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1、第四章 不定积分例例 xxcossin xsin是是xcos的的原原函函数数. )0(1ln xxxxln是是x1在区间在区间), 0( 内的原函数内的原函数.如果在区间如果在区间I内，内，定义：定义：可可导导函函数数)(xF的的即即Ix ，都都有有)()(xfxF 或或dxxfxdF)()( ，那那么么函函数数)(xF就就称称为为)(xf导函数为导函数为)(xf，或或dxxf)(在在区区间间I内内原原函函数数. .一、原函数与不定积分的概念 不定积分的概念与性质不定积分的概念与性质下页上页首页原函数存在定理：原函数存在定理：如果函数如果函数)(xf在区间在区间I内连续，内连续，简言之：简言之
2、：连续函数一定有原函数连续函数一定有原函数.问题：问题：(1) 原函数是否唯一？原函数是否唯一？例例 xxcossin xCxcossin （ 为任意常数）为任意常数）C那那么么在在区区间间I内内存存在在可可导导函函数数)(xF，使使Ix ，都有，都有)()(xfxF . .(2) 若不唯一它们之间有什么联系？若不唯一它们之间有什么联系？下页上页首页关于原函数的说明：关于原函数的说明：（1）若）若 ，则对于任意常数，则对于任意常数 ，)()(xfxF CCxF )(都都是是)(xf的的原原函函数数.（2）若）若 和和 都是都是 的原函数，的原函数，)(xF)(xG)(xf则则CxGxF )()
3、(（ 为任意常数）为任意常数）C证证 )()()()(xGxFxGxF 0)()( xfxfCxGxF )()(（ 为任意常数）为任意常数）C下页上页首页任意常数任意常数积分号积分号被积函数被积函数不定积分的定义：不定积分的定义：在在区区间间I内内，CxFdxxf )()(被积表达式被积表达式积分变量积分变量函函数数)(xf的的带带有有任任意意常数项的原函数常数项的原函数称称为为)(xf在在区区间间I内内的的不定积分不定积分，记为，记为 dxxf)(. .下页上页首页例例1 1 求求.54dxx 解解 ,545xx .554Cxdxx 解解例例2 2 求求.112 dxx ,11arctan2
4、xx .arctan112 Cxdxx下页上页首页例例3 3 设曲线通过点（设曲线通过点（1，2），且其上任一点处的），且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍，求此曲线方程切线斜率等于这点横坐标的两倍，求此曲线方程.解解设曲线方程为设曲线方程为),(xfy 根据题意知根据题意知,2xdxdy 即即)(xf是是x2的一个原函数的一个原函数.,22 Cxxdx,)(2Cxxf 由曲线通过点（由曲线通过点（1，2）, 1 C所求曲线方程为所求曲线方程为. 12 xy下页上页首页函函数数)(xf的的原原函函数数的的图图形形称称为为)(xf的的积积分分曲曲线线.显然，求不定积分得到一积分曲线族显然
5、，求不定积分得到一积分曲线族.由不定积分的定义，可知由不定积分的定义，可知 ),()(xfdxxfdxd ,)()(dxxfdxxfd ,)()( CxFdxxF.)()( CxFxdF结论：结论： 微分运算与求不定积分的运算是微分运算与求不定积分的运算是的的.下页上页首页实例实例 xx 11.11Cxdxx 启示启示能否根据求导公式得出积分公式？能否根据求导公式得出积分公式？结论结论既然积分运算和微分运算是互逆的，既然积分运算和微分运算是互逆的，因此可以根据求导公式得出积分公式因此可以根据求导公式得出积分公式.)1( 下页上页首页基基本本积积分分表表 kCkxkdx()1(是常数是常数);)
6、;1(1)2(1 Cxdxx;ln)3( Cxxdx说明：说明： , 0 x,ln Cxxdx )ln(, 0 xx,1)(1xxx ,)ln( Cxxdx,|ln Cxxdx简写为简写为.ln Cxxdx下页上页首页 dxx211)4(;arctanCx dxx211)5(;arcsinCx xdxcos)6(;sinCx xdxsin)7(;cosCx xdx2cos)8( xdx2sec;tanCx xdx2sin)9( xdx2csc;cotCx 下页上页首页 xdxxtansec)10(;secCx xdxxcotcsc)11(;cscCx dxex)12(;Cex dxax)13(
7、;lnCaax xdxsinh)14(;coshCx xdxcosh)15(;sinhCx 下页上页首页例例4 4 求积分求积分解解dxx32)1 (dxx32)1( dxxxx)331(642 Cxxxx 7537153下页上页首页 dxxgxf)()()1(;)()( dxxgdxxf证证 dxxgdxxf)()( dxxgdxxf)()().()(xgxf 等式成立等式成立.（此性质可推广到有限多个函数之和的情况）（此性质可推广到有限多个函数之和的情况）下页上页首页 dxxkf)()2(.)( dxxfk（k是是常常数数，)0 k例例5 5 求积分求积分解解.)1213(22dxxx d
8、xxx)1213(22 dxxdxx 22112113xarctan3 xarcsin2 C 下页上页首页例例6 6 求积分求积分解解dxxx22cossin1dxxx 22sin1cos1Cctgxtgx dxxx22cossin1下页上页首页例例7 7 求积分求积分解解.)1(21222dxxxx dxxxx )1(21222dxxxxx )1(12222dxxdxx 22111.arctan1Cxx 下页上页首页例例8 8 求积分求积分解解.2cos11 dxx dxx2cos11 dxx1cos2112 dxx2cos121.tan21Cx 说明：说明： 以上几例中的被积函数都需要进行
9、以上几例中的被积函数都需要进行恒等变形，才能使用基本积分表恒等变形，才能使用基本积分表.下页上页首页例例 9 9 已知一曲线已知一曲线)(xfy 在点在点)(,(xfx处的处的切线斜率为切线斜率为xxsinsec2 ，且此曲线与，且此曲线与y轴的交轴的交点为点为)5 , 0(，求此曲线的方程，求此曲线的方程. 解解,sinsec2xxdxdy dxxxy sinsec2,costanCxx , 5)0( y, 6 C所求曲线方程为所求曲线方程为. 6costan xxy下页上页首页基本积分表基本积分表(1)不定积分的性质不定积分的性质 原函数的概念：原函数的概念：)()(xfxF 不定积分的概
10、念：不定积分的概念： CxFdxxf)()(求微分与求积分的互逆关系求微分与求积分的互逆关系下页上页首页思考题思考题符号函数符号函数 0, 10, 00, 1sgn)(xxxxxf在在 内是否存在原函数？为什么？内是否存在原函数？为什么？),( 下页上页首页思考题解答思考题解答不存在不存在.假设有原函数假设有原函数)(xF 0,0,0,)(xCxxCxCxxF但但)(xF在在0 x处处不不可可微微，故假设错误故假设错误所以所以 在在 内不存在原函数内不存在原函数.),( )(xf结论结论每一个含有每一个含有第一类间断点第一类间断点的函数都的函数都没有原函数没有原函数.下页上页首页一、一、 填空
11、题：填空题：1 1、 一个已知的函数，有一个已知的函数，有_个原函数，其中任意个原函数，其中任意两个的差是一个两个的差是一个_；2 2、 )(xf的的_称为称为)(xf的不定积分；的不定积分；3 3、 把把)(xf的一个原函数的一个原函数)(xF的图形叫做函数的图形叫做函数)(xf的的_，它的方程是，它的方程是)(xFy ，这样不定积，这样不定积 dxxf)(在几何上就表示在几何上就表示_，它的方程是，它的方程是 CxFy )(；4 4、 由由)()(xfxF 可 知 ， 在 积 分 曲 线 族可 知 ， 在 积 分 曲 线 族CxFy )( )(是任意常数是任意常数C上横坐标相同的点上横坐标
12、相同的点处作切线，这些切线彼此是处作切线，这些切线彼此是_的；的；5 5、 若若)(xf在某区间上在某区间上_，则在该区间上，则在该区间上)(xf的的 原函数一定存在；原函数一定存在；练习题练习题下页上页首页6 6、 dxxx_ _；7 7、 xxdx2_；8 8、 dxxx)23(2_；9 9、 dxxx)1)(1(3_；1010、 dxxx2)1(=_=_ ._ .二、二、 求下列不定积分：求下列不定积分：1 1、 dxxx221 2 2、 dxxxx32532下页上页首页3 3、 dxx2cos2 4 4、 dxxxx22sincos2cos5 5、 dxxxx)11(26 6、 xdx
13、xxx2222sec1sin 三、一曲线通过点三、一曲线通过点)3,(2e，且在任一点处的切线的斜，且在任一点处的切线的斜 率等于该点横坐标的倒数，求该曲线的方程率等于该点横坐标的倒数，求该曲线的方程 . . 下页上页首页一、一、1 1、无穷多、无穷多, ,常数；常数； 2 2、全体原函数；、全体原函数； 3 3、积分曲线、积分曲线, ,积分曲线族；积分曲线族； 4 4、平行；、平行； 5 5、连续；、连续； 6 6、Cx 2552； 7 7、 Cx 2332； 8 8、Cxxx 223323； 9 9、Cxxxx 2325332523、 1010、Cxxx 252352342. .练习题答案练习题答案下页上页首页二、二、1 1、 Cxx arctan； 2 2、Cxx 3ln2ln)32(52； 3 3、Cxx 2sin； Cxx )tan(cot. 4；5 5、Cxx 427)7(4； 6 6、Cxarcx cottan. .三、三、Cxy ln. .下页上页首页