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1、第三章应变理论第1页，共54页，编辑于2022年，星期二drduuQ点位移点位移:u=u(r+dr)或或 u=u(x1+dx1,x2+dx2,x3+dx3)P.Qdrrr+drx1x2x3o3.1 3.1 变形位移矢量变形位移矢量 位移梯度张量位移梯度张量u P点位移点位移：u=u(r)或或 u=u(x1,x2,x3)drPQ.uQ变形位移变形位移第2页，共54页，编辑于2022年，星期二变形位移矢量变形位移矢量dudu 或或 第3页，共54页，编辑于2022年，星期二第4页，共54页，编辑于2022年，星期二称为称为位移梯度。位移梯度。称为称为位移梯度张量。位移梯度张量。第5页，共54页，编
2、辑于2022年，星期二位移梯度张量的矩阵表示位移梯度张量的矩阵表示在有限元法中有重要应用。在有限元法中有重要应用。第6页，共54页，编辑于2022年，星期二对称张量对称张量反对称张量反对称张量位移梯度张量位移梯度张量 分解分解变形张量变形张量转动张量转动张量第7页，共54页，编辑于2022年，星期二应变张量：反映点的应变应变张量：反映点的应变或或展开展开第8页，共54页，编辑于2022年，星期二转动张量：反映点的刚体转动转动张量：反映点的刚体转动或或展开展开第9页，共54页，编辑于2022年，星期二3.2 3.2 应变张量及应变分量应变张量及应变分量AABBCCCCu2x1 方向的线应变方向的
3、线应变同理同理BBu1dx2dx1A AC CB Bx1x2ox1 x2平面上的变形平面上的变形第10页，共54页，编辑于2022年，星期二x1 x2平面上的切应变平面上的切应变同理同理则定义则定义AAdx2dx1A ABBBBCCC CCCu1u2x1x2oB B第11页，共54页，编辑于2022年，星期二AAdx3dx2A ABBBBCCC CCCu2u3x2x3oB Bx2 x3平面上的切应变平面上的切应变同理同理x3 x1平面上的切应变平面上的切应变第12页，共54页，编辑于2022年，星期二定义角应变（工程应变）定义角应变（工程应变）同理有同理有第13页，共54页，编辑于2022年，
4、星期二应变分量应变分量第14页，共54页，编辑于2022年，星期二工程应变分量工程应变分量第15页，共54页，编辑于2022年，星期二应变的矩阵表示（两种表示）应变的矩阵表示（两种表示）应变应变工程应变工程应变第16页，共54页，编辑于2022年，星期二应变的列阵表示应变的列阵表示Voigt标记标记第17页，共54页，编辑于2022年，星期二3.3 3.3 转动位移与转动张量转动位移与转动张量x1x2B BA AC CDB BA AC CDx1x2第18页，共54页，编辑于2022年，星期二平面内的转动位移平面内的转动位移即绕即绕 轴的转动位移轴的转动位移B BA ADx1x2C C第19页，
5、共54页，编辑于2022年，星期二同理有绕同理有绕 轴的转动位移轴的转动位移 。第20页，共54页，编辑于2022年，星期二PQPQurr+drPQdr3.4 3.4 任意方向上的线应变任意方向上的线应变 坐标变换坐标变换x1x2x3oPQdruududru(l1,l2,l3)e3e2e1du第21页，共54页，编辑于2022年，星期二分量表示分量表示第22页，共54页，编辑于2022年，星期二x1x2x3(l1,l2,l3)(n1,n2,n3)第23页，共54页，编辑于2022年，星期二 =u1,1 n1 l1+u1,2 n2 l1+u1,3 n3 l1 +u2,1 n1l2+u2,2 n2
6、 l2+u2,3 n3 l2 +u3,1 n1 l3+u3,2 n2 l3+u3,3 n3 l3展开上式展开上式第24页，共54页，编辑于2022年，星期二rr+drPQdrPQdruududrux1x2x3o当当dudu与与drdr重合时有重合时有 ni=li第25页，共54页，编辑于2022年，星期二 =u1,1 l1 l1+u1,2 l2 l1+u1,3 l3 l1 +u2,1 l1l2+u2,2 l2 l2+u2,3 l3 l2 +u3,1 l1 l3+u3,2 l2 l3+u3,3 l3 l3第26页，共54页，编辑于2022年，星期二对于对于采用指标记法有采用指标记法有第27页，共
7、54页，编辑于2022年，星期二新坐标系坐标轴的方向余弦新坐标系坐标轴的方向余弦OldOldNewNew应变的坐标变换应变的坐标变换旧系表达旧系表达新系表达新系表达第28页，共54页，编辑于2022年，星期二应变是二阶张量，由张量的定义有应变是二阶张量，由张量的定义有如如第29页，共54页，编辑于2022年，星期二3.53.5应变张量的分解与不变量应变张量的分解与不变量 和应力张量一样应变张量也可以分解为和应力张量一样应变张量也可以分解为球应变球应变张量与偏应变张量。张量与偏应变张量。或或 为偏应变张量或应变偏张量（畸变）为偏应变张量或应变偏张量（畸变）为球应变张量或应变球张量（体变）为球应变
8、张量或应变球张量（体变）其中其中第30页，共54页，编辑于2022年，星期二或或展开应变张量展开应变张量第31页，共54页，编辑于2022年，星期二体积改变体积改变形状改变形状改变应变张量的分解图示应变张量的分解图示=+第32页，共54页，编辑于2022年，星期二仿照应力张量仿照应力张量对于应变张量有对于应变张量有由齐次方程组具有非零解的条件由齐次方程组具有非零解的条件第33页，共54页，编辑于2022年，星期二展开上式有展开上式有可写成可写成其中其中上式即为上式即为应变张量第一、第二、第三不变量应变张量第一、第二、第三不变量的表达式。的表达式。第34页，共54页，编辑于2022年，星期二解应
9、变特征方程，可得三个主应变解应变特征方程，可得三个主应变 这三个主应变这三个主应变彼此互相垂直彼此互相垂直，相应的应变方向，相应的应变方向称为称为应变主方向应变主方向，相应的轴线称为，相应的轴线称为应变主轴应变主轴。在应变主方向上无切应变。在应变主方向上无切应变。用主应变表示应变张量不变量为用主应变表示应变张量不变量为第35页，共54页，编辑于2022年，星期二同理对同理对于应变偏张量于应变偏张量 有有由齐次方程组具有非零解的条件，可以定义出由齐次方程组具有非零解的条件，可以定义出应应变偏张量的第一、第二与第三不变量。变偏张量的第一、第二与第三不变量。第36页，共54页，编辑于2022年，星期
10、二应变张量不变量：用应变张量不变量：用 I 表示表示应变偏张量不变量：用应变偏张量不变量：用 J 表示表示应力偏张量不变量：用应力偏张量不变量：用 J 表示表示应力张量不变量：用应力张量不变量：用 I 表示表示第37页，共54页，编辑于2022年，星期二主切应变主切应变与主切应力类似地有主切应变。与主切应力类似地有主切应变。主切应变有三个主切应变有三个对于对于 有最大主切应变有最大主切应变第38页，共54页，编辑于2022年，星期二正应变正应变:剪应变：用主应变表示剪应变：用主应变表示剪应变：用非主应变表示剪应变：用非主应变表示正八面体上正八面体上的应变的应变n n第39页，共54页，编辑于2
11、022年，星期二等效（有效）应变等效（有效）应变与等效应力与等效应力 相匹配的有相匹配的有等效应变等效应变 。通常取通常取 ，则，则第40页，共54页，编辑于2022年，星期二 变变形后体积变为形后体积变为：设有微小的正平行六面体，它设有微小的正平行六面体，它的棱边长度是的棱边长度是 在变形在变形前，前，它的体积它的体积 ，弹性体积应变弹性体积应变第41页，共54页，编辑于2022年，星期二因此，每单位体积的体积改变，即所谓因此，每单位体积的体积改变，即所谓体积应变体积应变为：为：第42页，共54页，编辑于2022年，星期二将几何方程代入：将几何方程代入：用张量形式可表示为：用张量形式可表示为
12、：因为只考虑微小的应变，所以两个或三个应变分因为只考虑微小的应变，所以两个或三个应变分量的乘积可以略去不计，量的乘积可以略去不计，或或则则体积应变表示体积应变表示弹性体一点处的单位体积改变量弹性体一点处的单位体积改变量。第43页，共54页，编辑于2022年，星期二3.6 变形协调方程变形协调方程 在应变分析中，需要有某些条件施加于应变分在应变分析中，需要有某些条件施加于应变分量以保持物体的量以保持物体的连续性连续性。通过几何方程通过几何方程 可得到说明。可得到说明。（1）已知位移已知位移 可由方程确定应变可由方程确定应变（2）已知应变已知应变 不能由方程确定位移不能由方程确定位移 ，即得，即得
13、不到位移的单值解不到位移的单值解 因此，为了得到单值解因此，为了得到单值解 的连续位移函数的连续位移函数 ，需要对应变需要对应变 施加某种约束，施加某种约束，此类约束称为协调此类约束称为协调条件条件。第44页，共54页，编辑于2022年，星期二变形协调性几何说明变形协调性几何说明变形前变形前重叠重叠开裂开裂连续连续第45页，共54页，编辑于2022年，星期二解解：要使这一方程组不矛盾，则六个应变分量必须满足一定的要使这一方程组不矛盾，则六个应变分量必须满足一定的条件。以下我们将着手建立这一条件。条件。以下我们将着手建立这一条件。显然该应变分量没有对应的位移。显然该应变分量没有对应的位移。但但例
14、例3-1 设设 e ex=3=3x,e ey=2=2y,g gxy=xy,e ez=g=gxz=g=gyz=0=0,求其位移。求其位移。第46页，共54页，编辑于2022年，星期二变形协调方程（三维）变形协调方程（三维）第47页，共54页，编辑于2022年，星期二下面有代表性的推导其中的两个方程：下面有代表性的推导其中的两个方程：方程一：方程一：第48页，共54页，编辑于2022年，星期二方程二：方程二：第49页，共54页，编辑于2022年，星期二六个六个变形协调方程并不独立，是得到单值连续的位移函变形协调方程并不独立，是得到单值连续的位移函数的必要条件，对于单连通域为充分条件数的必要条件，对
15、于单连通域为充分条件物体变形后每一单元体都发生形状改变，如变形不满物体变形后每一单元体都发生形状改变，如变形不满足一定的关系，变形后的单元体将不能重新组合成连足一定的关系，变形后的单元体将不能重新组合成连续体，其间将产生续体，其间将产生缝隙或嵌入缝隙或嵌入现象。现象。为使变形后的物体保持连续性，应变分量必须满为使变形后的物体保持连续性，应变分量必须满足足变形协调方程变形协调方程。变形协调方程意义变形协调方程意义第50页，共54页，编辑于2022年，星期二若用张量记号，变形协调方程可写成：若用张量记号，变形协调方程可写成：第51页，共54页，编辑于2022年，星期二变形协调方程变形协调方程三连通域三连通域双连通域双连通域 单连通域单连通域第52页，共54页，编辑于2022年，星期二变形协调方程变形协调方程第53页，共54页，编辑于2022年，星期二二维情况下的变形协调方程二维情况下的变形协调方程第54页，共54页，编辑于2022年，星期二