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1、考点09 函数与方程【命题趋势】此知识点是高考考查的重点，常以指数函数、对数函数、幂函数、分段函数或者三角函数为背景进行考查，解题时注意数形结合思想的应用.具体要求为：（1）结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数.（2）根据具体函数的图象，能够用二分法求相应方程的近似解.【重要考向】一、函数零点（方程的根）所在区间的判断二、函数零点个数的判断三、函数零点的应用问题函数零点（方程的根）所在区间的判断函数的零点1函数零点的概念对于函数，我们把使成立的实数x叫做函数的零点2函数的零点与方程的根之间的联系函数的零点就是方程的实数根，也就是函数的图象与x轴
2、的交点的横坐标即方程有实数根函数的图象与x轴有交点函数有零点【注】并非所有的函数都有零点，例如，函数f(x)=x21，由于方程x21=0无实数根，故该函数无零点3二次函数的零点二次函数的图象与x轴的交点(x1，0)，(x2，0)(x1，0)无交点零点个数2104零点存在性定理如果函数在区间a，b上的图象是连续不断的一条曲线，并且有，那么，函数在区间内有零点，即存在c(a，b)，使得，这个也就是方程的根.【注】上述定理只能判断出零点存在，不能确定零点个数.二分法1二分法的概念对于在区间a，b上连续不断且的函数，通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近
3、似值的方法叫做二分法2用二分法求函数零点近似值的步骤给定精确度，用二分法求函数零点近似值的步骤如下：确定区间a，b，验证，给定精确度；求区间(a，b)的中点c；计算f(c)；a若f(c)=0，则c就是函数的零点；b若f(a)f(c)0，则令b=c(此时零点x0(a，c)；c若f(c)f(b)0，则令a=c(此时零点x0(c，b)判断是否达到精确度：即若|ab|，则得到零点近似值a(或b)；否则重复.【巧学妙记】 (1)若连续不断的函数是定义域上的单调函数，则至多有一个零点；(2)连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号；(3)函数有零点方程有实数根函数与的图象有交点；(4)函数有
4、零点方程有实数根函数与的图象有交点，其中为常数. 【典例】1.函数的零点所在的区间为A B C D【答案】D【解析】易知函数的图象是连续的，且通过计算可得，由函数零点存在性定理可得函数零点所在的区间为.本题选择D选项.2.在用二分法求方程的一个近似解时，现在已经将根锁定在区间(1,2)内，则下一步可以断定该根所在区间为_.【答案】【解析】令，故下一步可以断定根所在区间为.故填.3.已知函数（1）证明方程f（x）=0在区间（0，2）内有实数解；（2）请使用二分法，取区间的中点两次，指出方程f（x）=0，x0，2的实数解x0在哪个较小的区间内【答案】【解析】取，得，由此可得，则下一个有解区间为，再
5、取，得，由此可得，则下一个有解区间为，综上所述，所求实数解在较小区间内. 函数零点个数的判断判断函数零点个数的方法(1)解方程法：令f(x)=0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点(2)零点存在性定理法：利用定理不仅要求函数在区间a，b上是连续不断的曲线，且f(a)f(b)0时，f(x)20恒成立，所以f(x)在(0，)上是增函数又因为f(2)2ln 20，所以f(x)在(0，)上有一个零点，综上，函数f(x)的零点个数为2.5.函数f(x)|x2|ln x在定义域内的零点的个数为()A0 B1 C2 D3【答案】C【解析】由题意可知f(x)的定义域为(0，)，在同一直角坐标系中画出函数y|
6、x2|(x0)，yln x(x0)的图象，如图所示由图可知函数f(x)在定义域内的零点个数为2.6.函数f(x)cos x在0，)内()A没有零点 B有且仅有一个零点C有且仅有两个零点 D有无穷多个零点【答案】B【解析】当x时，因为f(x)sin x，0，sin x0，所以f(x)0，故f(x)在0,1上单调递增，且f(0)10，所以f(x)在0,1内有唯一零点当x1时，f(x)cos x0，故函数f(x)在0，)上有且仅有一个零点，故选B. 函数零点的应用问题函数零点的应用1已知函数零点所在区间求参数或参数的取值范围根据函数零点或方程的根求解参数的关键是结合条件给出参数的限制条件，此时应分三
7、步：判断函数的单调性；利用零点存在性定理，得到参数所满足的不等式；解不等式，即得参数的取值范围在求解时，注意函数图象的应用2已知函数零点的个数求参数或参数的取值范围一般情况下，常利用数形结合法，把此问题转化为求两函数图象的交点问题3借助函数零点比较大小或直接比较函数零点的大小关系要比较f(a)与f(b)的大小，通常先比较f(a)、f(b)与0的大小若直接比较函数零点的大小，则可有以下三种常用方法：求出零点，直接比较大小；确定零点所在区间；同一坐标系内画出函数图象，由零点位置关系确定大小.【巧学妙记】已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根
8、，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解. 【典例】7.已知函数的零点在区间内，则的取值范围是ABC D【答案】B【解析】由题知f(x)单调，故即解得.故选B8.已知函数f(x)若关于x的方程f(x)k有两个不同零点，则k的取值范围是_【答案】(0,1)【解析】作出f(x)的函数图象如图所示：方程f(x)k有两个不同零点，即yk和f(x)的图象有两个交点，由图可得k的取值范围是(0,1)9.已知函数f(x)|x23x|，xR，
9、若方程f(x)a|x1|0恰有4个互异的实数根，则实数a的取值范围是_【答案】(0,1)(9，)【解析】由题意知a0.在同一直角坐标系中作出y|x23x|，ya|x1|的图象如图所示由图可知f(x)a|x1|0有4个互异的实数根等价于y|x23x|与ya|x1|的图象有4个不同的交点且4个交点的横坐标都小于1，所以有两组不同解，消去y得x2(3a)xa0有两个不等实根，所以(3a)24a0，即a210a90，解得a9.又a0，0a9.一、单选题1方程的解的个数为（ ）A0B1C2D32函数的零点之和为（ ）A-1B1C-2D23已知函数在区间内有零点，则正数的取值范围为（ ）ABCD4已知函数
10、若方程的实根之和为6，则的取值范围为（ ）ABCD二、多选题5若函数的两个零点是2和3，则函数的零点是（ ）A1BCD三、填空题6函数的零点为_7若函数，则函数的零点是_.8函数在上的零点之和为_.9若方程的根在内，则的取值范围是_10已知二次函数只有一个零点，则实数a=_.11用二分法求方程在区间2，3内的实根，由计算器可算得，那么下一个有根区间为_四、双空题12已知，则f（f（2）=_，函数f（x）的零点的个数为_.五、解答题13方程在有解，求的取值范围.10一、单选题1（2014北京高考真题（文）已知函数，在下列区间中，包含零点的区间是ABCD2（2019全国高考真题（文）函数在的零点个
11、数为A2B3C4D53（2010浙江高考真题（文）已知是函数的一个零点，若，则（ ）A，B，C，D，4（2010福建高考真题（文）函数的零点个数为（ ）A3 B2 C1 D05（2014重庆高考真题（文）已知函数内有且仅有两个不同的零点，则实数的取值范围是ABCD6（2011福建（文）若关于x的方程x2+mx+1=0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是A（1，1）B（2，2）C（，2）（2，+）D（，1）（1，+）7（2020天津高考真题）已知函数若函数恰有4个零点，则的取值范围是（ ）ABCD8（2015安徽高考真题（文）下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（ ）Ay=lnxBCy=s
12、inxDy=cosx9（2015天津高考真题（文）已知函数,函数,则函数的零点的个数为A2B3C4D510（2013安徽高考真题（文）已知函数有两个极值点，若，则关于的方程的不同实根个数为A3B4C5D6二、填空题11（2016天津高考真题（文）已知函数在R上单调递减，且关于x的方程恰有两个不相等的实数解，则a的取值范围是_.12（2015湖南高考真题（文）若函数有两个零点，则实数的取值范围是_.13（2008湖北高考真题（文）方程的实数解的个数为_ .三、解答题14（2018全国高考真题（文）已知函数（1）若，求的单调区间；（2）证明：只有一个零点一、单选题1（2021全国高三其他模拟）设，
13、定义符号函数，则方程的解是（ ）A1BC1或D1或或2（2021内蒙古赤峰市高三二模（文）已知函数有且仅有两个零点，则实数（ ）ABCD3（2021宁夏高三其他模拟（文）函数的零点所在的区间为（ ）ABCD4（2021河南新乡市高三三模（文）已知函数.若关于的方程恰有两个不同的实根，则的取值范围是（ ）ABCD5（2021河南商丘市高三月考（文）已知函数，若关于的方程有四个不同的实数根，则实数的取值范围是（ ）ABCD6（2021晋中市新一双语学校高三其他模拟（文）若关于的方程在区间上有且只有一个解，则的值不可能为（ ）ABCD07（2021全国高三其他模拟（文）已知函数，当时，有，则的取值范
14、围是（ ）ABCD8（2021新疆高三其他模拟（文）定义在上的函数满足，且时，.若关于的方程有三个不相等的实数根，则实数的取值范围是（ ）ABCD9（2021四川宜宾市高三二模（文）已知函数，下列说法正确的是（ ）A既不是奇函数也不是偶函数B的图象与有无数个交点C的图象与只有一个交点D二、填空题10（2021云南昆明市高三三模（文）已知函数两个不同的零点，则实数a的取值范围是_.11（2021晋中市新一双语学校高三其他模拟（文）规定记号表示一种运算，即，若，函数的图象关于直线对称，则_.12（2021宁夏高三其他模拟（文）关于函数有下述四个结论：是偶函数；在区间上单调递减；在有四个零点；的值域
15、是；的周期为.其中所有正确结论的编号是_.13（2021四川达州市高三二模（文）已知函数，若仅有两个不同零点，则实数a的取值范围是_14（2021全国高三其他模拟（文）方程的实数根的个数为_.15（2021成都七中实验学校高三三模（文）已知函数，若方程有四个不同的根，且，则的取值范围是_.参考答案跟踪训练1B【分析】在同一坐标系内，作出与的图象，根据图象的交点个数即可求解.【详解】在同一坐标系内，作出与的图象，如图：由图象可知，方程只有一个解.故选：B2A【分析】根据分段函数解析式，分别求得零点，结合对数式运算即可求得零点之和.【详解】函数当时，设其零点为，则满足，解得；当时，设其零点为，则满
16、足，解得；所以零点之和为故选:A.【点睛】本题考查了分段函数的简单应用，函数零点的定义，对数式的运算性质，属于基础题.3A【分析】由题得且函数在定义域内单调递增，得，解不等式得解.【详解】由题得，且函数在定义域内单调递增（增+增=增），所以，得.故选：A【点睛】本题主要考查函数的零点问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握是水平，属于基础题.4A【分析】作出图象，求方程的实根之和为6，即求与图象交点横坐标之和为6，分别讨论a=1、a=2、和a=4时图象与图象交点个数及性质，数形结合，即可得答案.【详解】作出图象，如图所示求方程的实根之和为6，即求与图象交点横坐标之和为6，当a=1时，图象与图象只
17、有一个交点（3,1），不满足题意；当时，图象与图象有2个交点，且从左至右设为，由图象可得关于x=3对称，所以，即，满足题意；当a=2时，图象与图象有3个交点，且（0,2）为最左侧交点，设与图象另外两个交点为，由图象可得关于x=3对称，所以，即，满足题意；当时，图象与图象有4个交点，从左至右设为，由图象可得关于x=0对称，所以，关于x=3对称，所以，即，满足题意；当时，图象与图象有3个交点，由图象可得不满足题意；当a=4时，图象与图象有2个交点，由图象可得不满足题意；综上：的取值范围为.故选：A5AD【分析】由的零点求参数a、b，写出的解析式，进而可求其零点.【详解】由题设知：是的两个根，若，可
18、得零点为或.故选：AD.6【分析】令求解.【详解】令，得，两边平方得：，解得，所以函数的零点为1.故答案为：1.70【分析】求得函数，令，即可求解.【详解】由函数，可得，令，可得，解得，故函数的零点是0.故答案为：0.8【分析】令，得，再根据，得到范围求解.【详解】，令得，因为，所以，则或或或，解得或或或，所以.故答案为：9【分析】设，利用零点存在定理可构造不等式求得结果.【详解】设，则，解得：，即的取值范围为.故答案为：.101【分析】先判断，再利用判别式为零可得答案.【详解】因为是二次函数，所以，又因为二次函数只有一个零点，所以二次方程只有一个解，所以（舍去），或，故答案为：1.【点睛】本
19、题主要考查函数的零点，考查了分类讨论思想与转化思想的应用，属于基础题.11【分析】利用零点存在性定理判断.【详解】，所以下一个有根区间为.故答案为：1214 1 【分析】先求，再求，令f（x）=0，直接解方程可得函数的零点【详解】根据题意得：，则；令f（x）=0，得到，解得：x=1，则函数f（x）的零点个数为1，故答案为：14；1.13【分析】转化为求二次函数，的值域，可求得结果.【详解】由得在有解，当时，为减函数，所以，所以.真题再现1C【详解】因为，所以由根的存在性定理可知：选C.考点：本小题主要考查函数的零点知识，正确理解零点定义及根的存在性定理是解答好本类题目的关键.2B【分析】令，得
20、或，再根据x的取值范围可求得零点.【详解】由，得或，在的零点个数是3，故选B【点睛】本题考查在一定范围内的函数的零点个数，渗透了直观想象和数学运算素养采取特殊值法，利用数形结合和方程思想解题3B【分析】转化是函数的一个零点为是函数与的交点的横坐标，画出函数图像，利用图像判断即可【详解】因为是函数的一个零点，则是函数与的交点的横坐标，画出函数图像，如图所示，则当时，在下方，即；当时，在上方，即，故选：B【点睛】本题考查函数的零点问题，考查数形结合思想与转化思想4B【解析】试题分析：当时，令， 解得；当时， 令，解得.综上可知的零点有2个.故B正确.考点：1分段函数；2函数的零点.5A【分析】试题
21、分析：令，分别作出与的图像如下， 由图像知是过定点的一条直线，当直线绕着定点转动时，与图像产生不同的交点.当直线在轴和直线及切线和直线之间时，与图像产生两个交点，此时或故答案选.考点：1.函数零点的应用；2.数形结合思想的应用.6C【详解】试题分析：利用题中条件：“关于x的方程x2+mx+1=0有两个不相等的实数根”由韦达定理的出m的关系式，解不等式即可解：关于x的方程x2+mx+1=0有两个不相等的实数根，0，即：m240，解得：m（，2）（2，+）故选C点评：本题考查一元二次方程的根的判别式与根的关系，属于基本运算的考查7D【分析】由，结合已知，将问题转化为与有个不同交点，分三种情况，数形
22、结合讨论即可得到答案.【详解】注意到，所以要使恰有4个零点，只需方程恰有3个实根即可，令，即与的图象有个不同交点.因为，当时，此时，如图1，与有个不同交点，不满足题意；当时，如图2，此时与恒有个不同交点，满足题意；当时，如图3，当与相切时，联立方程得，令得，解得（负值舍去），所以.综上，的取值范围为.故选：D. 【点晴】本题主要考查函数与方程的应用，考查数形结合思想，转化与化归思想，是一道中档题.8D【详解】选项A：的定义域为（0,+），故不具备奇偶性，故A错误；选项B：是偶函数，但无解，即不存在零点，故B错误；选项C：是奇函数，故C错；选项D：是偶函数，且，故D项正确.考点：本题主要考查函数
23、的奇偶性和零点的概念.9A【详解】当时,所以,此时函数 的小于零的零点为 ;当 时, ,函数无零点;当 时, ,函数大于2的零点为,综上可得函数的零点的个数为2.故选A.考点：本题主要考查分段函数、函数零点及学生分析问题解决问题的能力.10A【解析】试题分析：求导得，显然是方程的二不等实根，不妨设，于是关于x的方程3(f(x)22af(x)b0的解就是或，根据题意画图：所以有两个不等实根，只有一个不等实根，故答案选A.考点：导数、零点、函数的图象11【详解】试题分析：由函数在R上单调递减得，又方程恰有两个不相等的实数解，所以，因此的取值范围是.【点睛】已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思
24、路：（1）直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化为求函数值域的问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解12【详解】函数有两个零点，和的图象有两个交点，画出和的图象，如图，要有两个交点，那么132【解析】因为,作出函数的图像，从图像可以观察到两函数的图像有两个公共点，所以方程的实数解的个数为2.14（1）f（x）在（，），（，+）单调递增，在（，）单调递减（2）见解析.【详解】分析：（1）将代入，求导得，令求得增区间，令求得减区间；（2）令，即，则将问题转化为函
25、数只有一个零点问题，研究函数单调性可得.详解：（1）当a=3时，f（x）=，f （x）=令f （x）=0解得x=或x=当x（，）（，+）时，f （x）0；当x（，）时，f （x）0故f（x）在（，），（，+）单调递增，在（，）单调递减（2）由于，所以等价于设=，则g （x）=0，仅当x=0时g （x）=0，所以g（x）在（，+）单调递增故g（x）至多有一个零点，从而f（x）至多有一个零点又f（3a1）=，f（3a+1）=，故f（x）有一个零点综上，f（x）只有一个零点点睛：（1）用导数求函数单调区间的步骤如下：确定函数的定义域；求导数；由（或）解出相应的的取值范围，当时，在相应区间上是增函数；
26、当时，在相应区间上是减增函数.（2）本题第二问重在考查零点存在性问题，解题的关键在于将问题转化为求证函数有唯一零点，可先证明其单调，再结合零点存在性定理进行论证.模拟检测1C【分析】根据符号函数的定义，分三种情况讨论化简方程，然后解方程即可.【详解】解：当时，方程可化为，化简得，解得；当时，方程可化为，无解；当时，方程可化为，化简得，解得（舍去）或；综上，方程的解是1或.故选：C.2C【分析】将函数有且仅有两个零点，转化为由两个不同的根，在同一坐标系中作出的图象，利用数形结合法求解.【详解】令，则由两个不同的根，令，则，当时，当时，当或时，当时， ，在同一坐标系中作出的图象，如图所示：因为函数
27、有且仅有两个零点，由图象知：实数，故选：A3B【分析】根据零点存在性定理，由为增函数，带入相关数值判断即可得解.【详解】由为增函数，为增函数，故为增函数，由，根据零点存在性定理可得使得，故选：B.4C【分析】首先讨论，在时，利用分离参数的思想，画出的图像，利用数形结合判断出答案.【详解】当时，故不是方程的根，当时，由得，方程恰有两个不同的实根等价于直线y=a与函数的图像有两个不同的交点，作出函数的大致图像如图所示，由图可知，或.故选：C.【点睛】本题解题时利用了数形结合的思想，根据图像判断出结果.5D【分析】方程有四个不同的实数根，即直线与曲线，作出函数图像，即转化为在有两个不等实根，可得答案
28、.【详解】设，该直线恒过点，方程有四个不同的实数根如图作出函数的图像，结合函数图象，则，所以直线与曲线有两个不同的公共点，所以在有两个不等实根，令，实数满足，解得，所以实数的取值范围是.故选：D.【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解6B【分析】化简可得，转化为的图象和直线只有1个交点，根据结合三角函数的性质可求
29、出.【详解】由可得，化简可得，即的图象和直线只有1个交点.又，则.当，即时，可得当，即时，可得；当，即时，可得要使得的图象和直线只有1个交点，可得或，解得或.故选：【点睛】关键点睛：本题考查三角函数与方程的应用，解题的关键是化简将题目转化为的图象和直线只有1个交点.7B【分析】作出函数的图象，求出的取值范围，由此可得出的取值范围.【详解】当时，作出函数的图象如下图所示：设，由图可知，当时，直线与函数的图象有三个交点，由，解得，因为，因此，.故选：B.【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（
30、2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.8D【分析】根据函数为偶函数，通过求导先求时函数的图像与性质，然后结合图像，求临界点时的值，即和直线相切时的切线斜率，再根据对称性即可得解.【详解】当时，令，则.即时，单调递增.时，单调递减.若关于的方程有三个不相等的实数根，如图，当时，设过点做曲线的切线交曲线于点，切线方程为：切线又过点，则，即又在时单调递增.，切线的斜率为，由对称性知：故选：D.【点睛】本题考查了函数方程问题，考查了利图象交点求参数范围，同时考查
31、了利用导数研究函数的单调性，有一定的计算量，属于中档题.本题的关键点有：（1）利用导数研究函数的单调性，并能正确画出函数图像；（2）求临界值，掌握过某点求切线方程.9C【分析】A根据函数奇偶性的定义即可判断的奇偶性；B利用放缩法，当易证，由奇函数的对称性知时，即可知与的交点情况；C：由变形可得，设只需判断解得个数即可；D根据函数解析式求出比较大小即可.【详解】A：定义域为且，故为奇函数，错误；B：当时有，又为奇函数，则当时，即在上，则的图象与没有交点，错误，C：若，则有，即，变形得，即，设，则为减函数且其值域为，则有且只有一个解，即的图象与只有一个交点，正确，D：，而，则有，错误.故选：C.【
32、点睛】关键点点睛：A利用奇偶性定义判断函数的奇偶性，B放缩法及奇函数的对称性，结合正弦函数的性质判断交点情况，C将交点问题，通过恒等变形转化为方程是否有解的问题，D通过函数解析式求函数值，进而比较大小.10【分析】令，转化为有两个不同的根，令 ，转化为函数有两个零点，用导数法求解.【详解】令，则 ，令 ，则 ，当 时， 在上恒成立，递减，不可能有两个零点，当时，存在使得 ，即 ，当时， ，当 时， ，若两个不同的零点，即有两个零点，则 ，即，解得，故答案为：111【分析】根据新运算的定义，得到函数解析式为，再根据函数图象关于直线对称，得到函数的四个零点两两对称，列出方程求解，即可得出结果.【详
33、解】由题意可得：，则函数有四个零点，从大到小依次是，因为函数的图象关于直线对称，所以与关于直线对称，与关于直线对称，所以，解得故答案为：1.【点睛】关键点点睛：求解本题的关键在于由函数新定义得到函数解析式，确定函数零点，再由对称性，即可求解.12【分析】对于，利用函数的奇偶性的定义进行判断即可；对于，由于，再利用复合函数判断单调性的方法判断；对于，由，直接解方程即可；对于，由于，所以当时，取最小值，当时，取最大值，从而可求出函数的值域；对于. 由可判断.【详解】选项. 因为，所以，所以既不是奇函数也不是偶函数，不正确；选项. ，令，则，因为在区间上单调递增，而函数在单调递减，所以在区间上单调递
34、减，正确；选项. 当时，由，得，或，或，或，所以在有四个零点，正确；选项. ，因为，所以当时，当时，所以不正确.选项. 所以是的周期，故正确故答案为：13【分析】画出分段函数的图象，利用函数零点的个数，判断a的范围即可.【详解】函数的图象如下：函数仅有两个不同零点，可转化为函数与函数的图象有2个交点，由图可知.故答案为：.【点睛】方法点睛：本题考查已知零点个数求参数的取值范围，处理函数的零点个数问题时一般转化为函数图象的交点个数，然后借助于函数图象解决，考查数形结合思想和转化思想，属于常考题.14【分析】转化为函数的图象与函数的图象的交点个数，画出函数与的大致图象可得答案.【详解】显然不是方程
35、的实数根，所以方程的实数根的个数等于函数的图象与函数的图象的交点个数，画出函数与的大致图象，如下图所示，所以函数的图象与函数的图象的交点个数为，所以方程的实数根的个数为，故答案为：.【递减】本题的关键点是转化为函数的图象与函数的图象的交点个数，考查了学生转化与数形结合的能力.15【分析】作出函数的图象，结合图象，由，得到，在根据对称性，即可求得的取值范围.【详解】由题意，函数，作出函数的图象，方程有四个不同的根，可知，由，当时，可得的值为1，当时，可得的值为1，所以，由的两个根为，可得，则，令，其对称轴为，可得单调递减，则函数的值域为，所以，即.故答案为：.【点睛】利用函数的图象求解方程的根的个数或研究不等式问题的策略：1、利用函数的图象研究方程的根的个数：当方程与基本性质有关时，可以通过函数图象来研究方程的根，方程的根就是函数与轴的交点的横坐标，方程的根据就是函数和图象的交点的横坐标；2、利用函数研究不等式：当不等式问题不能用代数法求解但其与函数有关时，常将不等式问题转化为两函数图象的上、下关系问题，从而利用数形结合求解.47