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1、第十章 机械振动本讲稿第一页，共四十四页1、什么是振动：、什么是振动：物体在一固定位置附近作来回的往复运动，称为机械振动。物体在一固定位置附近作来回的往复运动，称为机械振动。广义地，凡是描述物质运动状态的广义地，凡是描述物质运动状态的物理量物理量，在某一固定，在某一固定值附近作周期性变化，都可称该物理量作振动。值附近作周期性变化，都可称该物理量作振动。振动的概念振动的概念任何一个具有质量和弹性的系统在其运动状态发生突变时任何一个具有质量和弹性的系统在其运动状态发生突变时,都会发生振动。都会发生振动。物体在发生摇摆、颠簸、打击、发声之处均有振动。物体在发生摇摆、颠簸、打击、发声之处均有振动。前言
2、前言2、振动的特征、振动的特征(在时间上）具有某种重复性。在时间上）具有某种重复性。本讲稿第二页，共四十四页广义地，凡是描述物质运动状态的广义地，凡是描述物质运动状态的物理量物理量，在某一固定，在某一固定值附近作周期性变化，都可称该物理量作振动。值附近作周期性变化，都可称该物理量作振动。2、振动的特征、振动的特征(在时间上）具有某种重复性。在时间上）具有某种重复性。广义地说，只要某一物理量在时间上做周期性变化，就存在广义地说，只要某一物理量在时间上做周期性变化，就存在一种振动；如果某一物理量不仅在时间上做周期性变化，而一种振动；如果某一物理量不仅在时间上做周期性变化，而且在空间上也做周期性变化
3、，那么就存在一种波动且在空间上也做周期性变化，那么就存在一种波动在力学、电磁学、光学、原子物理学中都普遍存在振动在力学、电磁学、光学、原子物理学中都普遍存在振动和波动现象，虽然本质不同，但对它们的数学描述是完和波动现象，虽然本质不同，但对它们的数学描述是完全相同的全相同的 本讲稿第三页，共四十四页以几个例子导出系统简谐振动的动力学方程，分析其动力学和运动学的共以几个例子导出系统简谐振动的动力学方程，分析其动力学和运动学的共同特征，给出简谐振动的几何描述，介绍简谐振动的合成，用以解决系统同特征，给出简谐振动的几何描述，介绍简谐振动的合成，用以解决系统的简谐振动问题。的简谐振动问题。给出阻尼振动的
4、微分方程以及运动学解，进一步分析给出阻尼振动的微分方程以及运动学解，进一步分析弱阻尼时的系统的能量问题。弱阻尼时的系统的能量问题。给出受迫振动的微分方程及其运动学解，重点讨给出受迫振动的微分方程及其运动学解，重点讨论稳态振动时的共振特征。论稳态振动时的共振特征。本讲稿第四页，共四十四页10-1 10-1 简谐振动的动力学特征简谐振动的动力学特征任何一个振动都可看成若干不同频率的简谐振动的合成。任何一个振动都可看成若干不同频率的简谐振动的合成。振动中最简单最基本的是简谐振动。振动中最简单最基本的是简谐振动。本讲稿第五页，共四十四页1）定义：）定义：构成：轻质弹簧一端固定其另一端构成：轻质弹簧一端
5、固定其另一端与刚体联结。与刚体联结。条件：位移限定在弹性限度内，不条件：位移限定在弹性限度内，不 计计弹簧内部摩擦。弹簧内部摩擦。2）无阻尼时的自由振动）无阻尼时的自由振动阻尼：阻尼：干摩擦、湿摩擦（介质阻力）、辐射干摩擦、湿摩擦（介质阻力）、辐射自由振动：指系统只受外界一次性扰动，而后的运动自由振动：指系统只受外界一次性扰动，而后的运动只只在系统内部恢复力作用下运动。在系统内部恢复力作用下运动。（1）平衡位置与坐标原点：）平衡位置与坐标原点：平衡位置：是系统处于稳定平稳的位置，并选该点为平衡位置：是系统处于稳定平稳的位置，并选该点为坐标原点（对水平面上的弹簧振子，则是其自由伸长处）。坐标原点
6、（对水平面上的弹簧振子，则是其自由伸长处）。X0 xFK一、简谐振动的几个例子一、简谐振动的几个例子一、简谐振动的几个例子一、简谐振动的几个例子1.1.弹簧振子弹簧振子弹簧振子弹簧振子 本讲稿第六页，共四十四页（3 3）惯性的作用）惯性的作用 整个系统是在内部线性恢复力和惯性的交互作用下来实现振整个系统是在内部线性恢复力和惯性的交互作用下来实现振 动的。动的。恢复力与位移成正比而反向恢复力与位移成正比而反向（线性回复力），即（线性回复力），即 （2 2）弹性恢复力的特点：弹性恢复力的特点：此处位移特指系统偏离平衡位置的位移此处位移特指系统偏离平衡位置的位移。F=-kx X0 xFK本讲稿第七页
7、，共四十四页3 3）弹簧振子的运动微分方程）弹簧振子的运动微分方程由牛顿定律：由牛顿定律：以振子为对以振子为对象象解微分方程得：解微分方程得：本讲稿第八页，共四十四页4 4）.简谐振动的定义简谐振动的定义 胡克定律胡克定律谐振振动的微分方程的微分方程谐振振动的运的运动方程方程 若物体的运动规律满足上述方程中的任一个，若物体的运动规律满足上述方程中的任一个，则其运动为简谐振动。则其运动为简谐振动。本讲稿第九页，共四十四页2）无阻尼时的自由振动）无阻尼时的自由振动（1）平衡位置与坐标原点：）平衡位置与坐标原点：铅直位置为角平衡位置，铅直位置为角平衡位置，o为角坐标原为角坐标原点。点。（2）恢复力矩
8、的特点：）恢复力矩的特点：重力对过悬点重力对过悬点0/的水平轴的力矩为：的水平轴的力矩为：负号表示力矩方向始终与角位移方向相反。负号表示力矩方向始终与角位移方向相反。1 1）定义）定义2、单摆、单摆对于较小幅度的摆动，对于较小幅度的摆动，本讲稿第十页，共四十四页3）单摆的运动微分方程）单摆的运动微分方程由定轴转动的转动定律：由定轴转动的转动定律：方程的解为方程的解为对于较小幅度的摆动，对于较小幅度的摆动，本讲稿第十一页，共四十四页3.复摆复摆 对于较小幅度的摆动，对于较小幅度的摆动，令令 整理得：整理得：1)定义定义2）同单摆一样分析可得复摆运动微分方程）同单摆一样分析可得复摆运动微分方程方程
9、的解为方程的解为本讲稿第十二页，共四十四页4.扭摆扭摆实验表明：实验表明：转动定律得：转动定律得：令令 整理得：整理得：结论结论：在回复力或回复力矩作用下，以平衡位置为坐标原点，简谐振动的标在回复力或回复力矩作用下，以平衡位置为坐标原点，简谐振动的标准微分方程为：准微分方程为：本讲稿第十三页，共四十四页二二.简谐振动的速度和加速度简谐振动的速度和加速度图图图图图图本讲稿第十四页，共四十四页10.210.2简谐振动的运动学简谐振动的运动学简谐振动的运动学简谐振动的运动学 本节主要讲解：本节主要讲解：本节主要讲解：本节主要讲解：根据简谐振动的动力学方程求其运动学方程，并讨论简谐运动的运动根据简谐振
10、动的动力学方程求其运动学方程，并讨论简谐运动的运动根据简谐振动的动力学方程求其运动学方程，并讨论简谐运动的运动根据简谐振动的动力学方程求其运动学方程，并讨论简谐运动的运动学特征。学特征。学特征。学特征。一、简谐振动的运动学方程一、简谐振动的运动学方程一、简谐振动的运动学方程一、简谐振动的运动学方程方程的解为：方程的解为：方程的解为：方程的解为：（1 1 1 1）上式就是上式就是上式就是上式就是简谐振动的运动学方程简谐振动的运动学方程简谐振动的运动学方程简谐振动的运动学方程，该式又是周期函数，故简谐振动是围绕平衡位，该式又是周期函数，故简谐振动是围绕平衡位，该式又是周期函数，故简谐振动是围绕平衡
11、位，该式又是周期函数，故简谐振动是围绕平衡位置的周期运动。置的周期运动。置的周期运动。置的周期运动。式中式中A A和和 0 0为由初始条件所决定的两个积分常数。为由初始条件所决定的两个积分常数。本讲稿第十五页，共四十四页二、描述简谐振动的物理量二、描述简谐振动的物理量二、描述简谐振动的物理量二、描述简谐振动的物理量1.1.周期（周期（周期（周期（T T）完成一次全振动所用的时间：完成一次全振动所用的时间：完成一次全振动所用的时间：完成一次全振动所用的时间：对弹簧振子：对弹簧振子：对弹簧振子：对弹簧振子：2.2.频率（频率（频率（频率（）单位时间内完成的全振动的次数：单位时间内完成的全振动的次数
12、：单位时间内完成的全振动的次数：单位时间内完成的全振动的次数：的含义：的含义：的含义：的含义：个单位时间内完成的全振动的次数，即个单位时间内完成的全振动的次数，即个单位时间内完成的全振动的次数，即个单位时间内完成的全振动的次数，即圆频率圆频率圆频率圆频率。本讲稿第十六页，共四十四页固有角频率固有角频率固有振动周期固有振动周期本讲稿第十七页，共四十四页3.3.振幅振幅振幅振幅定义：定义：定义：定义：物体离开平衡位置的最大位移。物体离开平衡位置的最大位移。物体离开平衡位置的最大位移。物体离开平衡位置的最大位移。振幅可以由初始条件决定。如：振幅可以由初始条件决定。如：振幅可以由初始条件决定。如：振幅
13、可以由初始条件决定。如：t t=0=0时刻，时刻，时刻，时刻，本讲稿第十八页，共四十四页4、位相和初位相、位相和初位相位相是描述系统机械运动状态的物理量。（相又指月相之相位相是描述系统机械运动状态的物理量。（相又指月相之相取其具取其具有周期性）有周期性）(i)用分析法确定特殊情况下的位相用分析法确定特殊情况下的位相vt=0时，时，x0=A,v0=0.(位位位置；相位置；相变化的态势）变化的态势）X0X0=+A（2 2）0 0 是是t t=0=0时刻的位相，即时刻的位相，即初位相（初位相（0 02 2 之间取值）之间取值）本讲稿第十九页，共四十四页X0v t=0时时,x0=0,v00本讲稿第二十
14、页，共四十四页即由初始条件所决定的两个积分常数即由初始条件所决定的两个积分常数(ii)(ii)用由初始条件决定的积分常数求初位相用由初始条件决定的积分常数求初位相0 0 取使取使x x0 0、v v0 0 均满足的值均满足的值 X0 A2v t=0时时,x0=A/2,v00，本讲稿第三十一页，共四十四页得得即即 所以振动方程为所以振动方程为方法二：方法二：用旋转矢量法求解用旋转矢量法求解t(s)x(cm)p420-4-21t=0 x本讲稿第三十二页，共四十四页一、动能一、动能二、势能二、势能三、总能三、总能四、动能和势能在一个周期内的平均值四、动能和势能在一个周期内的平均值设设x(t)=Aco
15、s(t+0)v(t)=-Asin(t+0)10-3 10-3 简谐振动的能量简谐振动的能量本讲稿第三十三页，共四十四页（1 1）振子在振振子在振动过程中，程中，动能和能和势能分能分别随随时间作作周期性变化，周期性变化，最大，最大，=0=0；最大，最大，=0=0，但任，但任一一时刻刻总机械能保持不机械能保持不变。即：。即：动能和势能互相转化动能和势能互相转化动能和势能互相转化动能和势能互相转化（3 3）动能和势能的变化频率是弹簧振子振动频率的两动能和势能的变化频率是弹簧振子振动频率的两倍。倍。（2 2）谐振振动的的总能量与振幅的平方成正比。（适能量与振幅的平方成正比。（适合于任合于任何谐振系统）
16、何谐振系统）结论结论：讨论：讨论：本讲稿第三十四页，共四十四页简谐运动势能曲线简谐运动势能曲线在任意位置，动能与势能之和为在任意位置，动能与势能之和为在一周期内平均动能和平均势能是相等的，都等于总能量的一半在一周期内平均动能和平均势能是相等的，都等于总能量的一半本讲稿第三十五页，共四十四页例题例题例题例题 当简谐振动的位移为振幅的一半时，其动能和势能当简谐振动的位移为振幅的一半时，其动能和势能各占总能量的多少？各占总能量的多少？物体在什么位置时其动能和势能各物体在什么位置时其动能和势能各占总能量的一半？占总能量的一半？解解本讲稿第三十六页，共四十四页104简谐振动的合成 一、同方向同频率简谐振
17、动的合成一、同方向同频率简谐振动的合成一、同方向同频率简谐振动的合成一、同方向同频率简谐振动的合成设质点参与同方向同频率的两个简谐振动：设质点参与同方向同频率的两个简谐振动：设质点参与同方向同频率的两个简谐振动：设质点参与同方向同频率的两个简谐振动：合位移：合位移：合位移：合位移：令：令：令：令：本讲稿第三十七页，共四十四页则：则：则：则：因此，因此，因此，因此，（1 1）式表明：式表明：式表明：式表明：同方向同频率的两个简谐振动合成后仍为一简谐振动，其频率和分振同方向同频率的两个简谐振动合成后仍为一简谐振动，其频率和分振同方向同频率的两个简谐振动合成后仍为一简谐振动，其频率和分振同方向同频率
18、的两个简谐振动合成后仍为一简谐振动，其频率和分振动频率相同动频率相同动频率相同动频率相同。或者：或者：或者：或者：由简谐振动的旋转矢量法表示：由简谐振动的旋转矢量法表示：由简谐振动的旋转矢量法表示：由简谐振动的旋转矢量法表示：、以频以频以频以频率旋转，率旋转，率旋转，率旋转，、之间的夹角不变，也以、之间的夹角不变，也以、之间的夹角不变，也以、之间的夹角不变，也以 旋转，平行四边形的形状不变。旋转，平行四边形的形状不变。旋转，平行四边形的形状不变。旋转，平行四边形的形状不变。本讲稿第三十八页，共四十四页讨论讨论讨论讨论：（1 1）若相位差）若相位差）若相位差）若相位差，即同相位，则：，即同相位，
19、则：，即同相位，则：，即同相位，则：，振，振，振，振幅最大；幅最大；幅最大；幅最大；（2 2）若相位差）若相位差）若相位差）若相位差，即反相位，则：，即反相位，则：，即反相位，则：，即反相位，则：，振幅最小；振幅最小；振幅最小；振幅最小；（3 3）一般情况下，振幅）一般情况下，振幅）一般情况下，振幅）一般情况下，振幅 A A 介于介于介于介于 与与与与 之间。之间。之间。之间。同方向同频率简谐振动的原理，在光波、声波等的干涉和衍射中很有用。同方向同频率简谐振动的原理，在光波、声波等的干涉和衍射中很有用。同方向同频率简谐振动的原理，在光波、声波等的干涉和衍射中很有用。同方向同频率简谐振动的原理，
20、在光波、声波等的干涉和衍射中很有用。本讲稿第三十九页，共四十四页二、同方向不同频率简谐振动的合成二、同方向不同频率简谐振动的合成二、同方向不同频率简谐振动的合成二、同方向不同频率简谐振动的合成若：两振动的周期之比：若：两振动的周期之比：若：两振动的周期之比：若：两振动的周期之比：，n n，m m 有最小公倍数，则：二有最小公倍数，则：二有最小公倍数，则：二有最小公倍数，则：二振动合成后仍有周期，但不是简谐振动，由旋转矢量图可知。振动合成后仍有周期，但不是简谐振动，由旋转矢量图可知。振动合成后仍有周期，但不是简谐振动，由旋转矢量图可知。振动合成后仍有周期，但不是简谐振动，由旋转矢量图可知。若：周
21、期之比若：周期之比若：周期之比若：周期之比不是整数比（如：无理数之比不是整数比（如：无理数之比不是整数比（如：无理数之比不是整数比（如：无理数之比)，则合振动没有周期，则合振动没有周期，则合振动没有周期，则合振动没有周期性。性。性。性。为了简单方便，设：为了简单方便，设：为了简单方便，设：为了简单方便，设：则：则：则：则：（2 2）本讲稿第四十页，共四十四页假如：假如：假如：假如：则：则：则：则：的周期远大于的周期远大于的周期远大于的周期远大于 的周期。的周期。的周期。的周期。令：令：令：令：则则则则式就成为：式就成为：式就成为：式就成为：（3 3）本讲稿第四十一页，共四十四页（3 3）式可以
22、看作：振幅按照式可以看作：振幅按照式可以看作：振幅按照式可以看作：振幅按照 缓慢变化的，而圆频率等于缓慢变化的，而圆频率等于缓慢变化的，而圆频率等于缓慢变化的，而圆频率等于 的的的的准简谐振动。即：振幅有周期变化的简谐振动。准简谐振动。即：振幅有周期变化的简谐振动。准简谐振动。即：振幅有周期变化的简谐振动。准简谐振动。即：振幅有周期变化的简谐振动。平均圆频率平均圆频率平均圆频率平均圆频率 令：令：令：令：调制圆频率调制圆频率调制圆频率调制圆频率 式就成为：式就成为：式就成为：式就成为：（3 3）本讲稿第四十二页，共四十四页（3 3）（3 3）式即：式即：式即：式即：合振动为圆频率等于平均圆频率
23、的合振动为圆频率等于平均圆频率的合振动为圆频率等于平均圆频率的合振动为圆频率等于平均圆频率的“简谐振动简谐振动简谐振动简谐振动”，其振幅作缓，其振幅作缓，其振幅作缓，其振幅作缓慢的周期变化慢的周期变化慢的周期变化慢的周期变化。拍拍拍拍：振振振振动动动动方方方方向向向向相相相相同同同同，频频频频率率率率之之之之和和和和远远远远大大大大于于于于频频频频率率率率之之之之差差差差的的的的两两两两个个个个简简简简谐谐谐谐振振振振动动动动合合合合成成成成时时时时，合合合合振振振振动动动动振振振振幅周期变化的现象叫拍。幅周期变化的现象叫拍。幅周期变化的现象叫拍。幅周期变化的现象叫拍。合振动变化一个周期叫合振
24、动变化一个周期叫合振动变化一个周期叫合振动变化一个周期叫一拍一拍一拍一拍；单位时间内拍出现的次数叫；单位时间内拍出现的次数叫；单位时间内拍出现的次数叫；单位时间内拍出现的次数叫拍频拍频拍频拍频。不论不论不论不论 达到正的最大或负的最大，对加强振幅来说，都是等效的，达到正的最大或负的最大，对加强振幅来说，都是等效的，达到正的最大或负的最大，对加强振幅来说，都是等效的，达到正的最大或负的最大，对加强振幅来说，都是等效的，因此拍的圆频率为：因此拍的圆频率为：因此拍的圆频率为：因此拍的圆频率为：本讲稿第四十三页，共四十四页因此，因此，因此，因此，拍频为：拍频为：拍频为：拍频为：问题：问题：问题：问题：若二分振动的振幅不同，但初位相若二分振动的振幅不同，但初位相若二分振动的振幅不同，但初位相若二分振动的振幅不同，但初位相 仍都为零，则合振动仍会形成仍都为零，则合振动仍会形成仍都为零，则合振动仍会形成仍都为零，则合振动仍会形成拍吗？拍吗？拍吗？拍吗？本讲稿第四十四页，共四十四页