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1、第1章 线性空间与内积空间第1页，共56页，编辑于2022年，星期日 第第2 2章章 线性映射与线性变换线性映射与线性变换 第第1 1章章 线性空间与内积空间线性空间与内积空间 第第3 3章章 矩阵与矩阵的矩阵与矩阵的JordanJordan标准形标准形 第第4 4章章 矩阵的因子分解矩阵的因子分解 第第7 7章章 矩阵函数与矩阵值函数矩阵函数与矩阵值函数 第第5 5章章 Hermite Hermite矩阵与正定矩阵矩阵与正定矩阵 第第6 6章章 范数与极限范数与极限 第第8 8章章 广义逆矩阵广义逆矩阵第2页，共56页，编辑于2022年，星期日约定和常用符号约定和常用符号 （1 1）集合用大
2、写字母）集合用大写字母A，B，C，表示，集合中的元素用小表示，集合中的元素用小写字母写字母a，b，c表示表示.第3页，共56页，编辑于2022年，星期日第4页，共56页，编辑于2022年，星期日1.1 预备知识预备知识1.2 线性空间线性空间1.3 基与坐标基与坐标1.4 线性子空间线性子空间1.5 线性空间的同构线性空间的同构1.6 内积空间内积空间 第第1章章 线性空间与内积空间线性空间与内积空间第5页，共56页，编辑于2022年，星期日1.1 预备知识预备知识元素元素 称为元素称为元素 在映射在映射 下的下的像像，称，称 为为 的的原像原像。集合。集合 称为映射称为映射 的的定义域定义域
3、，集合，集合称为映射称为映射 的的值域值域。定义定义1.1.11.1.1 设设 是两个非空集合，如果存在对应法则是两个非空集合，如果存在对应法则 ，使得，使得 ，按对应法则，按对应法则 ，在，在 中有唯一元中有唯一元素素 与之对应，则称与之对应，则称 是是 到到 的一个的一个映射映射,记为记为 映射的例子：映射的例子：第6页，共56页，编辑于2022年，星期日定义定义1.1.21.1.2设是非空集合，定义映射设是非空集合，定义映射 如下如下:称是上的称是上的恒等映射恒等映射或或单位映射单位映射。定义定义1.1.1.1.设设 是集合是集合 到到 的一个映射，的一个映射，（1 1）如果）如果 ，则
4、称，则称 是是 到到 的的满映射满映射；（2 2）如果）如果 ，有，有 ，则称，则称 是是 到到 的的单映射单映射；（3 3）如果）如果 既是单映射又是满映射，则称既是单映射又是满映射，则称 是是 到到 上上的的一一映射一一映射或称或称 是是 到到 的的双映射双映射。第7页，共56页，编辑于2022年，星期日定义定义1.1.1.1.设设 是两个映射，如果是两个映射，如果 则称映射与则称映射与相等相等，记为。，记为。定理定理1.1.11.1.1设有映射设有映射 和和 ，则则定义定义1.1.51.1.5设设 是三个非空集合，如果是三个非空集合，如果 和和 是两个映射，则定义是两个映射，则定义乘积乘
5、积映射映射 如下：如下：第8页，共56页，编辑于2022年，星期日定义定义1.1.1.1.设有映射设有映射 ，如果存在映射，如果存在映射使得，则称使得，则称 为为 的的逆映射逆映射,记为记为 。如果映射如果映射 有逆映射有逆映射 ，则称，则称 为为可逆映射可逆映射。定理定理1.1.21.1.2 设映射设映射 是可逆的，则是可逆的，则 的逆映射的逆映射 是唯一的。是唯一的。定理定理1.1.31.1.3 映射映射 是可逆映射的充分必要条件是是可逆映射的充分必要条件是 为为 到到 的双映射。的双映射。定义定义1.1.设设 是三个非空集合，是三个非空集合，到到 的映射的映射称为称为 与与 到到 的一个
6、的一个代数运算代数运算；到到 的映射称为的映射称为 到到 的代数运算；的代数运算；到到 的映射称为的映射称为 上的代数运算。上的代数运算。第9页，共56页，编辑于2022年，星期日 对任意对任意 ，映射，映射 是是 与与 到到 的代数运算。的代数运算。对任意对任意 ，映射，映射 是是 与与 到到 的代数运算。的代数运算。对任意对任意 ，映射，映射 是是 上上的代数运算。的代数运算。对任意对任意 ，映射，映射 是是 到到 的的代数运算。代数运算。第10页，共56页，编辑于2022年，星期日1.2 线线 性性 空空 间间定义定义1.2.11.2.1 设设P是包含是包含0 0和和1 1在内的数集，如
7、果在内的数集，如果P中任意两个数的中任意两个数的和、差、积、商（除数不为和、差、积、商（除数不为0 0）仍是）仍是P中的数，则称中的数，则称P为一个为一个数域数域。定义定义1.2.21.2.2 设设V 是一个非空集合，是一个非空集合，P是一个数域，如果在是一个数域，如果在V 上定义有代数运算上定义有代数运算 （称为（称为加法加法运算）；在运算）；在P与与V到到V 定义有代数运算定义有代数运算 （称为（称为数乘数乘运算），并且加运算），并且加法与数乘运算满足如下八条规则：法与数乘运算满足如下八条规则：第11页，共56页，编辑于2022年，星期日其中其中k，m是是P中的任意数，中的任意数，,是是V
8、 中的任意元素，则称中的任意元素，则称V 为数域为数域P上的上的线性空间线性空间。线性空间。线性空间V 中的元素也称为中的元素也称为向量向量。定理定理1.2.11.2.1 设设V是数域是数域P上的线性空间，则上的线性空间，则(1)(1)中零元素是唯一的；中零元素是唯一的；(2)(2)中任一元素中任一元素的负元素是唯一的；的负元素是唯一的；定义线性空间中的定义线性空间中的减法减法：。第12页，共56页，编辑于2022年，星期日以下总设以下总设 P 是数域，是数域，V 是数域是数域 P 上的线性空间。上的线性空间。定义定义1.2.31.2.3 设是设是V 中的一组向量，中的一组向量，是数域是数域
9、P 中的数，如果中的数，如果V 中向量中向量可以表示为可以表示为则称则称可由可由线性表示线性表示，或称，或称是是 的的线性组合线性组合。定义定义1.2.41.2.4 设设 与与 是线性空是线性空间间V 中两个向量组，如果向量组中两个向量组，如果向量组()中每个向量都可由向量组中每个向量都可由向量组()线性表示，则称向量组线性表示，则称向量组()可由向量组可由向量组()线性表示线性表示；如；如果向量组果向量组()与与()可以互相线性表示，则称向量组可以互相线性表示，则称向量组()与向量与向量组组()等价等价。第13页，共56页，编辑于2022年，星期日设向量组设向量组 可由向量组可由向量组 线性
10、表示，线性表示，则则上式可以简记为上式可以简记为 ，其中，其中第14页，共56页，编辑于2022年，星期日注注1 1 向量组向量组 可由向量组可由向量组 线性表示线性表示的充分必要条件是，存在的充分必要条件是，存在 矩阵矩阵 A，使得，使得 注注2 2 向量组的线性表示满足传递性。向量组的线性表示满足传递性。注注3 3 向量组的等价满足自反性、对称性和传递性。向量组的等价满足自反性、对称性和传递性。定义定义1.2.51.2.5 设设 是是V 中一组向量，如中一组向量，如果存在不全为零的数果存在不全为零的数 P，使得，使得则称则称 线性相关线性相关，否则就称，否则就称 线性无线性无关关。第15页
11、，共56页，编辑于2022年，星期日注注4 4 向量组线性相关的充分必要条件是，向量组线性相关的充分必要条件是，向量方程向量方程 在数域在数域 中有非零解。中有非零解。定理定理1.2.21.2.2 设设V 是数域是数域 P上的线性空间上的线性空间.(1)(1)V 中一个向量中一个向量线性相关的充分必要条件是线性相关的充分必要条件是=0=0；(2)(2)V 中一组向量中一组向量 线性相关的充分必线性相关的充分必要条件是要条件是,其中有一个向量是其余向量的线性组合。其中有一个向量是其余向量的线性组合。例例1.2.11.2.1证明中的一组向量证明中的一组向量线性相关。线性相关。第16页，共56页，编
12、辑于2022年，星期日 定理定理1.2.31.2.3 设设V 是是 P 上的线性空间，如果上的线性空间，如果V 中向量组中向量组 线性无关，并且可由向量组线性无关，并且可由向量组 线性表示，线性表示，则则 。推论推论1.2.11.2.1 两个等价的线性无关向量组必含有相同个数的向量。两个等价的线性无关向量组必含有相同个数的向量。推论推论1.2.21.2.2 如果向量组如果向量组 可由向量组可由向量组 线性表示且，则线性表示且，则 线性相关。线性相关。定理定理1.2.41.2.4 设线性空间设线性空间V 中向量组中向量组 线性无关线性无关,而向量组而向量组 线性相关，则线性相关，则可由可由 唯唯
13、一线性表示。一线性表示。第17页，共56页，编辑于2022年，星期日定义定义1.2.6 设设 是线性空间是线性空间V 的一组向量，的一组向量，是其线性无关部分向量组，如果是其线性无关部分向量组，如果 中任中任一向量都可由向量组一向量都可由向量组 线性表示，则称线性表示，则称 为向量组为向量组 的一个的一个极大线性无关组极大线性无关组，数，数 r 称为向量称为向量组组 的的秩秩，记为，记为 推论推论1.2.51.2.5等价的向量组有相同的秩。等价的向量组有相同的秩。推论推论1.2.31.2.3 线性无关的充要条件是线性无关的充要条件是推论推论1.2.41.2.4 如果向量组如果向量组 可由向量组
14、可由向量组 线性表示，则线性表示，则 。第18页，共56页，编辑于2022年，星期日定义定义1.2.7 如果线性空间如果线性空间V 中有中有 n 个线性无关的向量，而任意个线性无关的向量，而任意+1个向量都线性相关，则称个向量都线性相关，则称V 是是 n 维维的，记为的，记为 dim(V)=n；如果如果在在 V 中存在任意多个线性无关的向量中存在任意多个线性无关的向量，则称则称V 是是无限维无限维的，记为的，记为 dim(V)=；如果；如果V 中仅含有零向量，则称中仅含有零向量，则称V 是是零维零维的，记为的，记为 dim(V)=。定理定理1.2.5 设设 是是 V 中中 n 个线性无关的向量
15、，个线性无关的向量，如果如果V 中任一向量都可由中任一向量都可由 线性表示，则线性表示，则dim(V)=n。例例1.2.2设有线性空间设有线性空间 ，证明，证明dim(V)=。第19页，共56页，编辑于2022年，星期日1.3 基基 与与 坐坐 标标 定义定义1.3.11.3.1 设设V 为数域为数域 P上的上的 n 维线性空间，维线性空间，V 中中n 个个线性无关的向量线性无关的向量 称为称为V 的的一组基一组基。设设是是V 中任一向量，则中任一向量，则可由基唯一线性可由基唯一线性表示：表示：其中系数其中系数 称为称为在基在基 下的下的坐标坐标，记为，记为 或或 。第20页，共56页，编辑于
16、2022年，星期日设设 是线性空间是线性空间V 的一组基，的一组基，是是V的的 n 个向量，个向量，则则 （2）当且仅当）当且仅当 T 可逆时，可逆时，也是也是V 的的一组基。一组基。当当和和 都是都是V 的基时，称的基时，称 是由是由基基 到基到基 的的过渡矩阵过渡矩阵。（1）存在）存在 n 阶方阵阶方阵 ，使得，使得 定理定理1.3.11.3.1 在在 n 维线性空间维线性空间V 中，任意一个线性无关中，任意一个线性无关的向量组的向量组 都可以扩充成都可以扩充成V 的一组基的一组基.第21页，共56页，编辑于2022年，星期日 设设 与与 是线性空间是线性空间V 的两组基，且的两组基，且向
17、量向量在基在基 和基和基 下的坐标分别是下的坐标分别是 和和 ，则有如下，则有如下坐标变换公式坐标变换公式：第22页，共56页，编辑于2022年，星期日例例1.3.11.3.1在线性空间在线性空间 中取中取证明是证明是的一组基，并求矩阵的一组基，并求矩阵 在这组基下在这组基下的坐标。的坐标。第23页，共56页，编辑于2022年，星期日1.4 线性子空间线性子空间定义定义1.4.11.4.1 设设V 是数域是数域P上的线性空间，上的线性空间，W 是是V 的的非空子集，非空子集，如果如果W 对于对于V 的两种运算也构成数域的两种运算也构成数域P上的线性空间，则称上的线性空间，则称W 是是V 的的一
18、个一个线性子空间线性子空间，简称，简称子空间子空间。子空间的例子子空间的例子:第24页，共56页，编辑于2022年，星期日定理定理1.4.21.4.2如果如果W 是线性空间是线性空间V 的子空间，则的子空间，则 定理定理1.4.3 1.4.3 设是线性空间设是线性空间的一组向量的一组向量则则W 是是V 的子空间，称为由向量的子空间，称为由向量张成的子空间张成的子空间。定理定理1.4.11.4.1设设V 是线性空间，是线性空间，W 是是V 的的非空子集，则非空子集，则W是是V 的的子空间的充要条件是子空间的充要条件是 有有由向量由向量 张成的子空间张成的子空间W 也可记为也可记为第25页，共56
19、页，编辑于2022年，星期日定理定理1.4.41.4.4设与是线性空间设与是线性空间 的的两组向量，则两组向量，则注注定理定理1.4.51.4.5 设设 是线性空间是线性空间的两个子空间，则的两个子空间，则 也是也是的子空间。的子空间。第26页，共56页，编辑于2022年，星期日定义定义1.4.21.4.2 设是线性空间设是线性空间的两个子空间，定义的两个子空间，定义与与 的的和和为：为：定理定理1.4.61.4.6 设是线性空间设是线性空间V 的两个子空间，则的两个子空间，则 也是也是V 的子空间。的子空间。一般地，可定义多个子空间的交与和一般地，可定义多个子空间的交与和则则 和都是和都是的
20、子空间。的子空间。第27页，共56页，编辑于2022年，星期日例例1.4.21.4.2在例在例1.4.11.4.1中，求的维数和基。中，求的维数和基。例例1.4.11.4.1设设 ，其中，其中求的维数和一组基。求的维数和一组基。定理定理1.4.71.4.7如果和是线性空间如果和是线性空间V 的两个有限维子空的两个有限维子空间，则间，则第28页，共56页，编辑于2022年，星期日 定义定义1.4.31.4.3 设设 是线性空间是线性空间V 的两个子空间，如果的两个子空间，如果 ，其分解式，其分解式唯一，则称唯一，则称 是是 和和 的直和，记为的直和，记为定理定理1.4.81.4.8 设设U是有限
21、维线性空间是有限维线性空间V 的一个子空间，则存的一个子空间，则存在在V 的一个子空间的一个子空间W，使使第29页，共56页，编辑于2022年，星期日定理定理1.4.91.4.9 设设 是线性空间是线性空间V 的两个子空间，则以下的两个子空间，则以下结论等价：结论等价：(1)(1)是直和；是直和；(3)(3)(4)(4)(2)(2)中零向量的表法唯一，即若存在中零向量的表法唯一，即若存在使使第30页，共56页，编辑于2022年，星期日 定义定义1.4.41.4.4 设设 是线性空间是线性空间V 的的 s 个子空间，个子空间，如果如果 ，其分解式，其分解式唯一，则称和唯一，则称和 为直和，记为为
22、直和，记为第31页，共56页，编辑于2022年，星期日定理定理1.4.101.4.10 设设 是线性空间是线性空间V 的的 s 个子空间，个子空间，则以下结论等价：则以下结论等价：(3)(3)(4)(4)(1)(1)和和 是直和；是直和；(2)(2)和和 零向量的表法唯一；零向量的表法唯一；第32页，共56页，编辑于2022年，星期日1.5 线性空间的同构线性空间的同构注注同构具有自反性、对称性和传递性。同构具有自反性、对称性和传递性。定义定义1.5.11.5.1设设V 与与 都是数域都是数域 P 上的线性空间，如果上的线性空间，如果存在存在V 到到 的双映射的双映射 满足满足其中其中,是是V
23、中任意向量，中任意向量，k 是数域是数域 P 中任意数，则称中任意数，则称 为为V 到到 的的同构映射同构映射，并且称，并且称V 与与 是是同构同构。第33页，共56页，编辑于2022年，星期日 定理定理1.5.11.5.1 设设V 与与 是数域是数域 P 上同构的线性空间，上同构的线性空间，为为 V 到到 的同构映射，则的同构映射，则第34页，共56页，编辑于2022年，星期日定理定理1.5.21.5.2数域数域 P上的两个有限维线性空间上的两个有限维线性空间V 与与 同同构的充分必要条件是它们的维数相同。构的充分必要条件是它们的维数相同。例例1.5.11.5.1设设 是数域是数域 P 上上
24、 n 维线性空间维线性空间 的一的一组基，定义映射组基，定义映射 P 如下：如下：其中是向量在基下的坐标，则是其中是向量在基下的坐标，则是 到到 P 的同构映射。的同构映射。第35页，共56页，编辑于2022年，星期日定义定义1.6.11.6.1设设V 是数域是数域P上的线性空间，如果存在上的线性空间，如果存在V 到到P一个一个代数运算代数运算(,)，它满足条件：，它满足条件：1.6 内内 积积 空空 间间其中其中 ，则称，则称V 是一个是一个内积空间内积空间，称，称(,)为为与与的的内积内积。如果。如果P，则称，则称V 为为Euclid空间空间；如果；如果 P，则称则称V 为为酉空间酉空间。
25、第36页，共56页，编辑于2022年，星期日在内积空间中，成立以下性质：在内积空间中，成立以下性质：内积空间的例子：内积空间的例子：第37页，共56页，编辑于2022年，星期日方阵的迹具有以下性质：方阵的迹具有以下性质：第38页，共56页，编辑于2022年，星期日的的共轭转置矩阵共轭转置矩阵。矩阵的共轭转置具有下列性质：矩阵的共轭转置具有下列性质：第39页，共56页，编辑于2022年，星期日定义定义1.6.21.6.2设设V 是内积空间，是内积空间，V 中向量中向量的的长度长度定义为定义为 ，长度为，长度为1的向量称为的向量称为单位向量单位向量。例例1.6.11.6.1第40页，共56页，编辑
26、于2022年，星期日定理定理1.6.11.6.1设设V 是数域是数域 P 上的内积空间，则向量长度上的内积空间，则向量长度具有如下性质：具有如下性质：第41页，共56页，编辑于2022年，星期日 不等式不等式 称为称为Cauchy不等式不等式。第42页，共56页，编辑于2022年，星期日定义定义1.6.31.6.3设设V 是内积空间，是内积空间，V 中向量中向量与与之间的之间的距距离离定义为定义为 距离满足如下三个基本条件：距离满足如下三个基本条件：定义定义1.6.41.6.4 设设,是欧氏空间是欧氏空间中两个非零向量，它们中两个非零向量，它们之间的之间的夹角夹角定义为定义为第43页，共56页
27、，编辑于2022年，星期日定义定义1.6.51.6.5 设设,是内积空间中两个向量，如果是内积空间中两个向量，如果(,)=0(,)=0，则称，则称与与正交正交，记为，记为 。如果如果与与正交，则有如下正交，则有如下“勾股定理勾股定理”定理定理1.6.1.6.设设 是内积空间是内积空间V 中的一组向量中的一组向量,则则 线性无关的充分必要条件是线性无关的充分必要条件是Gram矩阵矩阵非奇异。非奇异。第44页，共56页，编辑于2022年，星期日定义定义1.6.61.6.6 设设 ，如果，如果 ，则称，则称 A 为为Hermite矩阵矩阵；如果；如果 ，则称，则称 A 为为反反Hermite矩阵矩阵
28、。根据推论根据推论1.6.11.6.1，是，是 m 阶阶Hermite矩阵。矩阵。推论推论1.6.11.6.1 设设 是内积空间是内积空间V 中一组向量，中一组向量，则则设设V 是是n 维内积空间，维内积空间，是是V 的一组基，称矩阵的一组基，称矩阵 是基是基 的的度量矩阵度量矩阵。第45页，共56页，编辑于2022年，星期日设是基设是基 的度量矩阵，则的度量矩阵，则定理定理1.6.3 1.6.3 设设 与与 是内积空间是内积空间V 的两组基，它们的度量矩阵分别为的两组基，它们的度量矩阵分别为 A 和和B，并且基，并且基 到基的过渡矩阵为到基的过渡矩阵为P，则，则第46页，共56页，编辑于20
29、22年，星期日定义定义1.6.71.6.7 设设 ，如果存在，如果存在n 阶非奇异矩阵阶非奇异矩阵P，使得使得 ，则称，则称A 与与B 相合相合。定义定义1.6.81.6.8设设 都是内积空间都是内积空间V 中的非零向量，中的非零向量，如果如果则称则称 是是正交向量组正交向量组；如果正交向量组中的每一个；如果正交向量组中的每一个向量都是单位向量，则称该向量组是向量都是单位向量，则称该向量组是标准正交向量组标准正交向量组。定理定理1.6.41.6.4设设 是内积空间是内积空间V 中的正交向量中的正交向量组，则组，则 线性无关。线性无关。第47页，共56页，编辑于2022年，星期日定理定理1.6.
30、51.6.5设设 是内积空间是内积空间V 中的线性无关向中的线性无关向量组，则存在标准正交向量组量组，则存在标准正交向量组 使得与使得与等价。等价。注注1 1设设 是内积空间是内积空间V 中的线性无关向量组，中的线性无关向量组，则存在标准正交向量组则存在标准正交向量组 ，使得，使得因此因此 。第48页，共56页，编辑于2022年，星期日定理定理1.6.6 1.6.6 设设V 是是 n 维内积空间，则维内积空间，则V 的标准正交基一定存在，的标准正交基一定存在，且且V 的任意一组标准正交向量可扩充为的任意一组标准正交向量可扩充为V 的一组标准正交基的一组标准正交基 。定义定义1.6.91.6.9
31、 在在n 维内积空间中，由维内积空间中，由n 个正交向量组成的基称为个正交向量组成的基称为正交基正交基；由；由 n 个标准正交向量组成的基称为个标准正交向量组成的基称为标准正交基标准正交基。定理定理1.6.7 1.6.7 设设 是内积空间是内积空间V 的一组基，其度的一组基，其度量矩阵是量矩阵是A ，则，则A 一定与单位矩阵一定与单位矩阵相合。相合。第49页，共56页，编辑于2022年，星期日例例1.6.21.6.2将将 中的向量组中的向量组化为标准正交向量组。化为标准正交向量组。注注2 2 设设 是内积空间是内积空间V 的一组标准正交基，的一组标准正交基，则对则对V 中任意向量中任意向量有有
32、 第50页，共56页，编辑于2022年，星期日定理定理1.6.81.6.8 设设 是内积空间是内积空间V 中两个子空间中两个子空间,若若 与与 正交，则和正交，则和 是直和。是直和。定义定义1.6.101.6.10 设设 是内积空间是内积空间V 中两个子空间，向中两个子空间，向量量 ，（1 1）如果）如果 有有 ，则称，则称与子空间与子空间 正正交交，记为，记为 ；（2 2）如果）如果 ，都有，都有 ，则称子空，则称子空间间 与与 正交正交，记为记为 。第51页，共56页，编辑于2022年，星期日定义定义1.6.111.6.11 设设 是内积空间是内积空间V 中两个子空间，如果中两个子空间，如
33、果 与与 正交，则和正交，则和 称为称为 与与 的正交和，记为的正交和，记为 .定义定义1.6.121.6.12 设设 是内积空间是内积空间V 的一个子空间的一个子空间,V 中所中所有与有与 正交的向量所构成的集合称为正交的向量所构成的集合称为 的的正交补正交补,记为记为 ，即即 定理定理1.6.91.6.9 设设 是内积空间是内积空间V 的有限维子空间，的有限维子空间，是是V 的与的与 正交的子空间，则正交的子空间，则 的充分必要条件是的充分必要条件是 第52页，共56页，编辑于2022年，星期日定义定义1.6.131.6.13设设 是内积空间是内积空间V 的一个子空间的一个子空间,，如果有
34、如果有 使得使得 则称则称 是是 在在 上的上的正交（直交）投影正交（直交）投影。定理定理1.6.101.6.10（投影定理）（投影定理）设设 是内积空间是内积空间V 的有限维的有限维子空间，则任意向量子空间，则任意向量 在在 上的正交投影存在且唯一。上的正交投影存在且唯一。定义定义1.6.141.6.14设设 是内积空间是内积空间V 的一个非空子集，的一个非空子集，是给定的向量，如果存在是给定的向量，如果存在 满足等式满足等式 则称则称 为为 在在 上的上的最佳逼近最佳逼近。第53页，共56页，编辑于2022年，星期日定理定理1.6.11 设设 是内积空间是内积空间V 的一个子空间的一个子空
35、间,是是给定的向量，则给定的向量，则 为为 在在 上的最佳逼近的充分必上的最佳逼近的充分必要条件是要条件是 。定理定理1.6.12 设设 是内积空间是内积空间V 的一个的一个m 维子空间，则维子空间，则 V 中任一向量中任一向量 在在 上都有唯一的最佳逼近，并且上都有唯一的最佳逼近，并且 在在 上的最佳逼近是上的最佳逼近是 在在 上的正交投影。上的正交投影。第54页，共56页，编辑于2022年，星期日注注3 3在定理在定理1.6.131.6.13中，如果中，如果 线性无关，则线性无关，则在在 上的最佳逼近为上的最佳逼近为定理定理1.6.131.6.13 设设V 是内积空间，是内积空间，是是V
36、的子空间，是的子空间，是V 的任一向量，则向量的任一向量，则向量为在为在 上的最佳逼近的充要条件是上的最佳逼近的充要条件是 为方程为方程组组 的解，其中的解，其中第55页，共56页，编辑于2022年，星期日例例1.6.4 1.6.4 在在 上求一线性函数上求一线性函数 ，使，使 逼近逼近 时，最小。时，最小。例例1.6.31.6.3（最小二乘问题最小二乘问题）设某函数的测量数据如下：）设某函数的测量数据如下：其中其中 互异，试求一次数不超过互异，试求一次数不超过 m 的多项式的多项式 使得用拟合该函数时，平方和使得用拟合该函数时，平方和 最小。最小。第56页，共56页，编辑于2022年，星期日