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1、非线性方程求根二分法华长生制作1第1页，此课件共10页哦方程是在科学研究中不可缺少的工具方程求解是科学计算中一个重要的研究对象几百年前就已经找到了代数方程中二次至五次方程的求解公式但是,对于更高次数的代数方程目前仍无有效的精确解法对于无规律的非代数方程的求解也无精确解法因此,研究非线性方程的数值解法成为必然华长生制作2第2页，此课件共10页哦设非线性方程-(1)本节主要研究单根区间上的求解方法华长生制作3第3页，此课件共10页哦方程的数值解法的收敛性，也与方程根的重数有关。对于一般的函方程的数值解法的收敛性，也与方程根的重数有关。对于一般的函数，若有数，若有其中其中m为正整数，我们称是为正整数
2、，我们称是f(x)的的m重零点，或称是方程重零点，或称是方程f(x)=0的的m重根。显然，若是重根。显然，若是f(x)的的m重零点，且重零点，且g(x)充分光滑，则有充分光滑，则有 要求出方程的所有实根，往往要先进行所谓要求出方程的所有实根，往往要先进行所谓“根的搜索根的搜索”，即先找出有根的区间，然后再在有根区间上求各个根的近，即先找出有根的区间，然后再在有根区间上求各个根的近似值。似值。华长生制作4第4页，此课件共10页哦7.1 二分法二分法二分法的基本思想，就是逐步将有根区间分半，通过判别函数值的符号，进一步搜索有根区间，将有根区间缩小到充分小，从而求出满足给定精度的根 的近似解，具体做
3、法如下华长生制作5第5页，此课件共10页哦记 ，先将a,b分半，计算中点 及 ，如果 则 ；否则 不妨设 ，并记 则根 这样就得到长度缩小一半的有根区间 即对有根区间 重复上述步骤，即分半求中点，判断函数值符号，则可得到长度又缩小一半的有根区间 。华长生制作6第6页，此课件共10页哦重复上述步骤，第k步就得到根 的近似值序列 及包含根 的区间套，且有华长生制作7第7页，此课件共10页哦且 以等比数列的收敛速度收敛于 。因此，用二分法求f(x)=0的实根 可以达到任意指定精度。事实上，对于任意给定的精度要求 ，由 得这样就得到区间分半次数k.华长生制作8第8页，此课件共10页哦总结上述讨论有下列
4、定理定理定理 给定方程f(x)=0，设f(x)在a,b上连续，且f(a)f(b)0.则由二分法产生的序列 收敛于方程的根 ，且具有误差估计华长生制作9第9页，此课件共10页哦 上述二分法的优点是算法简单，而且在有限区间内，收敛性总能得到上述二分法的优点是算法简单，而且在有限区间内，收敛性总能得到保证。值得注意的是，为了求出足够精确的近似解，往往需要计算很多次保证。值得注意的是，为了求出足够精确的近似解，往往需要计算很多次函数值，是一种收敛较慢的方法，通常用求根的粗略近似值，把它作为后函数值，是一种收敛较慢的方法，通常用求根的粗略近似值，把它作为后面要讨论的迭代法的初始值。另一方面，二分法只使用
5、于求一元方程的奇面要讨论的迭代法的初始值。另一方面，二分法只使用于求一元方程的奇数重实根。数重实根。在二分法中，是逐次将有根区间折半。更一般地是，从有限区间的左端在二分法中，是逐次将有根区间折半。更一般地是，从有限区间的左端点出发，按预定的步长点出发，按预定的步长h一步一步地向右跨，每跨一步进行一次根的一步一步地向右跨，每跨一步进行一次根的“搜索搜索”，即检查所在节点上的函数值的符号，一旦发现其与左端的函数值异号，则，即检查所在节点上的函数值的符号，一旦发现其与左端的函数值异号，则可确定一个缩小了的有限区间，其宽度等于预定的步长可确定一个缩小了的有限区间，其宽度等于预定的步长h。然后，再对新的有。然后，再对新的有限区间，取新的更小的预定步长，继续限区间，取新的更小的预定步长，继续“搜索搜索”，直到有限区间的宽度足够，直到有限区间的宽度足够小。称这种方法为小。称这种方法为逐步搜索法逐步搜索法。华长生制作10第10页，此课件共10页哦