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1、第八节函数的连续性与连续函数的运算本讲稿第一页，共六十二页一、函数的连续性一、函数的连续性1.函数的增量函数的增量本讲稿第二页，共六十二页本讲稿第三页，共六十二页2.连续连续(continuous)的定义的定义定义定义1 1 设函数设函数 在在 内有定义，如内有定义，如果当自变量的增量果当自变量的增量 趋向于零时，对应的函趋向于零时，对应的函数的增量数的增量 也趋向于零，即也趋向于零，即 或或 ,那末就称函数那末就称函数在点在点 连续，连续，称为称为 的连续点的连续点.本讲稿第四页，共六十二页定义定义2 设函数设函数 在在 内有定义内有定义,如果如果函数函数 当当 时的极限存在时的极限存在,且
2、等于它在且等于它在点点 处的函数值处的函数值 ,即即 那末就称函数那末就称函数 在点在点 连续连续.定义定义3设函数设函数 在在 内有定义内有定义,称函数称函数 在点在点 连续连续.本讲稿第五页，共六十二页例例1 1证证本讲稿第六页，共六十二页由定义由定义2可推得：可推得：例例本讲稿第七页，共六十二页3.单侧连续单侧连续定理定理本讲稿第八页，共六十二页例例本讲稿第九页，共六十二页例例2 2解解本讲稿第十页，共六十二页例例2 2解解右连续但不左连续右连续但不左连续,本讲稿第十一页，共六十二页4.连续函数连续函数(continuous function)与连续区间与连续区间本讲稿第十二页，共六十二
3、页在区间上每一点都连续的函数在区间上每一点都连续的函数,称函数在该区间上称函数在该区间上连续，或者叫做在该区间上的连续，或者叫做在该区间上的连续函数连续函数.连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线.基本初等函数在其定义区间内是连续的基本初等函数在其定义区间内是连续的.重要结论重要结论基本初等函数，在其定义域内的每点处的极限都存在且基本初等函数，在其定义域内的每点处的极限都存在且等于函数在该点处的值等于函数在该点处的值.本讲稿第十三页，共六十二页例例3 3证证本讲稿第十四页，共六十二页例例4 4解解本讲稿第十五页，共六十二页例例5 5解解本讲稿第十六页，共六
4、十二页本讲稿第十七页，共六十二页二、函数的间断点二、函数的间断点本讲稿第十八页，共六十二页本讲稿第十九页，共六十二页(1)跳跃间断点跳跃间断点例例1 1解解1.第一类间断点第一类间断点本讲稿第二十页，共六十二页(2)可去间断点可去间断点例例2 2例例3 3本讲稿第二十一页，共六十二页例例2 2解解本讲稿第二十二页，共六十二页注意注意 可去间断点只要改变或者补充间断处函数的定可去间断点只要改变或者补充间断处函数的定义义,则可使其变为连续点则可使其变为连续点.如例如例2中中,跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点.特点特点如例如例3中中,本讲稿第二十三页，
5、共六十二页2.第二类间断点第二类间断点(1)无穷间断点无穷间断点例如例如本讲稿第二十四页，共六十二页例例4 4解解本讲稿第二十五页，共六十二页(2)振荡间断点振荡间断点例例5 5解解本讲稿第二十六页，共六十二页注意注意 不要以为函数的间断点只是个别的几个点不要以为函数的间断点只是个别的几个点.本讲稿第二十七页，共六十二页间断点的分类：间断点的分类：第一类第一类间断点间断点第二类第二类间断点间断点间断点间断点可去可去间断点：间断点：跳跃跳跃间断点：间断点：无穷间断点无穷间断点振荡间断点振荡间断点本讲稿第二十八页，共六十二页三、连续函数的运算三、连续函数的运算1、四则运算的连续性、四则运算的连续性
6、定理定理1 1本讲稿第二十九页，共六十二页例如例如,三角函数在其定义域内皆连续三角函数在其定义域内皆连续.本讲稿第三十页，共六十二页例例本讲稿第三十一页，共六十二页2、反函数的连续性、反函数的连续性定理定理2 2 严格单调的连续函数必有严格单调的连续反函数严格单调的连续函数必有严格单调的连续反函数.例如例如,同理：同理：反三角函数在其定义域内皆连续反三角函数在其定义域内皆连续.本讲稿第三十二页，共六十二页3、复合函数的连续性、复合函数的连续性定理定理3 3例如例如,本讲稿第三十三页，共六十二页意义意义1.极限符号可以与函数符号互换极限符号可以与函数符号互换;注意注意定理定理3是定理是定理4的特
7、殊情况的特殊情况.定理定理4 4本讲稿第三十四页，共六十二页例例1 1解解本讲稿第三十五页，共六十二页例例2 2解解同理可得同理可得本讲稿第三十六页，共六十二页4、初等函数的连续性、初等函数的连续性三角函数及反三角函数在它们的定义域内是连续的三角函数及反三角函数在它们的定义域内是连续的.(均在其定义域内连续均在其定义域内连续)本讲稿第三十七页，共六十二页4、初等函数的连续性、初等函数的连续性定理定理5 5 基本初等函数在定义域内是连续的基本初等函数在定义域内是连续的.定理定理6 6 一切初等函数在其一切初等函数在其定义区间定义区间内都是连续的内都是连续的.定义区间是指包含在定义域内的任一区间区
8、间定义区间是指包含在定义域内的任一区间区间.本讲稿第三十八页，共六十二页例例1 1解解例例2 2解解1.初等函数求极限的方法初等函数求极限的方法代入法代入法.注意注意本讲稿第三十九页，共六十二页2.初等函数仅在其定义区间内连续初等函数仅在其定义区间内连续,在其定义域内在其定义域内不一定连续不一定连续;例如例如,这些孤立点的邻域内没有定义这些孤立点的邻域内没有定义.在点在点x=0的邻域内没有定义的邻域内没有定义.求求 f(x)的连续区间的连续区间,就是求就是求 f(x)的定义区间的定义区间.本讲稿第四十页，共六十二页3.分段函数的连续性：各段内部的连续性及各分段点分段函数的连续性：各段内部的连续
9、性及各分段点处的连续性处的连续性.本讲稿第四十一页，共六十二页解解本讲稿第四十二页，共六十二页本讲稿第四十三页，共六十二页四、小结四、小结1.函数在一点连续必须满足的三个条件函数在一点连续必须满足的三个条件;3.间断点的分类与判别间断点的分类与判别;2.区间上的连续函数区间上的连续函数;第一类间断点第一类间断点:可去型可去型,跳跃型跳跃型.第二类间断点第二类间断点:无穷型无穷型 ,振荡型振荡型.间断点间断点本讲稿第四十四页，共六十二页 连续函数的和差积商的连续性连续函数的和差积商的连续性.复合函数的连续性复合函数的连续性.初等函数的连续性初等函数的连续性.定义区间与定义域的区别定义区间与定义域
10、的区别;求极限的又一种方法求极限的又一种方法.两个定理两个定理;两点意义两点意义.反函数的连续性反函数的连续性.本讲稿第四十五页，共六十二页思考题思考题本讲稿第四十六页，共六十二页思考题思考题1解答解答且且本讲稿第四十七页，共六十二页但反之不成立但反之不成立.例例但但本讲稿第四十八页，共六十二页思考题思考题2解答解答是它的可去间断点是它的可去间断点本讲稿第四十九页，共六十二页练练 习习 题题 一一本讲稿第五十页，共六十二页本讲稿第五十一页，共六十二页练习题一答案练习题一答案本讲稿第五十二页，共六十二页本讲稿第五十三页，共六十二页练练 习习 题题 二二本讲稿第五十四页，共六十二页本讲稿第五十五页
11、，共六十二页本讲稿第五十六页，共六十二页练习题二答案练习题二答案本讲稿第五十七页，共六十二页定理定理3 3证证本讲稿第五十八页，共六十二页将上两步合起来将上两步合起来:本讲稿第五十九页，共六十二页狄利克雷函数狄利克雷函数在定义域在定义域R内每一点处都间断内每一点处都间断,且都是第二类间断且都是第二类间断点点.仅在仅在x=0处连续处连续,其余各点处处间断其余各点处处间断.本讲稿第六十页，共六十二页在定义域在定义域 R内每一点处都间断内每一点处都间断,但其绝对值处处连续但其绝对值处处连续.判断下列间断点类型判断下列间断点类型:本讲稿第六十一页，共六十二页可去型可去型第第一一类类间间断断点点oyx跳跃型跳跃型无穷型无穷型振荡型振荡型第第二二类类间间断断点点oyxoyxoyx本讲稿第六十二页，共六十二页