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1、第六章短期聚合风险模型本讲稿第一页，共六十二页引言引言短期聚合风险模型短期聚合风险模型是讨论保单组合的总损失模型：是讨论保单组合的总损失模型：SC1+C2+CN其中：其中：Ci是第是第i次理赔的理赔额，次理赔的理赔额，N是单位时间内理赔次数。是单位时间内理赔次数。通常假定：通常假定：1.C1，C2，Cn独立同分布，独立同分布，2.N与与Ci独立。独立。本讲稿第二页，共六十二页短期聚合风险模型短期聚合风险模型是讨论保单组合的总损失模型：是讨论保单组合的总损失模型：SC1+C2+CN短期个别风险模型与短期聚合风险模型的区别：短期个别风险模型与短期聚合风险模型的区别：假设有假设有10个风险载体，标号
2、分别为个风险载体，标号分别为#1、#2、#10。在在1年内共发生年内共发生5次损失事故。次损失事故。第第 i 次事故次事故 1 2 3 4 5 损失损失 0.65 1.24 1.19 0.30 2.47 风险载体标号风险载体标号#7#2#3#5#8 试计算总损失量试计算总损失量S。本讲稿第三页，共六十二页个体模型：个体模型：S=X1+X2+X10其中其中 Xi为第为第i个风险载体的损失量。个风险载体的损失量。S=第第1号个体损失号个体损失+第第2号个体损失号个体损失 +第第10号个体损失号个体损失 =0+1.24+1.19+0+0.30 +0+0.65+2.47+0+0 =5.85聚合模型聚合
3、模型:S=C1+C2+C5其中其中 Ci为第为第i次事故导致的损失量；次事故导致的损失量；S=第第1次事故损失次事故损失+第第2次事故损失次事故损失 +第第5次事故损失次事故损失 =0.65+1.24+1.19+0.30+2.47 =5.85 第第 i 次事故次事故 1 2 3 4 5 损失损失 0.65 1.24 1.19 0.30 2.47 风险载体标号风险载体标号#7#2#3#5#8本讲稿第四页，共六十二页短期聚合风险模型短期聚合风险模型是讨论保单组合的总损失模型：是讨论保单组合的总损失模型：SC1+C2+CN N一般为事先确定的随机变量，如一般为事先确定的随机变量，如N服从泊松分布等服
4、从泊松分布等(此时此时S称为称为复合泊松分布复合泊松分布)，可作如下解释：，可作如下解释：在单位时间内，有新加入或退保的在单位时间内，有新加入或退保的(开放式风险模型开放式风险模型)单张保单可以发生若干次理赔单张保单可以发生若干次理赔(个体模型中之多出现一次个体模型中之多出现一次)本讲稿第五页，共六十二页教材教材P81页页 习题习题1X=抛抛5次硬币获得的正面朝上数；次硬币获得的正面朝上数；Y=抛抛X个骰子获得的点数；个骰子获得的点数；求：求：EY和和VarY本讲稿第六页，共六十二页解解1：利用短期个体风险模型：利用短期个体风险模型 理解为：分别抛理解为：分别抛5个硬币，对于所抛的每个硬币，如
5、果朝上就抛一个骰子，个硬币，对于所抛的每个硬币，如果朝上就抛一个骰子，记下点数记下点数W。于是。于是 Y=W1+W2+W3+W4+W5。其中，其中，Wi是第是第i个硬币朝上时抛骰子所获得的点数。个硬币朝上时抛骰子所获得的点数。W=IB，I=硬币朝上的值（硬币朝上的值（0或或1），），q=P(I=0)=P(I=1)=1/2 B=骰子的点数（骰子的点数（16），），P(B=j|I=1)=1/6,j=1,2,6 =EB|I=1=(1+2+3+4+5+6)/6=7/2 EB2|I=1=(1+4+9+16+25+36)/6=91/6 2=VarB|I=1=35/12 EY=5q=5(7/2)(1/2)=
6、35/4 VarY=5q(1-q)+2q=5(47/4)(1/2)(1/2)+(35/12)(1/2)=1085/48本讲稿第七页，共六十二页解解2：利用短期聚合风险模型：利用短期聚合风险模型C为一颗骰子的点数，为一颗骰子的点数，X为连仍为连仍5次硬币，次硬币，“国徽国徽”面朝上的次数，面朝上的次数，则则X为为b(5,),E(X)=5/2,Var(X)=5/4本讲稿第八页，共六十二页短期聚合风险模型短期聚合风险模型是讨论保单组合的总损失模型：是讨论保单组合的总损失模型：SC1+C2+CN 主要内容：主要内容：理赔总量理赔总量S的分布的分布 S的期望、方差和矩母函数的期望、方差和矩母函数 S的分
7、布的分布(矩母函数法、卷积法矩母函数法、卷积法)复合泊松分布复合泊松分布 理赔理赔S的近似逼近的近似逼近本讲稿第九页，共六十二页一、理赔总量一、理赔总量S的分布的分布SC1+C2+CN一、一、S 的期望、方差和矩母函数的期望、方差和矩母函数本讲稿第十页，共六十二页SC1+C2+CN一、一、S 的期望、方差和矩母函数的期望、方差和矩母函数本讲稿第十一页，共六十二页例例1 已知已知N服从参数为服从参数为p=1/4几何分布，即几何分布，即N的概率函数的概率函数为为Ci服从服从(0,1)区间上的均匀分布，其概率密度为区间上的均匀分布，其概率密度为求求S的期望、方差和矩母函数。的期望、方差和矩母函数。解
8、：解：由已知可得由已知可得本讲稿第十二页，共六十二页解：解：由已知可得由已知可得本讲稿第十三页，共六十二页例例2 已知已知N服从参数为服从参数为1/4几何分布，即几何分布，即N的概率函数为的概率函数为Ci服从参数为服从参数为1的指数分布的均匀分布，其分布函数的指数分布的均匀分布，其分布函数为为求求S的矩母函数与分布函数。的矩母函数与分布函数。解：解：由已知可得由已知可得本讲稿第十四页，共六十二页解：解：由已知可得由已知可得单点分布单点分布:P(X=0)=1的矩母函数为的矩母函数为MX(t)=1参数为参数为1/4的的指数分布指数分布所以所以S的分布函数为的分布函数为本讲稿第十五页，共六十二页分布
9、函数分布函数FS(x)p=1/41S0F(x)所以所以S的分布函数为的分布函数为S的为混合分布，概率密度在的为混合分布，概率密度在x=0处有一个集中值。处有一个集中值。分布密度分布密度fS(x)p=1/4S0f(x)本讲稿第十六页，共六十二页例例3 设有一个保险公司，在某一年度内的某种寿险业务适合开放设有一个保险公司，在某一年度内的某种寿险业务适合开放式模型，其中保单个数式模型，其中保单个数N服从参数为服从参数为l l的泊松分布，若每一保险标的泊松分布，若每一保险标发生保险责任事故，则赔付一个单位的金额，并且每一保险标的发生发生保险责任事故，则赔付一个单位的金额，并且每一保险标的发生事故次数服
10、从参数为事故次数服从参数为p的的0-1分布，求这种寿险业务总赔付额的概分布，求这种寿险业务总赔付额的概率分布。率分布。解：解：每次赔付都为每次赔付都为1个单位额，故个单位额，故C01P(C=k)1-pp从而有从而有 MC(t)=pet+(1-p)又又N服从参数为服从参数为l l的泊松分布，故的泊松分布，故所以，这种寿险业务总赔付额也服从泊松分布，所以，这种寿险业务总赔付额也服从泊松分布，参数为参数为l lp。本讲稿第十七页，共六十二页卷积公式 二、理赔总量二、理赔总量S 的概率分布的概率分布(卷积方法卷积方法)S 的分布函数为的分布函数为全概率公式S 的分布密度为的分布密度为本讲稿第十八页，共
11、六十二页例例4 假设有一组保单组合，在单位时间内可能发生的理假设有一组保单组合，在单位时间内可能发生的理赔次数为赔次数为0，1，2和和3，相应的概率为，相应的概率为0.1，0.3，0.4和和0.2，每一张保单可能产生的理赔额为，每一张保单可能产生的理赔额为1，2，3，相应的概率，相应的概率为为0.5，0.4和和0.1，试计算理赔总量，试计算理赔总量S的概率分布。的概率分布。解：解：设设N表示理赔次数，表示理赔次数，C表示每张保单产生的理赔额，表示每张保单产生的理赔额，则则因此因此其中其中S的取值范围是：的取值范围是：1，2，9本讲稿第十九页，共六十二页xf*0(x)f*1(x)f*2(x)f*
12、3(x)fS(x)FS(x)010.10.110.50.150.2520.40.25?0.4730.10.4?0.2150.6854?0.1640.84950.080.3150.0950.94460.010.1840.04080.984870.630.01260.997480.0120.00240.999890.0010.00021N0123P0.10.30.40.2请大家计算：请大家计算：f*2(4),f*3(3),f*3(4),fS(2)。0.260.1250.30.22本讲稿第二十页，共六十二页二、复合泊松分布二、复合泊松分布SC1+C2+CN 若若N服从泊松分布，则称聚合理赔量模型为服
13、从泊松分布，则称聚合理赔量模型为复合泊松模型复合泊松模型(S服从复合泊松分布服从复合泊松分布)。满足：满足：1.N服从参数为服从参数为 0的泊松分布；的泊松分布；2.理赔额变量理赔额变量 C1，C2，独立同分布；独立同分布；3.N与与C1，C2，独立。独立。本讲稿第二十一页，共六十二页一、复合泊松模型常规性质一、复合泊松模型常规性质S的期望：的期望：S的方差：的方差：S的矩母函数：的矩母函数：卷积公式卷积公式(密度密度)：本讲稿第二十二页，共六十二页二、复合泊松模型特殊性质二、复合泊松模型特殊性质1、求和的封闭性、求和的封闭性(叠加性叠加性)定理：定理：已知已知S1,S2,Sm是相互是相互独立
14、独立的随机变量，且的随机变量，且Si为参为参数为数为l li的的复合泊松分布复合泊松分布，个体索赔，个体索赔(理赔额理赔额)的分布函数为的分布函数为Pi(x),i=1,2,m，则，则S=S1+S2+Sm服从参数为服从参数为l l=i的的复合泊松分布复合泊松分布，且，且个体索赔个体索赔(理赔额理赔额)C的分布函数为：的分布函数为：背景：背景：m可看成可看成m个保险保单组合，个保险保单组合，S则是这则是这m个保单组合的总索个保单组合的总索赔额。赔额。S也可以看作同一个保单组合在也可以看作同一个保单组合在m个不同年度内的总索赔额个不同年度内的总索赔额本讲稿第二十三页，共六十二页证明：证明：Si的矩母
15、函数为的矩母函数为由于由于S1,S2,Sm为相互独立的随机变量，因此为相互独立的随机变量，因此S的矩母函数为：的矩母函数为：因此因此所以所以S为参数为为参数为l l，个体索赔分布函数为，个体索赔分布函数为P(x)的复合泊松分布。的复合泊松分布。本讲稿第二十四页，共六十二页例例5 S1为复合泊松分布，为复合泊松分布，l l12，S2为复合泊松分布，为复合泊松分布，l l23，若若S1与与S2独立，试计算理赔总量独立，试计算理赔总量S=S1+S2的方差及其理赔额的方差及其理赔额C的方差。的方差。解：解：Var(S)=Var(S1)+Var(S2)本讲稿第二十五页，共六十二页S1：l l12，S2：
16、l l23，由题意可知由题意可知S服从复合泊松分布，泊松参数服从复合泊松分布，泊松参数l l=2+3=5理赔额理赔额C的分布为的分布为本讲稿第二十六页，共六十二页当然也有当然也有Var(S)=l lE(C2)=5*5.32=26.6本讲稿第二十七页，共六十二页练习：练习：设设S1服从复合泊松分布，服从复合泊松分布，S2也服从复合泊松分布，也服从复合泊松分布，若若S1和和S2相互独立，求相互独立，求SS1S2的分布。的分布。解：解：S服从复合泊松分布，参数服从复合泊松分布，参数l l25，个别理赔额变量分布，个别理赔额变量分布为：为：本讲稿第二十八页，共六十二页例例6 设设x1,x2,xm是是m
17、个不同实数，个不同实数，N1,N2,Nm是相互是相互独立的随机变量，假如独立的随机变量，假如Ni服从参数为服从参数为l li的泊松分布，求的泊松分布，求S=x1N1x2N2 xmNm 的分布。的分布。解：解：xiNi 可看作服从参数为可看作服从参数为l li的复合泊松分布，的复合泊松分布，其中理赔额变量其中理赔额变量(单次索赔额单次索赔额)的分布为的分布为xi处的处的单点分布单点分布由定理可得由定理可得S服从参数为服从参数为 的复合泊松分布，且理赔额的复合泊松分布，且理赔额变量的分布为变量的分布为本讲稿第二十九页，共六十二页 从而，对于任何离散型理赔额变量的复合泊松分布都可从而，对于任何离散型
18、理赔额变量的复合泊松分布都可以写成以写成 x1N1x2N2 xmNm 的形式。的形式。这里：这里：xi为理赔额变量的离散值，为理赔额变量的离散值，Ni为理赔额为理赔额xi发生的次数。发生的次数。即将即将SC1+C2+CN重新组合后，有重新组合后，有Sx1N1x2N2 xmNm本讲稿第三十页，共六十二页二、复合泊松模型特殊性质二、复合泊松模型特殊性质2、可分解性、可分解性定理：定理：设设S服从参数为服从参数为l l的复合泊松分布，个体索赔的复合泊松分布，个体索赔(理理赔额赔额)的分布为的分布为P(C=xi)=i,i=1,2,m，且取值，且取值xi的索赔的索赔次数为次数为 Ni，则有，则有Sx1N
19、1x2N2 xmNm其中其中NN1N2 Nm为理赔次数为理赔次数且且 1）N1,N2,Nm相互独立；相互独立；2）Ni服从参数为服从参数为l li=l l i 的泊松分布，的泊松分布，i=1,2,m即：即：SixiNi=xixi xi(Nm个个)服从参数为服从参数为l li的复合泊松分布，且的复合泊松分布，且S1,S2,Sm相互独立；相互独立；本讲稿第三十一页，共六十二页定理说明，结论定理说明，结论2（1）N的分布：泊松分布，参数为的分布：泊松分布，参数为。MN(t)=exp(et-1)（2）Ni的分布：的分布：Ni含义是含义是 N次事故中，发生损失量为次事故中，发生损失量为xi的次数。的次数
20、。显然，显然，Ni服从二项分布。服从二项分布。但注意但注意N是随机变量，所以实际上是随机变量，所以实际上Ni在在N确定的条件下才服确定的条件下才服从二项分布。即从二项分布。即 Ni|N=n b（n，pi）。）。pi=p(C=xi)本讲稿第三十二页，共六十二页定理说明，结论定理说明，结论2于是，于是，到底到底Ni服从什么分布？服从什么分布？回答：回答：Ni以以N为条件服从二项分布；为条件服从二项分布；Ni独立服从泊松分布；独立服从泊松分布；本讲稿第三十三页，共六十二页设设S服从参数为服从参数为l l的复合泊松分布，个体索赔的复合泊松分布，个体索赔 N表示总的损失次数，表示总的损失次数，NP(l
21、l);Ni表示损失额为表示损失额为xi的损失次数，的损失次数，NiP(lplpi);则则N=N1+N2+Nm以下两式以不同方式度量总损失以下两式以不同方式度量总损失S=C1+C2+CNSx1N1x2N2 xmNm复合泊松的两种度量方式复合泊松的两种度量方式本讲稿第三十四页，共六十二页三、复合泊松模型的迭代公式三、复合泊松模型的迭代公式前提：假设理赔额变量的值均为正整数前提：假设理赔额变量的值均为正整数记记 l li=l lp(i)则有如下递推公式：则有如下递推公式：利用初值利用初值可依次计算出可依次计算出 f(1),f(2),注：注：公式中只有有限个非零项。公式中只有有限个非零项。因为因为 1
22、)若若ix,则则 f(x-i)=0;2)若最大理赔量为若最大理赔量为m，则对于，则对于im，有，有l li0。这里这里p(i)=P(C=xi)本讲稿第三十五页，共六十二页例例7 假设假设S为复合泊松分布，参数为为复合泊松分布，参数为l l1，个体理赔额变量，个体理赔额变量为为1，2的概率为的概率为0.25，0.75。计算。计算S的概率分布的概率分布fS(x)=P(S=x)在在x=0,1,2的值。的值。解：解：方法一方法一:利用模型利用模型S=C1+C2+CN 直接使用卷积公式直接使用卷积公式f(0)=P(N=0)=e-1f(1)=P(N=1)P(C=1)=0.25e-1f(2)=P(N=1)P
23、(C=2)+P(N=2)P(C=1)P(C=1)=e-1*0.75+0.5e-1*0.25*0.25=0.78125e-1本讲稿第三十六页，共六十二页例例7 假设假设S为复合泊松分布，参数为为复合泊松分布，参数为l l1，个体理赔额变，个体理赔额变量为量为1，2的概率为的概率为0.25，0.75。计算。计算S的概率分布的概率分布fS(x)=P(S=x)在在x=0,1,2的值。的值。解：解：方法二方法二:利用模型利用模型S=N1+2N2 再使用卷积公式再使用卷积公式 1=p(1)=1/4;2=p(2)=3/4 f(0)=P(N1=0)P(2N2=0)=e-1/4e-3/4=e-1 f(1)=P(
24、N1=1)P(2N2=0)=(1/4)e-1/4e-3/4=(1/4)e-1 f(2)=P(N1=0)P(2N2=2)+P(N1=2)P(2N2=0)=e-1/4(3/4)e-3/4+(1/32)e-1/4 e-3/4=(25/32)e-1本讲稿第三十七页，共六十二页例例7 假设假设S为复合泊松分布，参数为为复合泊松分布，参数为l l1，个体理赔额变量，个体理赔额变量为为1，2的概率为的概率为0.25，0.75。计算。计算S的概率分布的概率分布fS(x)=P(S=x)在在x=0,1,2的值。的值。解：解：方法三方法三:利用迭代公式利用迭代公式 1=p(1)=1/4;2=p(2)=3/4 f(0
25、)=P(N=0)=e-1 f(1)=1f(0)=(1/4)e-1 f(2)=(1/2)1f(1)+2f(0)=(25/32)e-1本讲稿第三十八页，共六十二页P95页例页例6-6 假设假设S为复合泊松分布，为复合泊松分布，l l0.8，理赔额变量为，理赔额变量为1，2，3和相应的概率为和相应的概率为0.25，0.375，0.375。计算。计算S的概率分的概率分布布fS(x)=P(S=x)在在x=0,1,2,3,4,5,6的值。的值。解：解：方法一方法一:直接使用卷积公式直接使用卷积公式本讲稿第三十九页，共六十二页本讲稿第四十页，共六十二页P95页例页例6-6假设假设S为复合泊松分布，为复合泊松
26、分布，l l0.8，理赔额变量为，理赔额变量为1，2，3和相应的概率为和相应的概率为0.25，0.375，0.375。计算。计算S的概率的概率密度密度fS(x)=P(S=x)在在x=0,1,2,3,4,5,6的值。的值。解：解：方法二方法二:理赔额变量的取值仅有理赔额变量的取值仅有1，2，3三种情况三种情况于是于是 S1N12N23N3其中其中 N1,N2,N3相互独立，且服从参数为：相互独立，且服从参数为：l l1=p(1)=0.8*0.25=0.2,l l2=p(2)=0.8*0.375=0.3,l l3=p(3)=0.8*0.375=0.3,的泊松分布。的泊松分布。本讲稿第四十一页，共六
27、十二页l1=0.2l2=0.3l3=0.32列*3列4*5=2*3*4方法二方法二:仅需要做两次卷积就得到相同的结果。仅需要做两次卷积就得到相同的结果。本讲稿第四十二页，共六十二页P95页例页例6-6假设假设S为复合泊松分布，为复合泊松分布，l l0.8，理赔额变量为，理赔额变量为1，2，3和相应的概率为和相应的概率为0.25，0.375，0.375。计算。计算S的概的概率密度率密度fS(x)=P(S=x)在在x=0,1,2,3,4,5,6的值。的值。解：解：方法三方法三:利用迭代公式利用迭代公式 其中其中 l li p(i)故，故，l l1=p(1)=0.8*0.25=0.2,l l2=p(
28、2)=0.8*0.375=0.3,l l3=p(3)=0.8*0.375=0.3,所以所以本讲稿第四十三页，共六十二页解：解：方法三方法三:本讲稿第四十四页，共六十二页四、迭代公式的一般情形四、迭代公式的一般情形 设个体保单索赔额设个体保单索赔额C取值取值0，1，2，r，这，这r个值表示货币单位个值表示货币单位的整数倍，表示最大的赔付额，的整数倍，表示最大的赔付额，r可以取值无穷。假设索赔次数可以取值无穷。假设索赔次数N属于属于（a,b）分布族）分布族,即分布列满足下面关系式即分布列满足下面关系式定理定理 如果理赔次数如果理赔次数N的分布属于（的分布属于（a,b）分布族，索赔额）分布族，索赔额
29、C取有限个整取有限个整数值，则总索赔额的分布为数值，则总索赔额的分布为本讲稿第四十五页，共六十二页常见的（常见的（a,b）类分布）类分布P(N=n)参数a参数泊松ne-/n!;n=0,1,0二项(mn)pn(1-p)m-n;n=0,1,.-p/(1-p)(m+1)p/(1-p)几何(1-p)np;n=0,1,1-p0负二项(r+n-1n)pr(1-p)n;n=0,1,1-p(r-1)(1-p)本讲稿第四十六页，共六十二页五、常见部分赔偿形式五、常见部分赔偿形式免赔额免赔额含义：含义：当损失额低于某一限额时不做赔偿，这一限额称为免赔额当损失额低于某一限额时不做赔偿，这一限额称为免赔额（或自付额）
30、，当损失额高于免赔额，只赔偿高出的部分。（或自付额），当损失额高于免赔额，只赔偿高出的部分。例如，免赔额为例如，免赔额为50元。元。请问请问：Y和和Y*的区的区别别是什么？是什么？数学形式：数学形式：本讲稿第四十七页，共六十二页Y*的分布容易的分布容易计计算，算，Y的分布是在的分布是在Xd的条件下的条件下,Xd的条件分布。的条件分布。记记Y的分布函数的分布函数记为记为FY(y)，当当y0时，时，当当y0 0时时，本讲稿第四十八页，共六十二页例例8：设某保险公司承保医疗保险，设某保险公司承保医疗保险，X表示一次医疗费用，表示一次医疗费用，N表示看病的次数，服从泊松分布，参数表示看病的次数，服从泊
31、松分布，参数 100，S表示该医表示该医疗保险的总费用，设疗保险的总费用，设X的分布密度为的分布密度为解：解：求：求：1）保险公司总理赔额的期望和方差；）保险公司总理赔额的期望和方差；2）若免赔额）若免赔额d50，则总理赔额的期望和方差。，则总理赔额的期望和方差。1)总理赔额的期望和方差为总理赔额的期望和方差为E(S)=8333.3 Var(S)=10416 66.72)若免赔额若免赔额d=50，则总理赔额的期望和方差为，则总理赔额的期望和方差为E(S)=4266.7 Var(S)=426666.7本讲稿第四十九页，共六十二页三、聚合理赔量的近似模型三、聚合理赔量的近似模型SX1+X2+Xn
32、曾用曾用正态分布正态分布来近似短期个别风险模型的理赔总量。来近似短期个别风险模型的理赔总量。SC1+C2+CN 在聚合风险模型中，在聚合风险模型中，正态分布正态分布也是首先考虑的近似模型，主也是首先考虑的近似模型，主要用来讨论理赔分布基本对称的情形；在理赔分布有偏斜的情要用来讨论理赔分布基本对称的情形；在理赔分布有偏斜的情况下，用况下，用平移伽玛平移伽玛分布近似。分布近似。本讲稿第五十页，共六十二页一、正态近似一、正态近似定理定理 设理赔额变量设理赔额变量C的分布函数为的分布函数为F(x),p1=E(C),p2=E(C2)（1）如果）如果S是复合泊松分布，参数为是复合泊松分布，参数为l l，则
33、当，则当l l时，有时，有的分布趋于标准正态分布。的分布趋于标准正态分布。（2）如果）如果S是复合负二项式分布，参数为是复合负二项式分布，参数为r和和p，则当，则当l l时，有时，有的分布趋于标准正态分布。的分布趋于标准正态分布。本讲稿第五十一页，共六十二页证明：证明：通过矩母函数通过矩母函数 (标准正态分布的矩母函数标准正态分布的矩母函数)(1)(1)由于由于 这里这里p1=E(C),p2=E(C2)故故本讲稿第五十二页，共六十二页证明：证明：通过矩母函数通过矩母函数 (标准正态分布的矩母函数标准正态分布的矩母函数)(1)(1)由于由于 这里这里p1=E(C),p2=E(C2)故故由矩母函数
34、级数展开式由矩母函数级数展开式将将 替换替换t，代入上式，得，代入上式，得当当l l时时即即Z的极限分布为标准正态分布。的极限分布为标准正态分布。本讲稿第五十三页，共六十二页(2)对对于于负负二二项项分布，令分布，令 再用再用类类似的方法，似的方法，证证明明Z分布在分布在r时时，时趋时趋于于标标准正准正态态分布。此分布。此处处不再叙述。不再叙述。本讲稿第五十四页，共六十二页设设 为为gamma分布的分布函数，分布的分布函数，若若设设h(x)和和g(x)为为H(x,a a,b b,x0)和和G(x,a a,b b,)的分布函数密度，的分布函数密度，则则从从图图形上形上H和和G只差了一个平移只差了
35、一个平移变换变换。二、平移伽玛近似二、平移伽玛近似对对任意一点任意一点x0，定，定义义一个新的分布函数：一个新的分布函数：H(x,a a,b b,x0)=G(x-x0;a a,b b,)本讲稿第五十五页，共六十二页下面我下面我们们用用h(x)来描述总索赔来描述总索赔S的分布密度。的分布密度。因因为为h(x)有三个参数，所以只需根据有三个参数，所以只需根据S的均的均值值、方差和三、方差和三阶阶中心矩中心矩定出定出h(x)的形状和位置。的形状和位置。又因为又因为H的均的均值值，方差和三，方差和三阶阶中心矩分中心矩分别为别为所以用所以用h(x)来描述来描述S的分布的分布时时，下面三个等式近似成立。，
36、下面三个等式近似成立。这这是一方程是一方程组组，解出解出x0,a a,b b 这样这样就可以得到一个平移就可以得到一个平移gamma分布。分布。本讲稿第五十六页，共六十二页 这样这样就可以得到一个平移就可以得到一个平移gamma分布。分布。当当S为为复合泊松分布复合泊松分布时时，可，可简简化化为为其中其中若若 ，则则当当 时时可以可以证证明明H(x,a a,b b,x0)趋趋于正于正态态分布分布N(m,s(m,s2)。因此，正因此，正态态分布可以看作是分布可以看作是这这种三参数分布的一种极限情况。从种三参数分布的一种极限情况。从这这个意个意义义上来上来说说，平移，平移gamma分布近似是正分布
37、近似是正态态近似的推广。近似的推广。本讲稿第五十七页，共六十二页例例9 设设S为为复合泊松分布复合泊松分布,参数参数l l=12,当理当理赔额变赔额变量量C服从服从0,1上的均上的均匀分布，匀分布，试试分分别别用（用（1）正）正态态近似近似（2）平移）平移gamma近似近似计计算算P(S10)。解：（解：（1）由条件易知）由条件易知于是得到于是得到 E(S)=所以，所以，（2）令）令则则解方程解方程组组得得因此因此S的分布函数的分布函数为为l lp1=6Var(S)=l lp2=4E(S-E(S)3=l lp3=3所以，所以，本讲稿第五十八页，共六十二页例例10 考考虑虑参数参数l l=12的
38、泊松分布，的泊松分布，分分别别用正用正态态近似和平移近似和平移gamma近似近似计计算算x=5,10,15,20,25,30,35,40的分布函数的分布函数值值，并比，并比较较那个近似那个近似效果更好。效果更好。解：泊松分布可以一种复合泊松分布，其中理解：泊松分布可以一种复合泊松分布，其中理赔额变赔额变量量C退化退化为为1个个货币单货币单位的位的单单点分布，点分布，理理赔赔次数次数N为为参数参数为为 的泊松分布。的泊松分布。精确分布近似分布xP()gamma近似正态近似50.0013840.0016360.004332100.0773960.0777390.084566150.4667450.
39、4665600.450262200.8681680.8680930.869705250.9868810.9866040.991226300.9994330.9993780.999856350.9999880.9999850.99999940111本讲稿第五十九页，共六十二页练习练习 S1服从复合泊松分布，参数服从复合泊松分布，参数 1=1,f1(1)=0.75,f1(5)=0.25;S2服从复合泊松分布，参数服从复合泊松分布，参数 2=1，f2(3)=0.5,f2(7)=0.5;S1、S2相互独立。求相互独立。求P(S1+S23)解：解：S=S1+S2，S也服从复合泊松分布，参数为也服从复合泊
40、松分布，参数为=1+1=2。对应个别损失量的分布为对应个别损失量的分布为 f(1)=(1/2)(0.75)=3/8 f(3)=(1/2)(0.5)=1/4 f(5)=(1/2)(0.25)=1/8 f(7)=(1/2)(0.5)=1/4P(S1+S23)=P(S3)=P(N=0)+P(N=1)P(X=1)+P(X=3)+P(N=2)P(X=1)P(X=1)+P(N=3)P(X=1)P(X=1)P(X=1)法一法一:利用模型利用模型S=C1+C2+CN 直接使用卷积公式直接使用卷积公式本讲稿第六十页，共六十二页P(S1+S23)=P(N=0)+P(N=1)P(X=1)+P(X=3)+P(N=2)
41、P(X=1)P(X=1)+P(N=3)P(X=1)P(X=1)P(X=1)P(N=0)=e-=e-2 P(N=1)=e-=2e-2 P(N=2)=2e-/2!=2e-2 P(N=3)=3e-/3!=(4/3)e-2 P(S1+S23)=e-2+2e-2(3/8+1/4)+2e-2(3/8)2+(4/3)e-2(3/8)3 =0.35208本讲稿第六十一页，共六十二页练习练习 S1服从复合泊松分布，参数服从复合泊松分布，参数 1=1,f1(1)=0.75,f1(5)=0.25;S2服从复合泊松分布，参数服从复合泊松分布，参数 2=1，f2(3)=0.5,f2(7)=0.5;S1、S2相互独立。求
42、相互独立。求P(S1+S23)解：解：S=S1+S2，S也服从复合泊松分布，参数为也服从复合泊松分布，参数为=1+1=2。对应个别损失量的分布为对应个别损失量的分布为 f(1)=(1/2)(0.75)=3/8 f(3)=(1/2)(0.5)=1/4 f(5)=(1/2)(0.25)=1/8 f(7)=(1/2)(0.5)=1/4法二法二:利用卷积公式利用卷积公式 f(0)=P(N=0)=e-2 f(1)=1f(0)=(3/4)e-2 f(2)=(1/2)1f(1)+2f(0)=(1/2)(3/4)(3/4)e-2+0 f(3)=(1/3)1f(2)+(2/3)2f(1)+3f(0)=(1/3)(3/4)f(2)+0+(1/4)f(0)P(S1+S23)=f(0)+f(1)+f(2)+f(3)=0.35208本讲稿第六十二页，共六十二页