《439上海交通大学生物医学工程基础(数字信号处理及医用传感器)第二章.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《439上海交通大学生物医学工程基础(数字信号处理及医用传感器)第二章.pdf（8页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、离散傅里叶变换 20第二章 离散傅里叶变换 本章介绍有限长序列的离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法 FFT。2-1 离散傅里叶变换 定义：X(k)=DFTx(n)=10)(NnknNWnx 0kN-1 x(n)=IDFTX(k)=N1=10)(NkknNWkX 0nN-1 DFT 正、逆变换一般均按定义计算，可利用以下特性：DFT a)(1nx+b)(2nx=a DFT)(1nx+b DFT)(2nx )(Nnx=)()0(nNxx 1,2,10=NnnK DFT)(Nnx=)(NkX=X(N-k)DFT x*(n)=)(*NkX=X*(N-k)DFT)(Nsnx=ksNWDFT x(n)D
2、FT snNWx(n)=)(NskX 循环卷积和：若)(3kX=)(1kX)(2kX，则 )(3nx=1021)()(NmNmnxmx=)(1nx N)(2nx=)(2nx N)(1nx 若)(3nx=)(1nx)(2nx，则)(3kX=N1)(1kX N)(2kX=N1)(2kX N)(1kX 对两个有限长序列)(1nx，n1N，)(2nx，n2N，其卷积和长度为L=1N+2N-1。将)(1nx和)(2nx均在末尾补零扩充到 L 点，即可用循环卷积和求出这两个序列的卷积和。习题选讲 例 2-1计算以下序列的 N 点 DFT，0nN x(n)=1 x(n)=(n)离散傅里叶变换 21 x(n)
3、=(n-0n)0 0nN x(n)=2a x(n)=Nmnje/2 0 m N x(n)=cos(2mn/N)0 m N 解：(1)X(k)=10/2NnNknje 若 k=0,X(k)=101Nn=N k0,X(k)=10/2NnNknje=Nkjkjee/2211=0 X(k)=N(k)(2)X(k)=DFT(n)=1 (3)X(k)=DFT(n-0n)=0knNW=02knNje (4)X(k)=102NnknNWa=N 2a(k)引用(1)的结果 (5)X(k)=10/2/2NnNknjNmnjee=10/)(2NnNnmkje=N(k-m)(6)x(n)=cos(2mn/N)=(Nm
4、nje/2+Nmnje/2)/2 对前一项可利用(5)的结果,将后一项的 DFT 记为)(2kX )(2kX=10/2NnknNNmnjWe=+10)(NnnmkNW 当Nmk)(+=0 时,)(2kX=N.因 0 k N,0 m N,0 k+m M 两种情况下，如何用一个 N 点 FFT 算出全部)(kzX值。0NW2NW0NW0NW1NW3NW2NW0NW0NW0NW0NW2NW离散傅里叶变换 26解：)(kzX=MnNknjenx0/2)(若 N=M,)(kzX=X(k)=DFT x(n)对 N M,首先在 x(n)末尾补零,形成)(0nx=0)(nx 110NnMMn 则)(kzX=D
5、FT)(0nx,可用 N 点 FFT 求出。N M,kz分布在单位圆上并以 N 为周期,设(r-1)N M rN )(kzX=MnNknjenx0/2)(=10/2)(NnNknjenx+=12/2)(NNnNknjenx+K+=1)1(/2)(MNrnNknjenx 利用Nknje/2的周期性,有 )(kzX=10/2)(NnNknjenx+=+10/2)(NnNknjeNnx+K+=+1)1(0/2)1(NrMnNknjeNrnx 相当于将 M 点序列 x(n)分为 r 段 N 点序列)(nyi,1,1,0=riK 其中 )(0ny=)()(nRnxN,)(1ny=)()(nRNnxN+,
6、K,)(nyi=)()(nRiNnxN+,K,)(1nyr=+0)1(Nrnx 1)1(1)1(0NnNrMNrMn 令)(0nx=10)(riiny,则)(kzX=DFT)(0nx,可用 N 点 FFT 求出。例 2-10 已知 X(k),k=0,1,K,2N-1 是 2N 点实序列 x(n)的 DFT 值，现在需要由 X(k)求 x(n)值，为提高运算效率，试设计用一个 N 点 IFFT 运算一次完成。解：根据 FFT 的时间抽取算法，一个 2N 点序列经一次分解成两个 N 点序列，记其各自的 DFT 为)(1kX和)(2kX，有 离散傅里叶变换 27X(k)=)(1kX+kNW2)(2kX X(N+k)=)(1kX-kNW2)(2kX 0 k 1 N 由此得)(1kX=X(k)+X(N+k)/2 )(2kX=kNW2 X(k)-X(N+k)/2 0 k 1 N 构造 N 点序列 G(k)=)(1kX+j)(2kX 用 N 点 IFFT 求出复序列 g(n)=)(1nx+j)(2nx 按 DIT 算法 )(1nx=x(2r),)(2nx=x(2r+1),0 r 1 N 即 x(2n)=Reg(n),x(2n+1)=Img(n),0 n 1 N