以1AM与DN所成角的大小是2；2013 年高考数学复习专题系列-立体几何部分第 10 页
18、 共 25 页【解法二】：坐标法：建立如图 13 所示的空间直角坐标系，设正方体棱长为 1，则1111(0,1,1),(0,0,0),(,0,0),(,0,)222ADMN111111(1)0()11112222(,1,),(,0,)cos,022221111014444AMDNAM DN 1AMDN，所以异面直线1AM与DN所成角的大小是2；例例 9、（12 浙江文浙江文 5）设l是直线，是两个不同的平面（）A、若/,/ll，则/B、若/,ll，则C、若,l，则lD、若,/l，则l【解析】此题考查空间中线面、面面垂直或平行的判定、考查学生的推理论证能力；利用排除法可得选项 B 是正确的，平行
19、的传递性适合于线线线、面面面之间，二者的混合不具有传递性，即/,/ab bcac；/,/，所以 A 错误；若,l，则/l或l，所以 C 错误；若,/l，则l或/l，所以 D 错误；故选 B；例例 9、（12 四川文四川文 6、理、理 6）下列命题正确的是（）A、若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行B、若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行C、若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行D、若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行【解析】此题考查空间中线面、面面位置关系的判定、考查学生的推理论证能力；对于 A，两直线可能平行，可能相交
20、，可能异面故 A 不正确；对于 B，两平面平行或相交，所以 B不正确；C 项正确；D 中这两个平面平行或相交，所以错误；故选 C例例 1010、（1111 辽宁理辽宁理 8 8）如图 14，四棱锥SABCD的底面为正方形，SDABCD 底面，则下列结论中不正确的是（）A、ACSBB、/ABSCD平面C、SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角D、AB与SC所成的角等于DC与SA所成的角【解析】选 D.四棱锥SABCD的底面为正方形，ACBD，又SDABCD 底面，所以SDAC，从而ACSBD 面，故ACSB，所以 A 正确；由/ABCD，可得/ABSCD平面，所以 B 正确；选项
21、A 中已证得ACSBD 面，又SASC，所以SA与平面SBD所成的角SAC等于SC与平面SBD所2013 年高考数学复习专题系列-立体几何部分第 11 页 共 25 页成的角SCA，所以 C 正确；AB与SC所成的角为SCD，此为锐角，而DC与SA所成的角即AB与SA所成的角，此为直角，二者不相等,所以 D 正确例例 11、（08 山东理山东理 6）如图 15 是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是（）A、9B、10C、11D、12【解析】考查三视图与几何体的表面积、考查学生的空间想象能力和运算求解能力。从三视图 可 以 看 出 该 几 何 体 是 由 一 个 球 和 一
22、个 圆 柱 组 合 而 成 的，其 表 面 及 为22411221 312S 选 D例例 12、（09 山东理山东理 4）一空间几何体的三视图如图 16 所示，则该几何体的体积为（）A、22 3B、42 3C、2 323D、2 343【解析】本题考查了立体几何中的空间想象能力,由三视图能够想象得到空间的立体图,并能准确地计算出.几何体的体积；该空间几何体为一圆柱和一四棱锥组成的,圆柱的底面半径为2013 年高考数学复习专题系列-立体几何部分第 12 页 共 25 页1,高为 2,体积为2,四棱锥的底面边长为2，高为3，所以体积为212 3(2)33 所以该几何体的体积为2 323.答案:C例例
23、 1313、（1111 江西理江西理 8 8）已知1，2，3是三个相互平行的平面平面1，2之间的距离为1d，平面2，3之间的距离为2d直线l与1，2，3分别相交于1P，2P，3P，那么“12PP=23P P”是“12dd”的（）A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充分必要条件D、既不充分也不必要条件【解析】此题考查两平行平面的距离的定义、转化为点到平面距离、考查学生的推理论证能力；过点1P作平面2的垂线 g,交平面2，3分别于点 A、B 两点,由两个平面平行的性质可知2P A3PB,所以121122PPdPPd,故选 C.例例 14、（11 年陕西理年陕西理 16）（本小题满分 12
24、分）如图 17，在ABC 中，ABC=60，BAC90，AD 是 BC 上的高，沿 AD 把ABD折起，使BDC90（1）证明：平面 ADB平面 BDC；（2）设 E 为 BC 的中点，求AE 与DB 夹角的余弦值【解析】（1）确定图形在折起前后的不变性质，如角的大小不变，线段长度不变，线线关系不变，再由面面垂直的判定定理进行推理证明；（2）在（1）的基础上确定出三线两两垂直，建立空间直角坐标系，利用向量的坐标和向量的数量积运算求解（1）折起前 AD 是 BC 边上的高，当ABD 折起后，ADDC，ADDB，又DBDCD，AD平面 BDC，AD平面 ABD，平面 ABD平面 BDC（2）由BD
25、C90及（1）知 DA，DB，DC 两两垂直，不妨设|DB|=1，以 D 为坐标原点，以DB，DC，DA 所在直线为,x y z轴建立如图 18 所示的空间直角坐标系，易得：2013 年高考数学复习专题系列-立体几何部分第 13 页 共 25 页D(0,0,0),B(1,0,0),C(0,3,0),A(0,0,3),E(12,32,0)，所以1 3(,3)2 2AE ，(1,0,0)DB ，1222cos,222214AE DBAE DBAEDB 所以AE 与DB 夹角的余弦值是2222例例 15、（07 山东理山东理 19）（本小题满分 12 分）如图 19,在直四棱柱1111ABCDABC
26、 D中,已知122DCDDADAB,ADDC,ABDC.(I)设E是DC的中点,求证:11D EABD平面;(II)求二面角11ABDC的余弦值.【解析】此题考查线面平行问题的证明和二面角的求法、考查学生的运算求解能力和空间想象能力；此题适合于利用向量求解，根据现有图形建立空间直角坐标系，正确写出点的坐标和向量的坐标是做对的关键所在；(I)连结BE，则四边形DABE为正方形，11BEADAD，且11BEADAD，11AD EB四边形为平行四边形，11D EAB.1111D EABDABABD平面，平面，11.D EABD平面(II)以 D 为原点，1,DA DC DD所在直线分别为x轴、y轴、
27、z轴，建立如图 20 所示的空间直角坐标系，不妨设1DA，则11(0,0,0),(1,0,0),(1,1,0),(0,2,2),(1,0,2).DABCA1(1,0,2),(1,1,0).DADB 设(,)nx y z为平面1ABD的一个法向量，由1,nDA nDB 得200 xyxy，取1z，则(2,2,1)n .设111(,)mx y z为 平 面1C BD的 一 个 法 向 量，由,mDC mDB 得11112200yzxy，取11z,则(1,1,1)m.33cos,.393m nm nm n 由于该二面角11ABDC为锐角，所以所求的二面角11ABDC的余弦值为3.3例例 16、（12
28、 全国文全国文 19）如图 21，四棱锥PABCD中，底面ABCD为菱形，PA 底面ABCD，2 2AC，2PA，E是PC上的一点，2PEEC2013 年高考数学复习专题系列-立体几何部分第 14 页 共 25 页（）证明：PC 平面BED；（）设二面角APBC为 90，求PD与平面PBC所成角的大小【解析】此题主要是考查了四棱锥中关于线面垂直的证明以及线面角的求解的运用。从题中的线面垂直以及边长和特殊的菱形入手得到相应的垂直关系和长度，并加以证明和求解。可采用两种方法证明（1）【证明方法一】设ACBDO，连接OE，因为PA 底面ABCD，所以PAC是直角三角形，所以222 3PCACPA，2
29、262cos3EOECCOECCOECO2222EOECCOCEOPCEO，又因为PABDBDPCACBDBDPACEOPCPCBDEPAACAEOBDE（1）设ACBDO,/OMABCD OMPA，以O为原点，OC为x轴，OD为y轴，OM为z轴建立如图 22 所示的空间直角坐标系，则(2,0,0),(2,0,0),(2,0,2)ACP，设(0,0),(0,0),(,)BaCaE x y z。【证 明 方 法 二】由2PEEC，则22(,0,)33E，所 以22(2 2,0,2),(,)33PCBEa ，(0,2,0)BDa，所以22(2 2,0,2)(,)033PC BEa ，(2 2,0,
30、2)(0,2,0)0PC BDa ，所以,PCBE PCBDPCBDE ；（）设平面PAB的法向量为(,)nx y z，(0,0,2),(2,0)APABa ，由2002(1,0)200zn APnaxayn AB ，设 平面PBC的法向量为(,)mx y z，又(2,0),(2 2,0,2)BCaCP ，由2013 年高考数学复习专题系列-立体几何部分第 15 页 共 25 页0202(1,2)02 220m BCxaymam CPxz ，因为二面角APBC为90，所以02m na；所以(2,2,2)PD ，平面PBC的法向量为(1,1,2)m，所以PD与平面PBC所成角的正弦值为|12|P
31、D mPDm ，所以PD与平面PBC所成角为 30；三，反馈练习三，反馈练习1、（12 陕 西 理陕 西 理 5）如 图 23，在 空 间 直 角 坐 标 系 中 有 直 三 棱 柱111ABCABC，12CACCCB，则直线1BC与直线1AB夹角的余弦值为（）A、55B、53C、2 55D、352、（12 广东文广东文 7）某几何体的三视图如图 24 所示，它的体积为（）A、72B、48C、30D、243 3、（1111 辽宁理辽宁理 1515）一个正三棱柱的侧棱长和底面边长相等，体积为32，它的三视图中的俯视图如图 25 所示，左视图是一个矩形，则这个矩形的面积是4、（12 天津理天津理
32、10）一个几何体的三视图如图 26 所示（单位：m），则该几何体的体积为_m3.2013 年高考数学复习专题系列-立体几何部分第 16 页 共 25 页5、（12 湖北理湖北理 4）已知某几何体的三视图如图 27 所示，则该几何体的体积为（）A、83B、3C、103D、66、（07 山东理山东理 3）下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是（）A、(1),(2)B、(1),(3)C、(1),(4)D、(2),(4)7、（12辽宁辽宁理理13）一个几何体的三视图如图28所示，则该几何体的表面积为_。8、（12 山东山东理理 14）如图 29，正方体1111ABCDABC D的棱长为 1
33、，,E F分别为线段11,AA BC上的点，则三棱锥1DEDF的体积为_.9、（12 浙江文浙江文 3）已知某三棱锥的三视图（单位：cm）如图 30 所示，则该三棱锥的体积是2013 年高考数学复习专题系列-立体几何部分第 17 页 共 25 页（）A、1cm3B、2cm3C、3cm3D、6cm310、（12 上海文上海文 5）一个高为 2 的圆柱，底面周长为2，该圆柱的表面积为11、（12 湖北文湖北文 15）已知某几何体的三视图如图 31 所示，则该几何体的体积为_.1212、（1 12 2辽宁辽宁文文1313）一个几何体的三视图如图32所示，则该几何体的体积为_.1313、（1212 江
34、苏江苏 7 7）如图33，在长方体1111ABCDABCD中，3cmABAD，12cmAA，则四棱锥11ABB D D的体积为3cm14、（12 天津文科天津文科 10）一个几何体的三视图如图 34 所示（单位：m）,则该几何体的体积3m.15、（12 安徽文安徽文 12）某几何体的三视图如图 35 所示，则该几何体的体积等于_。2013 年高考数学复习专题系列-立体几何部分第 18 页 共 25 页16、（12 山东文山东文 13）如图 36，正方体1111ABCDABC D的棱长为 1，E 为线段1B C上的一点，则三棱锥1ADED的体积为17、（12 全国文全国文 16）已知图 37 正
35、方体1111ABCDABC D中，E、F分别为11BBCC、的中点，那么异面直线AE与1D F所成角的余弦值为_.18、（10 山东理山东理 3）在空间，下列命题正确的是（）A、平行直线的平行投影重合B、平行于同一直线的两个平面平行C、垂直于同一平面的两个平面平行D、垂直于同一平面的两条直线平行19、（11 山东理山东理 11）图 38 是长和宽分别相等的两个矩形。给定三个命题：存在三棱柱，其正（主）视图、俯视图如右图；存在四棱柱，其正（主）视图、俯视图如右图；存在圆柱，其正（主）视图、俯视图如右图。其中真，命题的个数是（）A、3B、2C、1D、020、（11 陕西理陕西理 5）某几何体的三视
36、图如图 39 所示，则它的体积是（）A、283B、83C、82D、232013 年高考数学复习专题系列-立体几何部分第 19 页 共 25 页21、（12 安徽文安徽文 19）（本小题满分 12 分）如图 41，长方体1111DCBAABCD中，底面1111DCBA是正方形，O是BD的中点，E是棱1AA上任意一点。（）证明：BD1EC；（）如果AB=2，AE=2，1ECOE,，求1AA的长。22、（12 山东文山东文 19）(本小题满分 12 分)如 图 42，几 何 体EABCD是 四 棱 锥，ABD为 正 三 角 形，,CBCD ECBD.()求证：BEDE；()若120BCD，M 为线段
37、 AE 的中点，求证：DM平面BEC.23、(12 广东文广东文 18)本小题满分 13 分）如图 43 所示，在四棱锥PABCD中，AB 平面PAD，/ABCD，PDAD，E是PB的中点，F是CD上的点且12DFAB，PH为PAD中AD边上的高.（1）证明：PH 平面ABCD；（2）若1PH，2AD，1FC，求三棱锥EBCF的体积；（3）证明：EF 平面PAB.2013 年高考数学复习专题系列-立体几何部分第 20 页 共 25 页2424、（1212 江苏江苏 1616）（1414 分）分）如图45，在直三棱柱111ABCABC中，1111ABAC，DE，分别是棱1BCCC，上的点（点D不
38、同于点C），且ADDEF，为11BC的中点求证：（1）平面ADE 平面11BCC B（2）直线1/AF平面ADE2525、（1111 北京理北京理 1616）（本小题共 14 分）如图 46，在四棱锥PABCD中，PA 平面ABCD，底面ABCD是菱形，2,60ABBAD.()求证：BD 平面;PAC（）若,PAAB求PB与AC所成角的余弦值；（）当平面PBC与平面PDC垂直时，求PA的长.【参考答案】【参考答案】1、【解析】此题考查空间直角坐标系中点的坐标如何确定、异面直线所求成的角的求法、考查学生的运算求解能力；设aCB|，则aCCCA2|1，),2,0(),0,2,0(),0,0(),0
39、,0,2(11aaBaCaBaA，),2,0(),2,2(11aaBCaaaAB，55|,cos111111BCABBCABBCAB，故选 A.2、【解析】此题考查三视图知识、空间几何体的体积计算公式、考查学生的空间想象能力、运算求解能力；该几何体是圆锥和半球体的组合体，则它的体积2311 43433032 3VVV 圆锥半球体3 3、【解析】设棱长为a，由体积为32可列等式aa24332，2a，所求矩形的底边长为323a，这个矩形的面积是32234、【解析】此题考查空间几何体的组合体的三视图知识、空间几何体的体积计算公式、考查学生的空间想象能力、运算求解能力；根据三视图可知，这是一个上面为长
40、方体，下面有两2013 年高考数学复习专题系列-立体几何部分第 21 页 共 25 页个直径为 3 的球构成的组合体，两个球的体积为9)23(3423，长方体的体积为18631，所以该几何体的体积为918。5、【解析】此题考查空间几何体的组合体的三视图知识、空间几何体的体积计算公式、考查学生的空间想象能力、运算求解能力；解决的关键是根据三视图还原出几何体，确定几何体的形状，然后再根据几何体的形状计算出体积；显然有三视图我们易知原几何体为 一个圆柱体的一部分，并且有正视图知是一个 1/2 的圆柱体，底面圆的半径为 1，圆柱体的高为 6，则知所求几何体体积为原体积的一半为3；6、【解析】此题考查几
41、何体的三视图知识、考查学生的空间想象能力；从选项看只要判断正方体的三视图都相同就可以选出正确答案 D7 7、【解析】本题主要考查几何体的三视图、柱体的表面积公式，考查空间想象能力、运算求解能力；本题解决的关键是根据三视图还原出几何体，确定几何体的形状，然后再根据几何体的形状计算出表面积。由三视图可知该几何体为一个长方体在中间挖去了一个等高的圆柱，其中长方体的长、宽、高分别为 4、3、1，圆柱的底面直径为 2，所以该几何体的表面积为长方体的表面积加圆柱的侧面积再减去圆柱的底面积，即为2(3 44 1 3 1)21 1238 8、【解析】此题考查三棱锥体积的计算、考查学生的运算求解能力和利用转化和
42、化归思想解决问题的能力；求三棱锥的体积，关键是求三棱锥的高，转化为点到平面距离求解；【解法一】：因为E点在线段1AA上，所以2111211DEDS，又因为F点在线段CB1上，所以点F到平面1DED的距离为1,即1h，所以611213131111hSVVDEDDEDFEDFD.【解法二】：使用特殊点的位置进行求解，不失一般性令E点在A点处，F点在C点处，则61111213131111DDSVVADCADCDEDFD。9、【解析】本题主要考查几何体的三视图、三棱锥的体积计算公式，考查空间想象能力、运算求解能力；由题意判断出，底面是一个直角三角形，两个直角边分别为 1 和 2，整个棱锥的高由侧视图可
43、得为 3，所以三棱锥的体积为111 2 3132 .10、【解析】此题考查圆柱的定义、圆柱的表面积计算公式、考查学生的运算求解能力；因为底面圆的周长22r，所以圆柱的底面半径1r，所以圆柱的侧面积为4两个底面积为222r。，所以圆柱的表面积为6。1111、【解析】此题考查空间几何体的组合体的三视图知识、空间几何体的体积计算公式、考查学生的空间想象能力、运算求解能力；解决的关键是根据三视图还原出几何体，确定几何体的形状，然后再根据几何体的形状计算出体积；由三视图可知，该几何体是由左右两个相同的圆柱（底面圆半径为 2，高为 1）与中间一个圆 柱（底 面 圆 半 径 为 1，高 为 4）组 合 而
44、成，故 该 几 何 体 的 体 积 是2013 年高考数学复习专题系列-立体几何部分第 22 页 共 25 页2221 21412V.1212、【解析】本题主要考查几何体的三视图、柱体的体积公式，考查空间想象能力、运算求解能力，属于容易题。本题解决的关键是根据三视图还原出几何体，确定几何体的形状，然后再根据几何体的形状计算出体积；由三视图可知该几何体为一个长方体和一个等高的圆柱的组合体，其中长方体的长、宽、高分别为 4、3、1，圆柱的底面直径为 2，高位 1，所以该几何体的体积为3 4 11 112 1313、【解析】此题考查正方形的性质，棱锥的体积的计算。长方体底面ABCD是正方形，ABD中
45、=3 2BDcm，BD边上的高是322cm（它也是11ABB D D中11BB D D上的高）。四棱锥11ABB D D的体积为133 222=632。14、【解析】本题考查了几何体的三视图，空间几何体的体积.意在考查考生的空间想象能力、识图能力与基本运算求解能力；先由三视图还原几何体，后求其体积.由题可知此几何体是由两个棱柱组成，其底面分别是矩形和直角梯形，其体积为(12)3 2 41 4302 15、【解析】本题考查了几何体的三视图，空间几何体的体积.意在考查考生的空间想象能力、识图能力与基本运算求解能力；该 几 何 体 是 底 面 是 直 角 梯 形，高 为4的 直 四 棱 柱，几 何
46、体 的 的 体 积 是1(25)4 4562V 。16、【解析】此题考查三棱锥体积的计算、考查学生的运算求解能力和利用转化和化归思想解决问题的能力；求三棱锥的体积，关键是求三棱锥的高，即为点到平面距离；因为E点在线段CB1上，所以2111211DEDS，又因为F点在线段CB1上，所以点F到平面1DED的距离为 1,即1h，所以611213131111hSVVDEDDEDFEDFD17、【解析】此题考查空间直角坐标系中点的坐标如何确定、异面直线所求成的角的求法、考查学生的运算求解能力；如图 37 连接FDDF1,，则AEDF/,所以DF与FD1所成的角即为异面直线所成的角，设边长为 2，则51F
47、DDF，在三角形FDD1中53552455cos1FDD.18、【解析】本题考查空间直线与平面的位置关系及线面垂直与平行的判定与性质，属基础题。由空间直线与平2013 年高考数学复习专题系列-立体几何部分第 23 页 共 25 页面的位置关系及线面垂直与平行的判定与性质定理可以很容易得出答案选 D19、【解析】此题考查三视图知识、考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力；均是正确的，只需底面是等腰直角三角形的直四棱柱，让其直角三角形直角边对应的一个侧面平卧；直四棱柱的两个侧面是正方形或一正四棱柱平躺；圆柱平躺即可使得三个命题为真，所以选 A。20、【解析】此题考查三视图知识、考查组合体的几何体的体
48、积计算公式；根据已知的三视图想象出空间几何体，然后由几何体的组成和有关几何体体积公式进行计算由几何体的三视图可知几何体为一个组合体，如图 40 所示，即一个正方体中间去掉一个圆锥体，所以它的体积是3218222833V.选 A21、【解析】此题考查空间线线、线面、面面的位置关系的判定，利用勾股定理求线段的长度等知识；证明线线垂直通常转化为证明线面垂直，注意充分利用长方体的一些性质来解决问题，考查学生的空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力；（I）连接AC，11/,AECCE A C C共面长方体1111DCBAABCD 中，底面1111DCBA是正方形,ACBD EABD ACEAABD面1
49、EACC1BDEC（）在矩形11ACC A中，111OEECOAEEAC 得：11111223 222 2ACAAAEAAAOEA22、【解析】此题考查线面平行问题的证明；考查空间想象、转化与划归的能力；线线平行线面平行面面平行是有关平行的几何问题的常用转化方法；()设BD中点为 O，连接 OC，OE，则由BCCD知，COBD，又已知CEBD，所以BD 平面 OCE.所以BDOE，即 OE 是 BD 的垂直平分线，所以BEDE.()取 AB 中点 N，连接,MN DN，M 是 AE 的中点，MNBE，ABD是等边三角形，DNAB.由BCD120知，CBD30，所以ABC60+3090，即BCA
50、B，所以 NDBC，所以平面 MND平面 BEC，故 DM平面 BEC23、【解析】此题考查线面垂直问题的证明、空间几何体体积的计算；考查学生空间想象、运算求解、转化与划归的能力；线线垂直线面垂直面面垂直是有关垂直的几何问题的常用转化方法；（1）证明：因为AB 平面PAD，所以PHAB。因为PH为PAD中AD边上的高，所以PHAD。因为ABADA，所以PH 平面ABCD。（2）连结BH，取BH中点G，连结EG。因为E是PB的中点，2013 年高考数学复习专题系列-立体几何部分第 24 页 共 25 页所以/EGPH。因为PH 平面ABCD，所以EG 平面ABCD。则1122EGPH，11 13