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1、第三章曲率函数图形的描绘第1页，共35页，编辑于2022年，星期二一、弧微分一、弧微分 规规定定2第2页，共35页，编辑于2022年，星期二3单调增函数单调增函数.如图，如图，于是于是弧弧 s的增量为的增量为那末那末第3页，共35页，编辑于2022年，星期二4取极限取极限,即即又又得得弧微分公式弧微分公式为单调增函数为单调增函数,第4页，共35页，编辑于2022年，星期二5如将如将代入公式代入公式,得得弧微分公式弧微分公式可化为参数方程形式可化为参数方程形式如曲线以极坐标方程给出如曲线以极坐标方程给出如曲线为参数方程如曲线为参数方程写到根式内写到根式内,得得第5页，共35页，编辑于2022年，
2、星期二二、曲率及其计算公式二、曲率及其计算公式曲率是描述曲线局部性质（弯曲程度）的量。曲率是描述曲线局部性质（弯曲程度）的量。)弧段弯曲程度越大弧段弯曲程度越大,转角越大转角越大转角相同，转角相同，弧段越短，弯曲程度越大弧段越短，弯曲程度越大1.曲率的定义曲率的定义)6第6页，共35页，编辑于2022年，星期二)yxo（设曲线设曲线C是光滑的，是光滑的，（定义定义曲线曲线C在点在点M处的曲率处的曲率7第7页，共35页，编辑于2022年，星期二例例1 1(1)直线的曲率直线的曲率(2)圆上各点处的曲率圆上各点处的曲率 直线的曲率处处为零直线的曲率处处为零;圆上各点处的曲率等于半径的倒数圆上各点处
3、的曲率等于半径的倒数.圆的半径越小曲率越大圆的半径越小曲率越大.8第8页，共35页，编辑于2022年，星期二2.曲率的计算公式曲率的计算公式9(1)(2)第9页，共35页，编辑于2022年，星期二例例2 2解解显然显然,10第10页，共35页，编辑于2022年，星期二例例 3 的曲率最小？的曲率最小？t为何值时为何值时,曲线曲线 求出最小曲率求出最小曲率,写出该点的曲率半径写出该点的曲率半径.解解 要使要使K(t)最小最小,等价于等价于 最大最大,故当故当 即即曲率最小曲率最小,且且,|2sin|41ta,1|2sin|t|2sin|t 摆线摆线第11页，共35页，编辑于2022年，星期二三、
4、曲率圆与曲率半径三、曲率圆与曲率半径定义定义12第12页，共35页，编辑于2022年，星期二1.曲线上一点处的曲率半径与曲线在该点处的曲率曲线上一点处的曲率半径与曲线在该点处的曲率互为倒数互为倒数.注意注意:2.曲线上一点处的曲率半径越大曲线上一点处的曲率半径越大,曲线在该点处的曲曲线在该点处的曲率越小率越小(曲线越平坦曲线越平坦);曲率半径越小曲率半径越小,曲率越大曲率越大(曲曲线越弯曲线越弯曲).3.曲线上一点处的曲率圆弧可近似代替该点附近曲线曲线上一点处的曲率圆弧可近似代替该点附近曲线弧弧(称为曲线在该点附近的二次近似称为曲线在该点附近的二次近似).曲率圆曲率圆y=y(x)与曲线与曲线y
5、=f(x)的关系的关系:过同一点过同一点有公切线有公切线圆弧与曲线在该点处曲率相等，且弯曲方向相同圆弧与曲线在该点处曲率相等，且弯曲方向相同13第13页，共35页，编辑于2022年，星期二 例例3 3 设工件表面的截线为抛物线设工件表面的截线为抛物线y 0 4x2 现在要用砂现在要用砂轮磨削其内表面轮磨削其内表面 问用直径多大的砂轮才比较合适？问用直径多大的砂轮才比较合适？解解 砂轮的半径不应大于抛物线顶点处的曲率半径砂轮的半径不应大于抛物线顶点处的曲率半径 抛物线顶点处的曲率半径为抛物线顶点处的曲率半径为 r r K-1 1 25 因此因此,选用砂轮的半径不得超过选用砂轮的半径不得超过1 2
6、5单位长单位长 即直径不得即直径不得超过超过2 50单位长单位长 y 0 8x y0 8 y|x 0 0 y|x 0 0 8 把它们代入曲率公式把它们代入曲率公式 得得14第14页，共35页，编辑于2022年，星期二四、小结四、小结运用微分学的理论运用微分学的理论,研究曲线和曲面的性质的研究曲线和曲面的性质的数学分支数学分支微分几何学微分几何学.基本概念基本概念:弧微分弧微分,曲率曲率,曲率圆曲率圆.曲线弯曲程度的描述曲线弯曲程度的描述曲率曲率;曲线弧的近似代替曲率圆曲线弧的近似代替曲率圆(弧弧).15第15页，共35页，编辑于2022年，星期二图形描绘的步骤图形描绘的步骤作图举例作图举例渐近
7、线渐近线(asymptotic line)3.6 函数图形的描绘函数图形的描绘16第16页，共35页，编辑于2022年，星期二 现在我们还不能很好地现在我们还不能很好地作出函数的图形作出函数的图形,因为还不因为还不知道如何求曲线的渐近线知道如何求曲线的渐近线.中中学学就就会会求求了了.第17页，共35页，编辑于2022年，星期二若动点若动点 P 沿着曲线沿着曲线 y=f(x)的某一方向无的某一方向无限远离坐标原点时限远离坐标原点时,动点动点 P 到一直线到一直线 L 的距离的距离趋于零趋于零,则称此直线则称此直线 L 为曲线为曲线 y=f(x)的一条的一条渐近线渐近线.一、曲线的渐近线一、曲线
8、的渐近线定义定义第18页，共35页，编辑于2022年，星期二曲曲线线的的渐渐近近线线水平渐近线水平渐近线垂直渐近线垂直渐近线第19页，共35页，编辑于2022年，星期二1.铅直渐近线铅直渐近线铅直渐近线铅直渐近线.或或(垂直于垂直于x轴的轴的渐近线渐近线)202.水平渐近线水平渐近线水平渐近线水平渐近线.或或(b为常数为常数)(平行于平行于x轴的轴的渐近线渐近线)(limxf两种渐近线的定义两种渐近线的定义第20页，共35页，编辑于2022年，星期二第21页，共35页，编辑于2022年，星期二 曲线可以穿过曲线可以穿过其渐近线其渐近线.解解例例1第22页，共35页，编辑于2022年，星期二解解
9、例例2第23页，共35页，编辑于2022年，星期二例例3.求曲线求曲线的渐近线的渐近线.解解:为水平渐近线为水平渐近线;为垂直渐近线为垂直渐近线.第24页，共35页，编辑于2022年，星期二利用函数特性描绘函数图形利用函数特性描绘函数图形.确定函数的定义域、值域、间断点确定函数的定义域、值域、间断点,函数是否有奇偶性、周期性函数是否有奇偶性、周期性.判定判定和拐点和拐点,讨论函数的单调性和极值讨论函数的单调性和极值,曲线的凹凸性曲线的凹凸性渐近线渐近线.适当计算曲线上一些点的坐标适当计算曲线上一些点的坐标,是否与坐标轴是否有交点是否与坐标轴是否有交点.特别注意特别注意函数图形的描绘函数图形的描
10、绘二、图形描绘的步骤二、图形描绘的步骤25第25页，共35页，编辑于2022年，星期二26例例4 4解解非奇非偶函数非奇非偶函数,三、作图举例三、作图举例函数图形的描绘函数图形的描绘第26页，共35页，编辑于2022年，星期二不存在不存在拐点拐点极小值极小值间间断断点点无斜渐近线无斜渐近线.函数图形的描绘函数图形的描绘列表确定函数单调区间列表确定函数单调区间,凹凸区间及极值点和拐点凹凸区间及极值点和拐点:27第27页，共35页，编辑于2022年，星期二作图作图拐点拐点极小值极小值补充点补充点不存在不存在拐点拐点极小极小值值间间断断点点水平渐近线水平渐近线:垂直渐近线垂直渐近线:函数图形的描绘函
11、数图形的描绘28第28页，共35页，编辑于2022年，星期二解解极极大大拐拐点点例例5第29页，共35页，编辑于2022年，星期二曲线无水平渐近线曲线无水平渐近线.第30页，共35页，编辑于2022年，星期二第31页，共35页，编辑于2022年，星期二32四、小结四、小结 利用一阶、二阶导数的符号确定函数的升降、利用一阶、二阶导数的符号确定函数的升降、最最大大值值最最小小值值凹的凹的凸的凸的单增单增单减单减极极大大值值拐拐点点极极小小值值非非极极值值不可导不可导极极大大值值地描绘图形的基础地描绘图形的基础.凹凸以及极值点和拐点是掌握函数的性态、较准确凹凸以及极值点和拐点是掌握函数的性态、较准确
12、第32页，共35页，编辑于2022年，星期二思考与练习 1.曲线曲线(A)没有渐近线；没有渐近线；(B)仅有水平渐近线；仅有水平渐近线；(C)仅有铅直渐近线；仅有铅直渐近线；(D)既有水平渐近线又有铅直渐近线既有水平渐近线又有铅直渐近线.拐点为拐点为 ,凸区间是凸区间是 ,2.曲线的凹区间是的凹区间是 ,渐近线渐近线 .第33页，共35页，编辑于2022年，星期二34解答提示 1.曲线曲线(A)没有渐近线；没有渐近线；(B)仅有水平渐近线；仅有水平渐近线；(C)仅有铅直渐近线；仅有铅直渐近线；(D)既有水平渐近线又有铅直渐近线既有水平渐近线又有铅直渐近线.提示提示:第34页，共35页，编辑于2022年，星期二拐点为拐点为 ,凸区间是凸区间是 ,2.曲线的凹区间是的凹区间是 ,提示提示:及及渐近线渐近线 .35第35页，共35页，编辑于2022年，星期二