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1、数字滤波器 28第三章 数字滤波器 3-1 数字滤波器的结构 数字滤波器的运算结构可用信号流图表示。按系统的单位脉冲响应 h(n)分类，h(n)为有限长序列的系统称为有限单位脉冲响应(FIR)系统，h(n)长度无限的系统称为无限单位脉冲响应(IIR)系统。IIR 系统只能采用递归型结构，其差分方程包含反馈项，形式如 y(n)=Mrrrnxb0)(+=Nkkknya1)(FIR 系统一般为非递归结构，差分方程为 y(n)=Mrrrnxb0)(但采用零、极点抵消的方法，有时 FIR 系统也可以含有递归型支路。详细论述请参阅教材中有关章节。3-2 无限冲激响应（）数字滤波器设计 IIR 数字滤波器设
2、计多采用从模拟滤波器变换的方法。常用两种变换：冲激响应不变法和双线性变换法。冲激响应不变法：若模拟滤波器传递函数为)(sHa，冲激响应)(tha=1L)(sHa，数字滤波器的单位脉冲响应 h(n)=)(nTha。为了消除采样频率对增益的影响，作修正令h(n)=T)(nTha，其中 T 为采样周期。若)(sHa为有理分式且只有一阶极点，可展成部分分式)(sHa=NkkkssA1,则数字滤波器的传递函数 H(z)=NkTskzeTAk111。这种方法只适用于带宽有限或基本有限的滤波器，如低通和带通。双线性变换法：可将模拟低通原型)(sHa变换成各种选频数字滤波器。基本变换关系为 s=T21111+
3、zz，=T2tg(/2)设计步骤：(1)将临界频率k映射到轴上,得到模拟低通原型的截止频率C；(2)确定)(sHa；(3)通过变换将)(sHa转换为 H(z)。用双线性变换法可实现数字滤波器的频率变换。变换公式如下：数字滤波器 29 低通变换 H(z)=)(sHa|s=T21111+zz，=T2tg(/2)高通变换 H(z)=)(pHa|p=TC21111+zz，=22CT ctg(/2)，C=T2tg(C/2)其中 p 为归一化拉氏变量，C为数字高通 3dB 截止频率。带通变换 H(z)=)(pHa|p=Czzz+)1(cos212201，=sincoscos0 其中0为通带中心频率，0co
4、s=2/)cos(2/)cos(lulu+，u、l为上下边带频率。带阻变换 H(z)=)(pHa|p=20112cos21)1(+zzzC，=0coscossin:0cos=2/)cos(2/)cos(lulu+习题选讲 例 3-1)(sHa=1/s 是理想积分器。用冲激响应不变法将)(sHa转换为一个数字积分器，写出传递函数和差分方程。以双线性变换 s=T21111+zz重复本题。解：(1)冲激响应不变法)(sHa是有理分式,有一个一阶极点 s=0,代入公式,有 H(z)=101zeTT=11 zT 对因果系统,收敛域为|z|1,差分方程为 y(n)=Tx(n)y(n 1),相当于最简单的矩
5、形积分公式。(2)双线性变换法 H(z)=)(sHa|s=T21111+zz=2T1111+zz 收敛域为|z|1,差分方程为 y(n)=2T x(n)+x(n 1)+y(n 1)数字滤波器 30相当于梯形积分公式。例 3-2 令)(tha、)(tSa和)(sHa分别表示一个时域连续线性时不变滤波器的冲击响应、阶跃响应和系统函数。(1)若 h(n)=)(nTha，是否 S(n)=nkakTh)(？(2)若 S(n)=)(nTSa,是否 h(n)=)(nTha?解:(1)Q u(n)=nkk)(根据叠加原理,可知阶跃响应 S(n)=nkkh)(如果 h(n)=)(nTha,则 S(n)=nkak
6、Th)(2)Q)(n=u(n)u(n 1)同样根据叠加原理可得 h(n)=S(n)S(n 1)如果 S(n)=)(nTSa,则 h(n)=)(nTSa)(TnTSa)(nTha 例 3-3 设采样频率 Sf=6.28318 kHz,用冲激响应不变法设计一个 3 阶巴特沃斯数字低通,截止频率Cf=1 kHz。解：3 阶巴特沃斯模拟低通传递函数为)(sHa=3C/)(Cs+)(3/2jCes)(3/2jCes 为有 3 个 1 阶极点的有理分式。将它展成部分分式)(sHa=CCs+2/)31()3/(6/jseCjC+2/)31()3/(6/jseCjC+代入 H(z)=NkTskzeTAk111
7、，合并共轭复极点，将TC=1 代入得 H(z)=13679.011z+2113679.07859.016597.01+zzz 数字滤波器 31例 3-4 用双线性变换法设计一个 3 阶巴特沃斯数字带通,采样频率 Sf=720 Hz,上下边带截止频率分别为1f=60 Hz,2f=300 Hz。解：首先确定数字频域的上下边带频率 l=21f/Sf=/6，u=22f/Sf=5/6 0cos=2/)cos(2/)cos(lulu+=0，C=uusincoscos0=3 归一化的 3 阶巴特沃斯模拟低通传递函数为)(pHa=1/)122(23+ppp 代入变换式 p=Czzz+)1(cos212201=
8、Czz+)1(122,整理得 H(z)=6426420138.30654.32440.11925.0331+zzzzzz 例 3-5 用冲激响应不变法 h(n)=)(nTha 将连续时间系统 )(sHa=22)(basas+转换成离散时间系统。解：)(tha=)()cos(tubteat h(n)=)(nTha=)()cos(nubnTeanT=21nTjbae)(+nTjbae)(+H(z)=21Tjbaez)(111+Tjbaez)(111+=2211)cos(21)cos(1+zezbTezbTeaTaTaT 例 3-6 用双线性变换法设计一个 3 阶切比雪夫数字高通,采样频率 Sf=1
9、0 kHz,通过频率为 f 2.5 kHz(不必考虑 5 kHz 以上的频率分量),通带内损耗不大于 1dB。解：切比雪夫低通原型的幅度平方函数为 2|)(|jHa=1/1+)/(22CNC 通带损耗 PA=1dB 时，=0.5089，N=3 时归一化传递函数为 数字滤波器 32 )(pHa=0.4913/)9883.0238.14913.0(32ppp+系数可以通过计算或查表得到。先确定数字域截止频率C C=2Cf/Sf=0.5,则 C=T2 tg)2/(C=T2 将频率变换关系 p=2CT 1111+zz=1111+zz 代入)(pHa,整理得 H(z)=3213212041.06043.
10、03432.01)331(1321.0+zzzzzz 3-3 有限冲激响应(FIR)数字滤波器设计 FIR 数字滤波器的单位脉冲响应 h(n)是一个有限长序列。这种滤波器可以实现严格线性相位的频响，还能采用 FFT 算法提高效率。通常 FIR 数字滤波器都设计成线性相位的，设计方法主要有窗函数法和频率采样法等。线性相位条件：有限长实序列 h(n),10Nn 若 h(n)=h(N 1 n)或 h(n)=h(N 1 n)H(z)或)(jeH都具有严格线性相位。窗函数法设计步骤：(1)按设计要求确定理想的线性相位频率特性)(jdeH；(2)求出理想系统的单位采样响应)(nhd=21deeHnjjd)
11、(积分限也可取 02)(3)用窗函数 w(n),10Nn 截取)(nhd，h(n)=)(nhd w(n),并取=21N。频率采样法设计步骤：(1)按设计要求选取理想的频率响应特性)(jdeH，对它进行采样得 )(kHd=)(kjdeH,10Nk,k=Nk/2(2)求出数字滤波器的单位脉冲响应 h(n)h(n)=IDFT)(kHd=N1=10/2)(NkNknjdekH 10Nn 数字滤波器 33实际设计用计算机进行，通常只需输入 0区间的采样点，并加入过渡采样点。习题选讲 设计时通常给出线性相位数字滤波器在0区间的)(jdeH,需要按线性相位 FIR 滤波器幅度响应)(gH的特点进行补充。首先
12、根据题意及)(jdeH的相位判断，如要求设计正交变换网络，即 h(n)=h(N 1 n)，)(=2/,)(gH对=0 奇对称；若)(=或 h(n)=h(N 1 n)，)(gH对=0 偶对称。可以按这个规律补充0区间的理想幅频特性。例 3-7 用矩形窗设计一个线性相位带通滤波器)(jdeH=0je +CCCC000,0(a)设计 N 为奇数时的 h(n)；(b)设计 N 为偶数时的 h(n)；(c)用哈明窗设计。解：(a)Q)(=h(n)=h(N 1 n),)(gH对=0 偶对称,补充0区间的)(jdeH)(jdeH=0je+CCCCCC00000,)(nhd=21deeHnjjd)(=21+C
13、Cdeenjj00+CCdeenjj00 =)(1nsin)(0Cn+-sin)(0Cn h(n)=)21(1Nnsin)(21(0CNn+-sin)(21(0CNn)(nRN(b)由于 N 的奇偶对 h(n)形式没有影响,结果与(a)相同。(c)代入哈明窗表达式,得 h(n)=)21(1Nnsin)(21(0CNn+-sin)(21(0CNn 0.54 0.46 cos(12Nn)(nRN 数字滤波器 34例 3-8 用矩形窗设计一个线性相位高通滤波器 )(jdeH=0)()(jjjeje 2,0+CCCC(a)求出 h(n)的表达式,确定与 N 的关系；(b)问有几种类型，分别属于哪一种线
14、性相位滤波器；(c)若改用升余弦窗设计，求出 h(n)的表达式。解：理想系统的单位脉冲响应为)(nhd=2120)(deeHnjjd=21Cdejejj)(+Cdejejj)(=)()1(nncos)(nC 1(a)根据线性相位条件,有=(N-1)/2 h(n)=)(nhd)(nRN=)21()1(Nnncos)21(NnC 1)(nRN(b)若 N 为奇数，则 h(n)=h(N 1 n)，属于 h(n)奇对称、N 为奇数的类型；若 N 为偶数，h(n)=h(N 1 n)，属于 h(n)偶对称、N 为偶数的类型。(c)h(n)=)21()1(Nnncos)21(NnC 1)12cos(1Nn)
15、(nRN 例 3-9 用矩形窗设计一个线性相位正交变换网络)(jdeH=jje 0 (a)求出 h(n)的表达式；(b)N 选奇数好还是选偶数好？还是性能一样好？为什么？解：正交变换网络的)(gH对=0 奇对称，补充 0 区间的)(jdeH：)(jdeH=jje 0 理想系统的单位脉冲响应为)(nhd=21deeHnjjd)(=210dejenjj+0dejenjj 数字滤波器 35 =)(1n 1 cos)(n (a)h(n)=)21(1Nn 1 cos)21(Nn)(nRN (b)N 为奇数 h(n)=)21()1(121NnNn)(nRN N 为偶数 h(n)=)21(1Nn)(nRN
16、性能应按对)(jdeH的逼近程度评价。分别计算 N 为奇数和 N 为偶数的)(gH，可知N 为偶数时性能较好。例 3-10用频率采样法设计一个线性相位带通滤波器，其上下边带截止频率分别为l=4，u=43，不设过渡点，求 N=33 或 N=34 情况下四类线性相位滤波器的 4 种采样值 H(k)。解：首先计算频率临界点位置 ln=2lN,un=2uN N=33：ln=4,un=12；N=34：ln=4,un=13 为 使 求 出 的 h(n)是 对 称 实 序 列，从 而)(jeH具 有 线 性 相 位，要 求)(kHd=)(*kNHd。若 h(n)=h(N 1 n)，相位)(=)21(N 相位
17、函数采样值 )(k=NN1k,k=0,1,2,K,N 1 幅频采样值 )(kHg=)()(kNHkNHgg 120210NkNk 为偶数为奇数NN 数字滤波器 36(1)N=33,幅频采样值为)(kHg=01 3230,2013,302921,124nnnnn(2)N=34,幅频采样值为)(kHg=011 3331,2014,303021134nnnnn h(n)=h(N 1 n)，相位)(=)21(N2 相位函数采样值 )(k=NN1k2,k=0,1,2,K,N 1 幅频采样值 )(kHg=)()(kNHkNHgg 120210NkNk 为偶数为奇数NN(3)N=33,幅频采样值为)(kHg
18、=011 3230,2013,302921124nnnnn(4)N=34,幅频采样值为)(kHg=01 3331,2014,303021,124nnnnn 实际设计在计算机上进行，程序可以设计成只输入2N个（N 为偶数）或21N个（N为奇数）幅频采样值即可算出)(jeH和 N 点 h(n)。:参考书目:A.V 奥本海姆,R.W 谢弗.:数字信号处理(中译本).科学出版社,1980 顾福年,胡光锐.数字信号处理习题解答.科学出版社,1983 黄顺吉 等.数字信号处理及其应用.国防工业出版社,1982 邹理和.数字信号处理(上册).国防工业出版社,1985 宗孔德,胡广书.数字信号处理.清华大学出版社,1988 丁玉美 等.数字信号处理.西安电子科技大学出版社,1994