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1、不定积分的概念与性不定积分的概念与性质质第1页，共29页，编辑于2022年，星期三原函数存在定理：原函数存在定理：简言之：简言之：连续函数一定有原函数连续函数一定有原函数.问题：问题：(1)原函数是否唯一？原函数是否唯一？例例（为任意常数）为任意常数）(2)若不唯一它们之间有什么联系？若不唯一它们之间有什么联系？第2页，共29页，编辑于2022年，星期三关于原函数之间的关系，我们有如下定理关于原函数之间的关系，我们有如下定理证证 设设G(x)是是f(x)的任意一个原函数，即对任一的任意一个原函数，即对任一xI，有有（为任意常数）为任意常数）定理定理5.1.2 若若F(x)是是f(x)在区间在区
2、间I上的一个原函数，则在上的一个原函数，则在区间区间I上上f(x)的所有原函数都可以表示成形如的所有原函数都可以表示成形如F(x)+C的函的函数，其中数，其中C为任意常数为任意常数.即即第3页，共29页，编辑于2022年，星期三这个定理告诉我们这个定理告诉我们：1 若若f(x)在在I上有原函数上有原函数F(x)，则，则f(x)有无穷多个原函有无穷多个原函数数F(x)+C,且且f(x)的所有原函数都在的所有原函数都在F(x)+C之中，也之中，也就是说，就是说，f(x)的全体原函数所组成的集合就是函数族的全体原函数所组成的集合就是函数族2 要求要求f(x)的所有原函数，只要求出它的一个原函数的所有
3、原函数，只要求出它的一个原函数F(x)就行了，因为其他原函数与就行了，因为其他原函数与F(x)只相差一个常数。只相差一个常数。因此，若因此，若F(x)是是f(x)的一个原函数，则的一个原函数，则F(x)+C就是所就是所有原函数的一般表达式，我们把叫做有原函数的一般表达式，我们把叫做f(x)的不定积的不定积分分,即以下定义即以下定义第4页，共29页，编辑于2022年，星期三任任意意常常数数积积分分号号被被积积函函数数定义定义5.1.2：函数：函数f(x)在区间在区间I上所有原函数的一般上所有原函数的一般表达式称为表达式称为f(x)在在I上的不定积分，记做上的不定积分，记做 ,即即被被积积表表达达
4、式式积积分分变变量量注意注意:求导或微分运算的结果是一个函数求导或微分运算的结果是一个函数,不定积分的不定积分的运算的结果是一族函数而不是一个函数，运算的结果是一族函数而不是一个函数，更不是一个数值更不是一个数值.第5页，共29页，编辑于2022年，星期三例例1 1 求求解解解解例例2 2 求求第6页，共29页，编辑于2022年，星期三因此，因此，不定积分在几何上表示不定积分在几何上表示f(x)的积分曲线族的积分曲线族.在横坐标相同的点处所有曲线的切线彼此平行在横坐标相同的点处所有曲线的切线彼此平行.不定积分的几何意义不定积分的几何意义第7页，共29页，编辑于2022年，星期三例例3 3 设曲
5、线通过点（设曲线通过点（1，2），且其上任一点处的切），且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍，求此曲线方程线斜率等于这点横坐标的两倍，求此曲线方程.解解设曲线方程为设曲线方程为根据题意知根据题意知由曲线通过点（由曲线通过点（1，2）所求曲线方程为所求曲线方程为第8页，共29页，编辑于2022年，星期三实例实例启示启示能否根据求导公式得出积分公式？能否根据求导公式得出积分公式？结论结论既然积分运算和微分运算是互逆的，因此可既然积分运算和微分运算是互逆的，因此可以根据求导公式得出积分公式以根据求导公式得出积分公式.二、二、基本积分表基本积分表第9页，共29页，编辑于2022年，星期三基基本
6、本积积分分表表是常数是常数);第10页，共29页，编辑于2022年，星期三第11页，共29页，编辑于2022年，星期三第12页，共29页，编辑于2022年，星期三结论：结论：微分运算与求不定积分的运算是微分运算与求不定积分的运算是互逆互逆互逆互逆的的.三、不定积分的性质根据不定积分的定义，得下面有关性质根据不定积分的定义，得下面有关性质第13页，共29页，编辑于2022年，星期三证证等式成立等式成立.（此性质可推广到有限多个函数之和的情况）（此性质可推广到有限多个函数之和的情况）第14页，共29页，编辑于2022年，星期三例例1 1 求积分求积分解解根据积分公式（根据积分公式（2）求不定积分的
7、方法求不定积分的方法1 1：直接法积分法直接法积分法第15页，共29页，编辑于2022年，星期三 应用直接积应用直接积分法分法,有时对被有时对被积函数要进行适积函数要进行适当的恒等变形当的恒等变形第16页，共29页，编辑于2022年，星期三例例4 4 求积分求积分解解第17页，共29页，编辑于2022年，星期三例例5 5 求积分求积分解解第18页，共29页，编辑于2022年，星期三例例6 6 求积分求积分解解第19页，共29页，编辑于2022年，星期三例例8 8 求积分求积分解解说明：说明：以上几例中的被积函数都需要进行恒等变形，代以上几例中的被积函数都需要进行恒等变形，代数运算（将假分式化为
8、多项式与真分式之和，将数运算（将假分式化为多项式与真分式之和，将真分式拆成几个简单真分式之和）或三角恒等变真分式拆成几个简单真分式之和）或三角恒等变换，才能使用基本积分表换，才能使用基本积分表.第20页，共29页，编辑于2022年，星期三解解所求曲线方程为所求曲线方程为第21页，共29页，编辑于2022年，星期三基本积分表基本积分表(1)不定积分的性质不定积分的性质 原函数的概念：原函数的概念：不定积分的概念：不定积分的概念：求微分与求积分的互逆关系求微分与求积分的互逆关系四、小结第22页，共29页，编辑于2022年，星期三思考题思考题符号函数符号函数在在 内是否存在原函数？为什么？内是否存在原函数？为什么？第23页，共29页，编辑于2022年，星期三思考题解答思考题解答不存在不存在.假设有原函数假设有原函数故假设错误故假设错误所以所以 在在 内不存在原函数内不存在原函数.结论结论每一个含有每一个含有第一类间断点第一类间断点的函数都没有的函数都没有原函数原函数.第24页，共29页，编辑于2022年，星期三练习题练习题第25页，共29页，编辑于2022年，星期三第26页，共29页，编辑于2022年，星期三第27页，共29页，编辑于2022年，星期三练习题答案练习题答案第28页，共29页，编辑于2022年，星期三第29页，共29页，编辑于2022年，星期三