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1、母函数与递推关系本讲稿第一页，共五十三页2内容回顾组合的生成和组合意义模型转换一一对应定义：对于序列定义：对于序列a0,a1,a2,构造一函数：构造一函数：G(x)=a0+a1x+a2x2+,称函数称函数G(x)是序列是序列a0,a1,a2,的母函数的母函数(生成函数生成函数 generating function)。(1+x)n是序列是序列C(n,0),C(n,1),C(n,n)的母函数的母函数g(x)=1+x+x2+x3+x4+.=1/(1-x)是是f(n)=1的母函数的母函数设级数收敛，设级数收敛，-1x1生成函数的生成函数的x没有实际意义没有实际意义本讲稿第二页，共五十三页二项式定理本
2、讲稿第三页，共五十三页42.2 2.2 递推关系递推关系 利用递推关系进行计数这个方法在算法分析中经常用到 例一.Hanoi问题：N个圆盘依其半径大小，从下而上套在A柱上。每次只允许取一个移到柱B或C上，而且不允许大盘放在小盘上方。若要求把柱A上的n个盘移到C柱上请设计一种方法来，并估计要移动几个盘次。现在只有A、B、C三根柱子可用。设计算法;估计它的复杂性，即估计工作量.本讲稿第四页，共五十三页52.2 2.2 递推关系递推关系算法：算法：N=2时第一步先把最上面的一个圆盘套在B上第二步把下面的一个圆盘移到C上 最后把B上的圆盘移到C上 到此转移完毕A B C本讲稿第五页，共五十三页62.2
3、 2.2 递推关系递推关系 假定n-1个盘子的转移算法已经确定。对于一般n个圆盘的问题,先把上面的n-1个圆盘经过C转移到B;第二步把A下面一个圆盘移到C上最后再把B上的n-1个圆盘经过A转移到C上n=2时，算法是对的，因此，n=3是算法是对的。以此类推。A B C本讲稿第六页，共五十三页72.2 2.2 递推关系递推关系令h(n)表示n个圆盘所需要的转移盘次。对于一般n个圆盘的问题,先把上面的n-1个圆盘经过C转移到B:h(n-1)次第二步把A下面一个圆盘移到C上:1次最后再把B上的n-1个圆盘经过A转移到C上：h(n-1)次算法复杂度为：构造母函数为：求得了母函数，对应的序列也就求得h(n
4、)A B C本讲稿第七页，共五十三页82.2 2.2 递推关系递推关系所谓形式算法说的是假定这些幂级数在作四则运算时，一如有限项的代数式一样。本讲稿第八页，共五十三页9如何从母函数得到序列？化为部分分数的算法。由上式可得：g(x)=1+x+x2+x3+x4+.=即：本讲稿第九页，共五十三页102.2 2.2 递推关系递推关系 或利用递推关系(2-2-1)有 上式左端为：右端第一项为：右端第二项为：本讲稿第十页，共五十三页112.2 2.2 递推关系递推关系例例2.2.求n位十进制数中出现偶数个5的数的个数。先从分析n位十进制数出现偶数个5的数的结构入手 设p1p2pn-1是n-1位十进制数，若
5、含有偶数个5，则pn取5以外的0，1，2，3，4，6，7，8，9九个数中的一个，若p1p2pn-1 只有奇数个5，则pn取5，使p1p2pn-1pn 成为出现偶数个5的十进制数。解法1：令an为n位十进制数中出现偶数个5的数的个数，bn为n位十进制数中出现奇数个5的数的个数。设序列an的母函数为A(x)，序列bn的母函数为B(x)。本讲稿第十一页，共五十三页12a1=8,b1=1本讲稿第十二页，共五十三页132.2 2.2 递推关系递推关系故得关于母函数A(x)和B(x)得连立方程组：本讲稿第十三页，共五十三页142.2 2.2 递推关系递推关系解法二：解法二：n-1位的十进制数的全体共910
6、n-1个(最高位不为0)，设所求数为an,设A(x)=a1x+a2x2+,按照尾数是否为5分类：尾数不是为5的：9an-1尾数为5的，前n-1位有奇数个5：本讲稿第十四页，共五十三页152.2 2.2 递推关系递推关系验证：a1=8,a2=73本讲稿第十五页，共五十三页16 1）不出现某特定元素设为a1，其组合数为 ，相当于排除a1后从a2,.an 中取r个做允许重复的组合。2.2 2.2 递推关系递推关系例三：例三：从n个元素a1,a2,.an中取r个进行允许重复的组合。假定允许重复的组合数用 表示，其结果可能有以下两种情况。2）至少出现一个a1，取组合数为 相当于从a1,a2,.an中取r
7、-1个做允许重复的组合，然后再加上一个a1得从n个元素中取r个允许重复的组合。本讲稿第十六页，共五十三页172.2 2.2 递推关系递推关系 因 ，故令系数(1-x)不是常数。但本讲稿第十七页，共五十三页18 由二项式定理 可得本讲稿第十八页，共五十三页本讲稿第十九页，共五十三页母函数递推关系递推运算初始值代数运算：化为部分分数的算法本讲稿第二十页，共五十三页2.3 2.3 母函数的性质母函数的性质 一个序列和它的母函数一一对应。给了序列便得知一个序列和它的母函数一一对应。给了序列便得知它的母函数；反之，求得母函数序列也随之而定。它的母函数；反之，求得母函数序列也随之而定。为了求满足某种递推关
8、系的序列，可把它转换为求为了求满足某种递推关系的序列，可把它转换为求对应的母函数对应的母函数G(x)，G(x)可能满足一代数方程，可能满足一代数方程，或代数方程组，甚至于是微分方程。或代数方程组，甚至于是微分方程。最后求逆变换，即从已求得的母函数最后求逆变换，即从已求得的母函数 G(x)得得到序列到序列 an。关键在于要搭起从序列到母函数，从母函数到序列这两座桥。关键在于要搭起从序列到母函数，从母函数到序列这两座桥。21本讲稿第二十一页，共五十三页2.3 2.3 母函数的性质母函数的性质对应的母函数分别为对应的母函数分别为、不特别说明不特别说明,下面假设下面假设、两个序列两个序列22本讲稿第二
9、十二页，共五十三页性质性质1：若则 例例.已知则23 例例.已知则mmm-1本讲稿第二十三页，共五十三页 性质性质2：则若证：证：例例.24本讲稿第二十四页，共五十三页 性质性质3：证：证：若则 ):1 2102102210100LLLLLLLLLLLLLLLL+=+=+=nnaaaabnxaaabxaabxab25本讲稿第二十五页，共五十三页 例例.已知已知 类似可得：类似可得：若则26本讲稿第二十六页，共五十三页性质性质4则证27本讲稿第二十七页，共五十三页 A(x)=a0+a1x+a2x2+,A(x)=a1+2a2x+3a3x2+.例例.则性质性质5 5若若则则性质性质6 6若若则则求导
10、积分28本讲稿第二十八页，共五十三页性质性质7 7若若则则证证29本讲稿第二十九页，共五十三页2.32.3母函数的性质母函数的性质 例例.已知 30本讲稿第三十页，共五十三页2.4 2.4 FibonacciFibonacci数列数列 Fibonacci数列是递推关系的又一个典型问题。数列是递推关系的又一个典型问题。Fibonacci数列是以递归的方法來定义：数列是以递归的方法來定义：F0=0，F1=1，Fn=Fn-1+Fn-2 （1）斐波那契数列由斐波那契数列由0和和1開始，之后的斐波那契数就由之前開始，之后的斐波那契数就由之前的两数相加。的两数相加。0,1,1,2,3,5,8,13,21,
11、34,55,89,144,233,377,610,987,1597,2584,4181,6765,10946，0不是第一项，而是第不是第一项，而是第0项。项。31本讲稿第三十一页，共五十三页1150年印度数学家研究箱子包裝物件长宽刚好年印度数学家研究箱子包裝物件长宽刚好 为为1和和2的可行方法数目时，首先描述这个数列。的可行方法数目时，首先描述这个数列。在西方，在西方，1202年，意大利数学家斐波那契出版了他的年，意大利数学家斐波那契出版了他的算盘全算盘全书书。他在书中提出了一个关于兔子繁殖的问题：。他在书中提出了一个关于兔子繁殖的问题：第一个月有一对刚诞生的兔子；第一个月有一对刚诞生的兔子；
12、如果一对兔子每月能生一对小兔（一雄一雌）；如果一对兔子每月能生一对小兔（一雄一雌）；而每对小兔在它出生后的第三个月里，又能开始生一对小兔，而每对小兔在它出生后的第三个月里，又能开始生一对小兔，兔子永不死去；兔子永不死去；由一对出生的小兔开始，由一对出生的小兔开始，50个月后会有多少对兔子？个月后会有多少对兔子？第第n个月相比个月相比n-1个月多出的兔子数是个月多出的兔子数是n-2个月的兔子生出来个月的兔子生出来的，即的，即Fn=Fn-1+Fn-2 32Leonardo of PisaSon of Bonaccio 本讲稿第三十二页，共五十三页 设2.4.12.4.1递推关系递推关系本讲稿第三十
13、三页，共五十三页2.4.12.4.1 递推关系递推关系34本讲稿第三十四页，共五十三页 1）证明：证明：2.4.12.4.1 递推关系递推关系Fn=Fn-1+Fn-235本讲稿第三十五页，共五十三页 2）证明：证明：2.4.12.4.1递推关系递推关系Fn=Fn-1+Fn-236本讲稿第三十六页，共五十三页 3）证明：证明：2.4.12.4.1 递推关系递推关系37本讲稿第三十七页，共五十三页一位魔术师拿着一块边长为8英尺的正方形地毯，对他的地毯匠朋友说：“请您把这块地毯分成四小块，再把它们缝成一块长13英尺，宽5英尺的长方”魔术881350,1,1,2,3,5,8,13,21,.35F(n)
14、*F(n)F(n-1)F(n+1)=(-1)nn=0,1,2本讲稿第三十八页，共五十三页斐波那契螺旋斐波那契螺旋 39本讲稿第三十九页，共五十三页2.4.42.4.4在选优法上的应用在选优法上的应用 设函数 在 点取得极大值。要求用若干次试验找到 点准确到一定的程度。最简单的方法，把 三等分，令：如下图：40本讲稿第四十页，共五十三页2.4.42.4.4在选优法上的应用在选优法上的应用 设函数y=f(x)在区间(a,b)上有一单峰极值点，假定为极大点。所谓单峰极值，即只有一个极值点，而且当x与偏离越大，偏差|f(x)-f()|也越大。如下图：41本讲稿第四十一页，共五十三页2.4.42.4.4
15、在选优法上的应用在选优法上的应用 依据 的大小分别讨论如下：当 ，则极大点 必在 区间上，区间 可以舍去。42本讲稿第四十二页，共五十三页2.4.42.4.4在选优法上的应用在选优法上的应用 当 ，则极大点 必在 区间上，区间 可以舍去。43本讲稿第四十三页，共五十三页2.4.42.4.4在选优法上的应用在选优法上的应用 当 ，则极大点 必在 区间上，区间 和 均可以舍去。44本讲稿第四十四页，共五十三页 可见做两次试验，至少可把区间缩至原来区间的2/3，比如 ，进一步在 区间上找极值点。若继续用三等分法，将面对着这一实事，即其中 点的试验没发挥其作用。为此设想在 区间的两个对称点 分别做试验
16、。45本讲稿第四十五页，共五十三页 设保留 区间，继续在 区间的下面两个点x2,(1-x)x 处做试验，若则前一次 的点的试验，这一次可继续使用可节省一次试验。由(2-3-6)式有0.382，0.6180.236，0.3820.146，0.23646本讲稿第四十六页，共五十三页2.4.42.4.4在选优法上的应用在选优法上的应用 这就是所谓的0.618优选法。即若在 区间上找单峰极大值时，可在 点做试验。比如保留区间 ，由于 ，故只要在 点作一次试验。47本讲稿第四十七页，共五十三页2.4.42.4.4在选优法上的应用在选优法上的应用 优选法中可利用Fibonacci数列，和0.618法不同之
17、点在于它预先确定试验次数，分两种情况介绍其方法。(a)所有可能试验数正好是某个Fn。这时两个试验点放在Fn-1和Fn-2两个分点上，如果Fn-1分点比较好，则舍去小于Fn-2的部分；留下的部分共Fn-Fn-2=Fn-1个分点，其中第Fn-2和第Fn-3二试验点，对应的原标号是Fn-2+Fn-2=2Fn-2以及Fn-3+Fn-2=Fn-1,恰好Fn-1点是刚才留下来的试验可以利用。如果Fn-2点更好，则舍去大于Fn-1的部分。在留下的部分共Fn-1个分点，下一步Fn-2和Fn-3二试验点中，恰好Fn-2是刚才留下来的试验可以利用。可见在Fn个可能试验中，最多用n-1次试验便可得到所求的极值点。4
18、8本讲稿第四十八页，共五十三页2.4.42.4.4在选优法上的应用在选优法上的应用 (b)利用Fibonacci数列进行优选不同于 0.618法之点,还在于它适合于参数只能取整数数值的情况.如若可能试验的数目比 小,但比 大时,可以虚加几个点凑成 个点，但新增加的点的试验不必真做，可认定比其他点都差的点来处理。49本讲稿第四十九页，共五十三页2.4.42.4.4在选优法上的应用在选优法上的应用 定理：定理：测试n次可将包含单峰极值点的区间缩小到原区间的 ，其中 是任意小的正整数，证：证：对n用数学归纳法。n=2时，将区间(a.b)平分成F(2+1）=2 段。在分点（包括端点a，b）分别标上0，
19、1，2。在1点的两侧取，在（1-）与(1+)两点上测试，无论哪一点较优，保留下来的区间长度均为(1+)，命题成立。50ab0121-1+本讲稿第五十页，共五十三页2.4.42.4.4在选优法上的应用在选优法上的应用 假设对于n-1，命题成立 对于n，将(a,b)平分成Fn+1段，对分点（包括端点a，b）依次标上0,1,2。先在Fn点与Fn-1点测试无论哪一点较优，保留下来的区间均为Fn段。根据归纳假设，再做n-1次测试（内含前两次测试之一）可将含极值点的区间缩小到1+段，即原区间的1/Fn+1+。51Fn+1 Fn-1=Fn本讲稿第五十一页，共五十三页2.4.42.4.4在选优法上的应用在选优
20、法上的应用 因 ,当n较大时，可将相继的两个测试点取在待测区间的0.618及1-0.618处。由 可知，0.618法比 法最多多测试一次。0.618 法的优点是不必事先定测试次数。52本讲稿第五十二页，共五十三页2.4.42.4.4在选优法上的应用在选优法上的应用 定理：设在给定区间内有单峰极值点。如果包含极值点在内的可测定理：设在给定区间内有单峰极值点。如果包含极值点在内的可测点为点为Fn+2-1个，则测试个，则测试n次必可找到极值点，次必可找到极值点，n2.证：对证：对n用数学归纳法。用数学归纳法。n=2时，时，Fn+2-1=2 ，命题成立，命题成立 假设对于假设对于n-1，命题成立命题成
21、立 下面证明对下面证明对n命题成立。设可测试点的标号依次命题成立。设可测试点的标号依次1,2,Fn,.Fn+1,Fn+2-1。先在。先在Fn点及点及Fn+1点测试。无论哪一点较优，保留下来的可测点都为点测试。无论哪一点较优，保留下来的可测点都为Fn+1-1个。个。根据归纳假设，再测试根据归纳假设，再测试n-1次必可找到极值点。次必可找到极值点。而在保留的而在保留的Fn+1-1个可测试点中，有一点（个可测试点中，有一点（Fn点或点或Fn+1点）的测试点）的测试 结果下一次比较时正好用上，这样总测试次数为结果下一次比较时正好用上，这样总测试次数为n。53Fn+2-1 Fn=Fn+1-1本讲稿第五十三页，共五十三页