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1、考点02 命题及其关系、充分条件与必要条件【命题趋势】此考点在高考中经常与其他知识相结合进行考查，重点体现在：（1）理解命题的概念.（2）了解“若p，则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系.（3）理解必要条件、充分条件与充要条件的意义.【重要考向】一、四种命题的关系及其真假的判断二、充分、必要条件的判断三、充分、必要条件的应用 四种命题关系及其真假的判断一命题的概念在数学中用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题其中判断为真的语句叫真命题，判断为假的语句叫假命题二四种命题及其关系(1)四种命题命题表述形式原命题若p，则q逆命题若q，则p否命题若，则
2、逆否命题若，则(2)四种命题间的关系(3)常见的否定词语正面词语=()是都是任意(所有)的任两个至多有1(n)个至少有1个否定词()不是不都是某个某两个至少有2(n+1)个1个也没有3四种命题的真假关系(1)两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；(2)两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系【巧学妙记】当一个命题有大前提而要写出其他三种命题时，必须保留大前提，也就是大前提不动 【典例】1（2020上海高一专题练习）有下列四个命题：“若，则互为相反数”的逆命题；“全等三角形的面积相等”的否命题；“若，则有实根”的逆否命题；“等边三角形的三个内角相等”逆命题；其中真命题的个数为（
3、）ABCD【答案】C【分析】利用逆命题的定义判断和，利用否命题的定义判断，由原命题和逆否命题的关系判断【详解】的逆命题为“若互为相反数，则”，为真命题；的否命题为“不全等的三角形，面积一定不等”，为假命题；为真命题，时，一元二次方程的判别式，故有实根，原命题为真，从而它的逆否命题为真命题；为真命题，“逆命题为三个内角都相等的三角形是等边三角形”故选：C2（2021浙江高二期末）命题“全等三角形一定相似”的逆命题是_它的逆命题，否命题，逆否命题三个命题中真命题的个数有_个【答案】相似三角形一定全等 【分析】根据原命题与逆命题之间的关系可写出原命题的逆命题，判断原命题与逆命题的真假，由此可得出结论
4、.【详解】命题“全等三角形一定相似”的逆命题是“相似三角形一定全等”，原命题为真，逆命题为假，所以，原命题的逆命题，否命题，逆否命题三个命题中有且只有个真命题.故答案为：相似三角形一定全等；.3（2021北京高三一模）设，则使得命题“若，则”为假命题的一组的值是_.【答案】满足且即可【分析】由题意存在，且，即可得到、的关系式，本题属于开放性题，只需符合题意即可；【详解】解：要使命题“若，则”为假命题；则存在，且所以且，取即可满足条件，本题属于开放性题，只需填写符合且的值即可；故答案为：满足且即可 充分条件与必要条件一、充分条件与必要条件的概念(1)若pq，则p是q的充分条件，q是p的必要条件；
5、(2)若pq且qp，则p是q的充分不必要条件；(3)若pq且qp，则p是q的必要不充分条件；(4) 若pq，则p是q的充要条件； (5) 若pq且qp，则p是q的既不充分也不必要条件.二、必记结论(1)等价转化法判断充分条件、必要条件p是q的充分不必要条件是的充分不必要条件；p是q的必要不充分条件是的必要不充分条件；p是q的充要条件是的充要条件；p是q的既不充分也不必要条件是的既不充分也不必要条件.(2)集合判断法判断充分条件、必要条件若p以集合A的形式出现，q以集合B的形式出现，即p：A=x|p(x) ，q：B=x|q(x) ，则若，则p是q的充分条件；若，则p是q的必要条件；若，则p是q的
6、充分不必要条件；若，则p是q的必要不充分条件；若，则p是q的充要条件；若且，则p是q的既不充分也不必要条件.【巧学妙记】设“若p，则q”为原命题，那么：(1)原命题为真，逆命题为假时，则p是q的充分不必要条件；(2)原命题为假，逆命题为真时，则p是q的必要不充分条件；(3)当原命题与逆命题都为真时，则p是q的充要条件；(4)当原命题与逆命题都为假时，则p是q的既不充分也不必要条件【典例】4（2021安徽合肥市合肥一中高三其他模拟（文）“”是“直线与圆相交”的（ ）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【答案】A【分析】求出直线l与圆C相交的充要条件，再探求所得条件与给
7、定条件的关系即可得解.【详解】圆的圆心C(2，0)，半径，点C到直线l的距离，直线l与圆C相交，显然，而，所以“”是“直线与圆相交”的充分不必要条件.故选：A5（2021浙江高一期末）已知，集合若是的必要条件，则实数m的取值可以是（ ）AB1C3D5【答案】ABC【分析】解不等式得集合，将必要条件转化为集合之间的关系列出关于的不等式组，解得范围即可得结果.【详解】由，解得，非空集合，又是的必要条件，所以，当，即时，满足题意；当，即时，解得，的取值范围是，实数m的取值可以是，故选：ABC. 充分条件与必要条件的应用充分条件与必要条件的两种解题方法 充分、必要条件的应用主要涉及根据充要条件求解参数
8、的取值范围，具体解法如下：1解决此类问题一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式（组）求解.2求解参数的取值范围时，一定要注意区间端点值的检验，尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号决定端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的现象.【典例】6（2021浙江高一期末）设，则p是q成立的（ ）条件A充分不必要B必要不充分C充要条件D既非充分也非必要【答案】B【分析】化简得或，再利用充分必要条件的定义判断得解.【详解】由题得或，所以或，所以命题成立时，命题不一定成立，命题成立时，命题一定成立.所以p是q成立
9、的必要不充分条件.故选：B【点睛】方法点睛：充分必要条件的判断常用的方法有：（1）定义法；（2）集合法；（3）转化法.要根据已知条件灵活选择方法求解.7（2021浙江高一期末）已知，且q是p的必要不充分条件，则实数m的取值范围是_【答案】【分析】设将满足p,q的x的集合即为A,B已知条件转化为，根据集合间的关系列式可解得结果.【详解】“q是p的必要不充分条件”的等价命题是：是的充分不必要条件设是的充分不必要条件，所以（两个等号不能同时取到），故答案为：.【点睛】本题考查了转化化归思想，考查了充分不必要条件和必要不充分条件,考查了集合间的关系，属于基础题.1若，则是复数为纯虚数的（ ）A充分不必
10、要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分又不必要条件2已知直线和，则“”是“”的（ ）A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件3“”是“”的（ ）A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件4“”是“”的（ ）A充要条件B充分不必要条件C必要不充分条件D既不充分也不必要条件5已知则“”是“”的（ ）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件6已知，则“存在使得”是“”的（ ）A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件7设为非零向量，则“”是“存在整数，使得”的（ ）A充分而不必要条件B
11、必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件8已知空间中两平面，直线，则“”是“”的（ ）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件9已知都是q的充分条件，p是q的必要条件，r是p的必要条件，则（ ）As是r的既不充分也不必要条件Bs是p的必要条件Cq是r的必要不充分条件Dp是r的充要条件10若命题“，使得”为假命题，则实数a的取值范围为_1（2020北京高考真题）已知，则“存在使得”是“”的（ ）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件2（2020浙江高考真题）已知空间中不过同一点的三条直线m，n，l，则“m，n，l在同一平面
12、”是“m，n，l两两相交”的（ ）A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件3（2017天津高考真题（文）设，则“”是“”的（ ）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件4（2019北京高考真题（文）设函数f（x）=cosx+bsinx（b为常数），则“b=0”是“f（x）为偶函数”的A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件5（2018浙江高考真题）已知直线和平面，则“”是“”的（ ）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件6（2008重庆高考真题（文）设x是实数，则“x0”是“|x|0”
13、的 （ ）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件7（2020天津高考真题）设，则“”是“”的（ ）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件8（2017天津高考真题（文）设，则“”是“”的（ ）A充要条件B充分而不必要条件C必要而不充分条件D既不充分也不必要条件9（2019天津高考真题（文）设，则“”是“”的A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件10（2013上海高考真题（文）钱大姐常说“便宜没好货”，她这句话的意思是：“不便宜”是“好货”的A充分条件B必要条件C充分必要条件D既非充分也非必要条件1（2021广东
14、汕头市高三三模）已知是数列的前n项和，则“对恒成立”是“是公比为2的等比数列”的（ ）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件2（2021新疆高三其他模拟（文）命题“若，则”的逆否命题是（ ）A若，则B若，则C若，则D若，则3（2021天津高三一模）命题，命题，命题是命题的（ ）A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件4（2021四川高三三模（文）若，为非零向量，则“”是“”的（ ）A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件5（2021上海华师大二附中高三三模）已知，则“”是“z为纯虚数”的（ ）A充分非必要条件B必
15、要非充分条件C充要条件D既非充分又非必要条件6（2021浙江温州市高三三模）已知x，y为实数，则“”是“”的（ ）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件7（2021上海市崇明中学高三其他模拟）“”是“”的（ ）A充要条件B充分非必要条件C必要不充分条件D既非充分又非必要条件8（2021湖北武汉市华中师大一附中高三其他模拟（文）下列结论中，错误的是（ ）A“”是“”的充分不必要条件B已知命题，则C若复合命题是假命题，则都是假命题D命题“若，则的逆否命题“若，则9（2021千阳县中学高三其他模拟（文）下列说法正确的是（ ）A“”是“”成立的充分必要条件；B命题，则
16、；C命题“若，则”的否定是假命题；D“”是“”成立的充分不必要条件10（2021上海市控江中学高三三模）已知与皆是定义域、值域均为R的函数，若对任意，恒成立，且与的反函数、均存在，命题P：“对任意，恒成立”，命题Q：“函数的反函数一定存在”，以下关于这两个命题的真假判断，正确的是（ ）A命题P真，命题Q真B命题P真，命题Q假C命题P假，命题Q真D命题P假，命题Q假11（2021天津耀华中学高三二模）已知，“”是“”的（ ）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件12（2021河南平顶山市高三三模（文）下列结论中正确的是（ ）设，是两条不同的直线，是两个不同的平面，若，则
17、；是函数取得最大值的充要条件；已知命题，；命题，则为真命题；等差数列中，前项和为，公差，若，则当取得最大值时，.ABCD参考答案跟踪训练1C【分析】根据纯虚数的概念和充分、必要条件的概念进行判定即可.【详解】设,当时,是纯虚数，当为纯虚数时，,故是复数为纯虚数的充分必要条件.故选：C.2B【分析】根据和的互相推出情况确定出“”是“”的何种条件，求解时注意分析两直线重合的情况.【详解】当时，若，此时重合，所以充分性不满足；当时，且，所以且，所以必要性满足，所以“”是“”的必要不充分要条件，故选：B.【点睛】结论点睛：已知；若，则有且.3B【分析】根据正弦函数的性质及充分条件、必要条件即可求解.【
18、详解】推不出（举例，），而,“”是“”的必要不充分条件，故选：B4C【分析】首先求解绝对值不等式和二次不等式，然后根据小范围推出大范围，大范围推不出小范围判断选项即可.【详解】因为解得，而，解得，所以若，则不一定成立；反之，若，则一定成立；所以”是“”的必要不充分条件，故选：C【点睛】本题主要考查充分必要条件，在求解过程中，注意把握小范围能推出大范围，大范围推不出小范围.5A【分析】求解出成立的充要条件，再与分析比对即可得解.【详解】，则或，由得，由得，显然，所以“”是“”的充分不必要条件.故选：A【点睛】结论点睛：充分不必要条件的判断：p是q的充分不必要条件，则p对应集合是q对应集合的真子集
19、.6A【分析】由三角函数的性质可知在R上的最大值为2，最小值，且相邻的最大值与最小值之间的水平距离为，结合充分、必要条件的定义即可判定.【详解】由于在R上的最大值为2，最小值，且相邻的最大值与最小值之间的水平距离为半个周期，即，所以若存在使得，则必有，但反之不成立,比如时，但在上的最大值为2，最小值为，时的最大值为3，不可能等于4，“存在使得”是“”的充分不必要条件，故选：A.【点睛】本题考查充分不必要条件的判定，涉及三角函数的性质，属基础题，关键是认真审题，理解存在性命题的意义，掌握三角函数的性质和充分、必要条件的意义.7D【分析】考查由“”与“存在整数，使得”为题设、结论的互逆的两个命题真
20、假即可得解.【详解】因为非零向量，设的夹角为，则，若，则，是0或锐角，而是锐角时，不成立，即“”“存在整数，使得”；若有“存在整数，使得”，取并且，则，即不成立，“存在整数，使得”“”，综上得“”是“存在整数，使得”的既不充分也不必要条件.故选：D8A【分析】由已知条件判断空间线面、面面关系，根据推出关系判断条件的充分、必要性即可.【详解】且，知：；而且，则与平面的关系可能有、，“”是“”的充分不必要条件.故选：A9D【分析】根据题意得到，再逐项判断，即可求解.【详解】由题意，都是q的充分条件，p是q的必要条件，r是p的必要条件，可得，所以，所以，所以s是r的充分条件，故A错误；s是p的充分条
21、件，故B错误；q是r的充要条件，故C错误；p是r的充要条件，故D正确；故选：D.10【分析】根据原命题为假命题得到“”为真命题，根据与的关系求解出的取值范围.【详解】由已知条件可知：为真命题，记，所以，所以，故答案为：.【点睛】关键点点睛：解答本题的关键在于转化思想的运用，根据特称命题的真假得到全称命题的真假，然后再结合不等式的思想完成求解.真题再现1C【分析】根据充分条件，必要条件的定义，以及诱导公式分类讨论即可判断.【详解】(1)当存在使得时，若为偶数，则；若为奇数，则；(2)当时，或，即或，亦即存在使得所以，“存在使得”是“”的充要条件.故选：C.【点睛】本题主要考查充分条件，必要条件的
22、定义的应用，诱导公式的应用，涉及分类讨论思想的应用，属于基础题.2B【分析】将两个条件相互推导，根据能否推导的结果判断充分必要条件.【详解】依题意是空间不过同一点的三条直线，当在同一平面时，可能，故不能得出两两相交.当两两相交时，设，根据公理可知确定一个平面，而，根据公理可知，直线即，所以在同一平面.综上所述，“在同一平面”是“两两相交”的必要不充分条件.故选：B【点睛】本小题主要考查充分、必要条件的判断，考查公理和公理的运用，属于中档题.3B【分析】本题首先可通过运算得出即以及即，然后根据与之间的关系即可得出结果.【详解】，即，即，因为集合是集合的真子集，所以“”是“”的必要不充分条件.故选
23、：B.【点睛】本题考查充分条件以及必要条件的判定，给出命题“若则”,如果可证明，则说明是的充分条件，如果可证明，则说明是的必要条件，考查推理能力与计算能力，是简单题.4C【分析】根据定义域为R的函数为偶函数等价于进行判断.【详解】 时，, 为偶函数；为偶函数时，对任意的恒成立， ，得对任意的恒成立，从而.从而“”是“为偶函数”的充分必要条件，故选C.【点睛】本题较易，注重重要知识、基础知识、逻辑推理能力的考查.5D【分析】从充分性和必要性两方面分别分析判断得解.【详解】直线和平面，若，当时，显然不成立，故充分性不成立；当时，如图所示，显然不成立，故必要性也不成立所以“”是“”的既不充分又不必要
24、条件.故选：D【点睛】方法点睛：判定充要条件常用的方法有三种：（1）定义法：直接利用充分必要条件的定义分析判断得解；（2）集合法：利用集合的包含关系分析判断得解；（3）转化法：转化成逆否命题分析判断得解.6A【详解】本小题主要考查充要条件的判定由充分 而或，不必要，故选A7A【分析】首先求解二次不等式，然后结合不等式的解集即可确定充分性和必要性是否成立即可.【详解】求解二次不等式可得：或，据此可知：是的充分不必要条件.故选：A.【点睛】本题主要考查二次不等式的解法，充分性和必要性的判定，属于基础题.8C【分析】首先解两个不等式，再根据充分、必要条件的知识选出正确选项.【详解】由解得.由得.所以
25、“”是“”的必要而不充分条件故选：C【点睛】本小题主要考查充分、必要条件的判断，考查绝对值不等式的解法，属于基础题.9B【分析】求出的解集，根据两解集的包含关系确定.【详解】等价于，故推不出；由能推出故“”是“”的必要不充分条件故选B【点睛】充要条件的三种判断方法：(1)定义法：根据pq，qp进行判断；(2)集合法：根据由p，q成立的对象构成的集合之间的包含关系进行判断；(3)等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把要判断的命题转化为其逆否命题进行判断这个方法特别适合以否定形式给出的问题10B【详解】根据等价命题，便宜没好货，等价于，好货不便宜，故选B【考点定位】考查充分必要性的判断以
26、及逻辑思维能力，属中档题模拟检测1B【分析】根据等比数列以及充分必要条件的定义即可求解.【详解】解：若，则，即，根据等比数列的定义，是公比为2的等比数列不成立；若是公比为2的等比数列，则，即，所以成立；所以“对恒成立”是“是公比为2的等比数列”的必要不充分条件，故选：B.2B【分析】根据命题的逆否命题直接求逆否命题即可得解.【详解】若，则的逆否命题为：若，则.故选：B.3C【分析】根据充分必要条件定义判断【详解】，即，是充分的，即，是必要的因此是的充要条件故选：C4C【分析】利用充分条件和必要条件的定义判断即可【详解】因为，所以，则，所以“”是“”的充分条件；反之，由有，所以非零向量，垂直，“
27、”是“”的必要条件.故选：C5B【分析】利用复数的定义进行判断即可【详解】为纯虚数，是错的，比如，z不是纯虚数，故充分性不成立；z为纯虚数，故必要性成立；故答案选：B6A【分析】首先由结合可判断充分性；由，通过举出反例即可判断必要性.【详解】解:因为，因为，所以，即“”是“”的充分条件，若成立，如果则该不等关系也成立，即“”是“”的不必要条件.故选:A.7C【分析】根据三角函数的基本关系式和充分条件、必要条件的判定方法，即可求解.【详解】因为，根据三角函数的基本关系式，可得，反之：若，根据三角函数的基本关系式，可得，所以“”是“”的必要不充分条件.故选：C.8C【分析】对A，可利用子集法确定；
28、对B,D直接利用定义；对C，根据复合命题的真假判断；【详解】对A，或，所以“”“”，反之不成立，故A正确；对B，D都是可以直接判断为正确的.对C，复合命题假，只需至少有一假就可以了，所以C错误.故选：C.9C【分析】利用不等式性质可判断A；运用全称命题的否定为特称命题，即可判断B；由命题与其否定一真一假，即可判断C；特殊值代入即可判断D.【详解】对于选项A，时，易得，反之不成立，故A错误；对于选项B，全称命题的否定为特称命题，所以命题，的否定为，故B错误；对于选项C，“若，则”为真命题，所以其否定为假命题，故C正确；对于选项D，由“”并不能推出“”，如，故D错误；故选：C10D【分析】利用反函
29、数的定义和原函数与反函数关于直线的对称性，通过列举的方式加以说明即可【详解】由题，可设，与，与其反函数，均存在，命题：对任意，恒成立”由图象关于直线对称可知是错误的如图：对命题：可 设，令，存在，根据反函数特征，若函数存在反函数，则不能存在一个值对应两个的情况，说明不存在反函数故命题假，命题假故选：D11A【分析】求出和的解集，再根据集合间的关系，即可得解；【详解】解不等式可得或，解得或，解不等式，可得或.或或，因此，“”是“”的充分不必要条件.故选：A.【点睛】掌握充分条件和必要条件的定义是解题关键.12A【分析】对于，先得出，再根据来判断；对于，通过来判断；对于，分别判断每一个命题的真假就可以得出结论；对于，注意取最大值时的条件即可判断.【详解】对于：设，是两条不同的直线，是两个不同的平面，若，则，由于，则，故正确；对于，函数满足，故不是取得最大值的充要条件，故错误；已知命题，；当时，不成立，命题，当时，成立，则为真命题，故正确；等差数列中，前项和为，公差，若，即，则当取得最大值时，故错误.故选：A.【点睛】本题考查线面位置关系的判断，充要条件的判断，复合命题的真假，等差数列前项和的最值问题，考查运算求解能力，逻辑推理能力，是中档题.本题解题的关键在于结合已知条件，进行举反例或逻辑推理论证判断.29