第三章 复变积分PPT讲稿.ppt

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1、第三章 复变积分第1页，共50页，编辑于2022年，星期二3.1 复变积分 定义 设曲线 复平面，函数 在在 l 上有意义，将曲线 l 任意分割为 n 段，分点为 ，是 段上任意一点，作和数 1Az0Bz2z1znzn-1 2 nl当 ，时，此和数的极限存在，且与 的选取无关，则称此极限值为函数 沿曲线 l 的积分，记为第2页，共50页，编辑于2022年，星期二一个复变积分是两个实变积分的有序组合。定理 是分段光滑曲线 l 上的连续函数，的复变积分一定存在。第3页，共50页，编辑于2022年，星期二复变积分的基本性质 若 ，则 若 ，则 若 是 的逆向，则对常数 a，有 ，M 为 在 l 上的

2、上界，L 为 l 的长度。第4页，共50页，编辑于2022年，星期二 例题例题解求 ，l 为沿实轴01，在平行于虚轴11+i；沿虚轴0i，在平行于实轴i1+i；沿直线01+i。对于 01z=xz=1+iy1+i第5页，共50页，编辑于2022年，星期二对于 0iz=x+iz=iy1+i对于 0z=(1+i)t1+i第6页，共50页，编辑于2022年，星期二当 时，令 ，则试证 ，l 是以a为圆心，为 半径的圆周。例题例题解当 的整数时，第7页，共50页，编辑于2022年，星期二单连通区域 单连通区域 在区域内作任何简单的闭合围道，围道内的点都属于该区域。反之，为复连通区域（多连通区域）3.2

3、单连通区域的柯西定理 积分值与积分路径之间的关系柯西定理 定义 复连通区域第8页，共50页，编辑于2022年，星期二单连通区域的柯西定理定理 若函数 在单连通区域 内解析，则沿 内任何一个分段光滑的闭合围道 l 有 ，l 可以是 的边界。证明现仅在 在 中连续的前提下证明这个定理。利用格林定理（stokes公式）（，且有连续偏导数）于是 第9页，共50页，编辑于2022年，星期二由由C-R条件条件因为 连续，连续在单连通区域中，解析函数的积分值与积分路径无关。可知可知第10页，共50页，编辑于2022年，星期二推论 若函数 在单连通区域 内解析，则 也在 内解析，且 证明对 求导即可。设 内一

4、点，为邻点，则 ，积分与路径无关 zz0z+DzDz第11页，共50页，编辑于2022年，星期二可得（复变积分性质）连续，使当 时，即 定义 原函数若 ，为 的原函数。原函数不唯一，任意两个原函数相差一个常数。第12页，共50页，编辑于2022年，星期二 例题例题计算积分 ，n 为整数。解当 n 为自然数时，在C上解析，是它的一个原函数，对于任意 C 上的积分路线，有 当 时，在 C/0 上解析，原函数仍可取为 在不包含 的任一单连通区域内，有 当 时，在 C/0 上解析，原函数为 故在不包含 的任一单连通区域内，第13页，共50页，编辑于2022年，星期二 例题例题解计算围道积分 令 ，可知

5、 ，第14页，共50页，编辑于2022年，星期二 例题例题解计算围道积分 令 ，得 ，即被积函数有奇点 ，均不在积分围道 内，在 中，被积函数仍解析，由单连通区域的柯西定理可知 如果所求积分的围道是 ，也就是说，被积函数在围道包围的区域内有奇点，这时单连通区域的柯西定理不再适用。第15页，共50页，编辑于2022年，星期二3.3 复连通区域的柯西定理Gc0c1c2cn定理 复连通区域的柯西定理 若 是复连通区域 内的单值解析函数，则 其中，是构成复连通区域 的边界的各个分段光滑闭合曲线，都包含在 的内部，所有积分路经走向相同。第16页，共50页，编辑于2022年，星期二证明Ga1a2anb1b

6、2bn如图，取 均为逆时针方向，作割线将 与 连接起来，得到单连通区域 ，应用单连通区域的柯西定理 即第17页，共50页，编辑于2022年，星期二 在 内单值 即 第18页，共50页，编辑于2022年，星期二 例题例题解计算 ，n 为整数，l 为逆时针方向。当 n 为自然数时，显然，在整个复平面解析，l 围道包含的区域是 单连通区域，由单连通区域柯西定理可知 当 n 为负整数时，在 C/0 内解析，若 l 围道内不包含 则也有若 l 围道内含有 ，由复连通区域的柯西定理可知 第19页，共50页，编辑于2022年，星期二综上，即 一般地，第20页，共50页，编辑于2022年，星期二3.4 两个有

7、用的引理 引理一 若函数 f(z)在 z=a 点的空心邻域内连续，且当 1 arg(z a)2，z a 0 时，(z a)f(z)一致地趋近于 k，则 其中 C 是以 a 为圆心，为半径，夹角为 2 1 的圆弧，z a =，1 arg(z a)2。第21页，共50页，编辑于2022年，星期二证明因为 所以 当 1 arg(z a)2，z a 0 时，(z a)f(z)一致地趋近于 k，这意味着，0，（与arg(z a)无关的）r()0，使当 z a =r 时 (z a)f(z)-k 0，（与arg z 无关的）M()0，使当 z =R M 时 z f(z)K 成立。即第24页，共50页，编辑于

8、2022年，星期二3.5 柯西积分公式 柯西定理从一个侧面反映了解析函数的基本特性：解析函数在它的解析区域内各点的函数值是密切相关的 处处可导 C-R方程是这种关联的微分形式 柯西定理是这种关联的积分形式同样，下面的柯西积分公式也清楚地表现出这种关联性。第25页，共50页，编辑于2022年，星期二有界区域的柯西积分公式定理设 f(z)的单值函数，的边界 C 是分段光滑曲线，点 aG，则积分路线沿 C 的正向（逆时针方向）。证明在 G 内作圆 ，保持 ，积分路线沿 C 的正向（逆时针方向）。第26页，共50页，编辑于2022年，星期二由复连通区域的柯西定理，有此结果与 r 的大小无关，故令r 0

9、，因为令则（一致趋近）由引理一（）可得所以第27页，共50页，编辑于2022年，星期二 例题例题解计算围道积分 有界区域柯西积分公式 第28页，共50页，编辑于2022年，星期二 例题例题解计算围道积分 有界区域柯西积分公式 （复连通区域柯西定理）第29页，共50页，编辑于2022年，星期二 例题例题解计算围道积分 ，C 为闭合曲线 周期为 4 4p p 0p p/2p p3 3p p/22 2p p5 5p p/23 3p p7 7p p/24 4p pr32.852.52.1522.152.52.853第30页，共50页，编辑于2022年，星期二有界区域柯西积分公式 （复连通区域柯西定理）

10、第31页，共50页，编辑于2022年，星期二则 f(z)在以 a 为圆心 R 为半径的区域内解析，由单连通区域的柯西积分公式，得柯西积分公式的特殊形式均值定理 解析函数 f(z)在解析区域 G 内任意一点 a 的函数值 f(a)，等于（完全位于 G 内的）以 a 为圆心的任一圆周上的函数值的平均。定理证明令第32页，共50页，编辑于2022年，星期二 在 C 外作一个以原点为圆心，R 为半径的圆 CR，对于 C 和 CR 包围的复连通区域，根据单连通区域的柯西积分公式，有 CR 的走向是逆时针方向，只要 R 足够大，结果与 R 无关，令 R，若 对无界区域，需要假设 f(z)在简单闭合围道 C

11、 上及 C 外（包括无穷远点）单值解析。a 为 C 外一点，积分路线 C 的走向是绕无穷远点的正向，即顺时针方向（左侧法则）。（#）第33页，共50页，编辑于2022年，星期二 由引理二知，代入（#）式，所以 当 K=0 时，即得无界区域的柯西积分公式。定理无界区域的柯西积分公式 若 f(z)在简单闭合围道 C 上及 C 外解析，且当 z 时，一致地趋于0，则a 为 C 外一点，积分路线 为顺时针方向。第34页，共50页，编辑于2022年，星期二证明令由引理二知：由单连通区域的柯西定理知：所以即第35页，共50页，编辑于2022年，星期二 例题例题解计算围道积分（复连通区域柯西定理）无界区域柯

12、西积分公式 第36页，共50页，编辑于2022年，星期二第37页，共50页，编辑于2022年，星期二3.6 解析函数的高阶导数 柯西积分公式 f(z)解析，在 G 内 f(z)的任何阶导数 均存在，且C 是 的正向边界，第38页，共50页，编辑于2022年，星期二证明第39页，共50页，编辑于2022年，星期二以此类推，可得 一个复变函数，在一个区域内只要一阶导数存在，则它的任何阶导数都存在，且都是这个区域的解析函数。第40页，共50页，编辑于2022年，星期二 例题例题解计算积分（柯西型积分）第41页，共50页，编辑于2022年，星期二3.7 柯西型积分和含参量积分的解析性 定义 在一段分段

13、光滑的（闭合或不闭合）曲线 C 上连续的函数 F F()所构成的积分称为柯西型积分。它是曲线外点 z 的函数，且 可通过积分号下求导得到。第42页，共50页，编辑于2022年，星期二 例题例题计算积分所求积分为柯西型积分，且在 =1上，解故当 （在 外）时，积分围道为顺时针方向无界区域的柯西公式第43页，共50页，编辑于2022年，星期二当 （在 内）时，应用复连通区域的柯西定理所以第44页，共50页，编辑于2022年，星期二 例题例题计算积分解因为 z=1 是z+1 1 内的一个奇点，在z+1 1 内解析由柯西导数公式有第45页，共50页，编辑于2022年，星期二 例题例题 在复平面内解析，

14、由单连通区域的柯西定理可知计算积分解 例题例题计算积分解奇点 z=1 在 C 内第46页，共50页，编辑于2022年，星期二 例题例题计算积分解方法一：奇点 z1=1，z2=3 均在z=4 内，作补充围道 和 ，如右图，由柯西定理可知第47页，共50页，编辑于2022年，星期二方法二：被积函数可化为第48页，共50页，编辑于2022年，星期二 f(t,z)在 上解析，z G，由有界区域柯西积分公式有定理含参量积分的解析性设 f(t,z)是 t，z 的连续函数，对于a,b上的任何 t 值，f(t,z)是 上的单值解析函数则 在 G 内解析，且证明代入 F(z)的定义第49页，共50页，编辑于2022年，星期二 f(t,z)连续，交换积分次序这是个柯西型积分，连续，故 F(z)在 G 内解析 且由柯西导数公式，得交换积分次序柯西导数公式第50页，共50页，编辑于2022年，星期二