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1、第九章导体和电介质中的静电场1本讲稿第一页，共三十五页1.导体的静电平衡导体的静电平衡(electrostaticequilibriumofconductor）静电平衡静电平衡导体内部和表面上任何一部分都没有宏观电荷运动，我们就说导导体内部和表面上任何一部分都没有宏观电荷运动，我们就说导体处于静电平衡状态。体处于静电平衡状态。导体静电平衡的条件导体静电平衡的条件 导体表面导体表面静电平衡导体的电势静电平衡导体的电势导体静电平衡时，导体上各点电导体静电平衡时，导体上各点电势相等，即导体是等势体，表面势相等，即导体是等势体，表面是等势面。是等势面。9-1 9-1 静电场中的导体静电场中的导体本讲稿
2、第二页，共三十五页由导体的静电平衡条件和静电场的基本由导体的静电平衡条件和静电场的基本 性质，可以得出导体上的电荷分布。性质，可以得出导体上的电荷分布。(1)静电平衡导体的内部处处不带电静电平衡导体的内部处处不带电证明：证明：在导体内任取体积元在导体内任取体积元由高斯定理由高斯定理体积元任取体积元任取2.2.导体上电荷的分布导体上电荷的分布导体中各处导体中各处 如果有空腔且空腔中无电荷如果有空腔且空腔中无电荷,可证明可证明电荷只分布在外表面。电荷只分布在外表面。如果有空腔且空腔中有电荷如果有空腔且空腔中有电荷,则则在内外表面都有电荷分布，内在内外表面都有电荷分布，内表面电荷与表面电荷与q等值异
3、号。等值异号。+q-本讲稿第三页，共三十五页（2）导体表面电荷面密度与导体表面曲率有关，）导体表面电荷面密度与导体表面曲率有关，对于孤立导体，曲率半径对于孤立导体，曲率半径r小处小处大，大，r大处大处小；小；证明：证明：设有两个半径不同的导体球设有两个半径不同的导体球，半径分别为，半径分别为a和和b，用一根长导线将两者相连，小球相当于导体的尖端，大球用一根长导线将两者相连，小球相当于导体的尖端，大球相当于曲率半径大的一端，相当于曲率半径大的一端，两球的电势（两者可看成孤立导体）两球的电势（两者可看成孤立导体）由于同一导体处处电势相等，由于同一导体处处电势相等，即曲率半径即曲率半径r小处小处大，
4、大，r大处大处小；小；两球所带的电荷面密度分别为两球所带的电荷面密度分别为、。则。则本讲稿第四页，共三十五页(3)导体表面附近的导体表面附近的与与的关系：的关系：；高斯：高斯：证明：证明：做一个圆柱面为高斯面做一个圆柱面为高斯面S，其中一个底面在导体内，一，其中一个底面在导体内，一个底面在导体外，两底面与导体表面非常接近，并且互相平行，个底面在导体外，两底面与导体表面非常接近，并且互相平行，侧面与导体表面相垂直。侧面与导体表面相垂直。又又本讲稿第五页，共三十五页导体表面附近的导体表面附近的与与的关系：的关系：；（4）尖端放电）尖端放电（pointdischarge）在导体的尖端处在导体的尖端处
5、r很小，很小，很大，因此，很大，因此，E很大。强大很大。强大的的E使导体尖端附近的空气电离成导体而出现放电的现象。使导体尖端附近的空气电离成导体而出现放电的现象。对于孤立导体，曲率半径对于孤立导体，曲率半径r小处小处大，大，r大处大处小；小；导体空腔：导体空腔：若空腔内有若空腔内有q，则内表面带，则内表面带-q，外表面带外表面带q。（5）静电屏蔽）静电屏蔽（electrostaticshielding）若空腔内没有电荷，则内表面不带若空腔内没有电荷，则内表面不带电，电荷只分布在外表；电，电荷只分布在外表；静电屏蔽静电屏蔽a.用空腔将仪器、人屏蔽，使之不受用空腔将仪器、人屏蔽，使之不受腔外腔外q
6、的影响。的影响。b.将将q产生的产生的E屏蔽在空腔内，外界不受影响，屏蔽在空腔内，外界不受影响，空腔要接地。空腔要接地。本讲稿第六页，共三十五页例例1:两导体薄板彼此平行放置，导体各表面的面积均为两导体薄板彼此平行放置，导体各表面的面积均为S，带电量分，带电量分别为别为Q1、Q2。求电荷分布情况（设导体板可看作无限大平板）。求电荷分布情况（设导体板可看作无限大平板）。解：解：设导体四个表面上电荷密度分别为设导体四个表面上电荷密度分别为联合解得：联合解得：又又由导体内部电荷处处为零和无限大均匀由导体内部电荷处处为零和无限大均匀带电平板的电场分布得：带电平板的电场分布得：A、B两板内部的场强分别为
7、两板内部的场强分别为、。各自产生的场强分别为各自产生的场强分别为、。本讲稿第七页，共三十五页例例2：半径为半径为a的金属球导体的金属球导体A带电量带电量q，把一原来不带电的金，把一原来不带电的金属球壳属球壳B同心地罩在同心地罩在A的外面，的外面，B的内、外半径分别为的内、外半径分别为b和和c。求（求（1）A和和A、B间的电势；（间的电势；（2）用导线将）用导线将a、b相联又如何相联又如何？解：解：（1）由于静电感应，）由于静电感应，B的内表面带的内表面带-q，外表带，外表带q。由导体的由导体的静电平衡条件得静电平衡条件得导体导体A、B内的场强为内的场强为0。设四个区域的场强分别为设四个区域的场
8、强分别为、。在导体在导体A、B之间，作半径为之间，作半径为r高斯面高斯面S，则，则同理，在导体同理，在导体B之外区域之外区域本讲稿第八页，共三十五页求导体球求导体球A中中的电势的电势（在（在A中中任找一点任找一点P，距球心为，距球心为r）；）；也可以看成是三个均匀带电球面上的电荷，在各自也可以看成是三个均匀带电球面上的电荷，在各自球面内球面内所产生的电所产生的电势之和。势之和。本讲稿第九页，共三十五页导体球导体球A与与B之之间一点（到球心为间一点（到球心为r，arb）的电势）的电势也可以看成是三个均匀带电球面上的电荷，各自在场点所产生的电势之也可以看成是三个均匀带电球面上的电荷，各自在场点所产
9、生的电势之和。其中和。其中两个（两个（带电量为带电量为q、-q，半径分别为，半径分别为b和和c）的场点）的场点是在是在球面内球面内，一个（带电量为，一个（带电量为p）的场点是在）的场点是在球面外球面外。本讲稿第十页，共三十五页当用导线将当用导线将A、B相连，则相连，则A、B变成一个导体，变成一个导体，A为导体之内，为导体之内，电荷电荷q只分布在外表面，即只分布在外表面，即B的外表面上。的外表面上。(rc)（2）用导线将）用导线将a、b相联又如何？相联又如何？在在导体球导体球A与球壳与球壳B之之间任找一点间任找一点P，到球心为，到球心为r，arb。本讲稿第十一页，共三十五页9-2 9-2 有电介
10、质时的静电场问题有电介质时的静电场问题1电介质和电介质的极化电介质和电介质的极化（1）电介质）电介质其内部没有自由运动的电荷，在静电场中可以认为电介质即绝缘其内部没有自由运动的电荷，在静电场中可以认为电介质即绝缘体。体。根据其分子电结构，电介质分为两类：根据其分子电结构，电介质分为两类：无外场时（热运动）无外场时（热运动）整体对外整体对外不显电性不显电性(无极分子电介质无极分子电介质)(有极分子电介质有极分子电介质)本讲稿第十二页，共三十五页（2）电介质的极化）电介质的极化-+在外场作用下，电介质出现宏观电偶极矩的现象，叫极化在外场作用下，电介质出现宏观电偶极矩的现象，叫极化(polariza
11、tion)。(分子分子)位移极化位移极化(分子分子)取取向极化向极化束缚电荷束缚电荷束缚电荷束缚电荷 无极分子电无极分子电介质介质 有极分子有极分子电介质电介质本讲稿第十三页，共三十五页2电介质极化的规律电介质极化的规律（1）电极化强度矢量）电极化强度矢量单位体积内分子电矩的矢量和称为单位体积内分子电矩的矢量和称为电极电极化强度矢量化强度矢量。电极化强度矢量是描述电介质电极化强度矢量是描述电介质被极化程度被极化程度的物理量。单位是的物理量。单位是C/m2未极化时未极化时，对各向同性介质，实验表明，当电场不太强时，极化对各向同性介质，实验表明，当电场不太强时，极化强度与场强成正比。强度与场强成正
12、比。其中，其中，V是宏观小、微观大的体积。是宏观小、微观大的体积。本讲稿第十四页，共三十五页（2）电介质极化的规律）电介质极化的规律电介质在外场作用下极化，有：电介质在外场作用下极化，有：实验发现，实验发现，E不太强时，不太强时，在各向同性介质在各向同性介质内内有：有：其中其中称为介质的电极化率称为介质的电极化率(polarizability)称为相对介电常数称为相对介电常数(relativepermittivity），与介质性质有关。与介质性质有关。物质物质水水78云母云母3.77.5玻璃玻璃510空气空气1物质物质纸纸3.5真空真空1钛酸钡钛酸钡本讲稿第十五页，共三十五页3.极化电荷面密度
13、极化电荷面密度对于一块均匀极化的电介质，沿对于一块均匀极化的电介质，沿方向取一小体元，体方向取一小体元，体积为积为按电极化强度的定义，小体元中的分子偶极矩按电极化强度的定义，小体元中的分子偶极矩若将小体元看成一电偶矩，电偶若将小体元看成一电偶矩，电偶矩大小为矩大小为两者相等，即：两者相等，即：单位表面积的极化电荷称为单位表面积的极化电荷称为极化电荷面密度极化电荷面密度。本讲稿第十六页，共三十五页例如，例如，极化电荷均匀分布极化电荷均匀分布极化电荷非均匀分布极化电荷非均匀分布Pr本讲稿第十七页，共三十五页9-3 9-3 有电介质时的高斯定理有电介质时的高斯定理1有电介质时高斯定理有电介质时高斯定
14、理作高斯面如图，由高斯定理：作高斯面如图，由高斯定理：同样对此高斯面，求同样对此高斯面，求通量：通量：设两个无限大带电导体板，其间充满均匀电介质。设两个无限大带电导体板，其间充满均匀电介质。带电导体板的电荷面密度为带电导体板的电荷面密度为，介质被均匀极化，介质被均匀极化，极化强度为极化强度为，极化电荷面密度为，极化电荷面密度为本讲稿第十八页，共三十五页或或令令由此两式得：由此两式得：得得其中其中称为称为电位移矢量电位移矢量（electricdisplacement）。这是这是有电介质存在时的高斯定理有电介质存在时的高斯定理。它表明，。它表明，静电场中通过任一闭合静电场中通过任一闭合曲面的电位移
15、通量，等于该曲面所包围的自由电荷的代数和。曲面的电位移通量，等于该曲面所包围的自由电荷的代数和。对各向同性介质对各向同性介质称介质的称介质的介电常数（电容率）介电常数（电容率）（permittivity）本讲稿第十九页，共三十五页2.有介质存在情况下场强的计算有介质存在情况下场强的计算例例1：两平行导体板间充满一均匀电介质两平行导体板间充满一均匀电介质，介电常数为，介电常数为，两导体板所带电荷分别为两导体板所带电荷分别为，板面积为，板面积为S。求介质中的。求介质中的、。解：解：下底面下底面上底面上底面作高斯面作高斯面如图，由如图，由有电介质存在时的高斯定理有电介质存在时的高斯定理。极化强度：极
16、化强度：极化电荷面密度：极化电荷面密度：本讲稿第二十页，共三十五页例例2：一半径为一半径为a的导体球，带电为的导体球，带电为q，在它的外面放一同心介质球壳，在它的外面放一同心介质球壳，相对介电常数为相对介电常数为，内外半径分别为，内外半径分别为a和和b，介质球壳外为真空。求：，介质球壳外为真空。求：（1）电场分布；（）电场分布；（2）导体球和电介质内的电势；（）导体球和电介质内的电势；（3）介质内、外表面）介质内、外表面的极化电荷。的极化电荷。解：解：（1）求）求E分布。分布。由由高斯定理：高斯定理：（rb)时，时，(arb)时，时，本讲稿第二十一页，共三十五页（2）求电势）求电势电介质内（到
17、球心的距离为电介质内（到球心的距离为r）的电势）的电势导体球内（到球心的距离为导体球内（到球心的距离为r）的电势）的电势本讲稿第二十二页，共三十五页（3）介质内、外表面的极化电荷。）介质内、外表面的极化电荷。介质中的场强介质中的场强内表面的极化电荷面密度：内表面的极化电荷面密度：外表面的极化电荷面密度：外表面的极化电荷面密度：(arb)本讲稿第二十三页，共三十五页例例3：两个无限长直导体圆筒，半径分别为两个无限长直导体圆筒，半径分别为a和和b，同轴放置。它们之间，同轴放置。它们之间充满相对介电常数为充满相对介电常数为的均匀电介质。内、外圆筒均匀带电，单位长度带的均匀电介质。内、外圆筒均匀带电，
18、单位长度带电分别为电分别为、。求电介质中的。求电介质中的D、E、P及其内外表面的及其内外表面的。解：解：作圆柱面作圆柱面S为高斯面为高斯面本讲稿第二十四页，共三十五页9-4 9-4 电容器的电容电容器的电容(TheCapacitanceofCapacitors)1.孤立导体的的电容孤立导体的的电容例：例：一个孤立导体球，半径为一个孤立导体球，半径为R。它的电容为：。它的电容为：一个带电量为一个带电量为q的孤立导体，在静电平衡时，理论和实验都表的孤立导体，在静电平衡时，理论和实验都表明，它的电势明，它的电势V与与q成正比。这说明成正比。这说明,q与与V的比值的比值既与既与q无关无关,也与也与V无
19、关，只与导体的大小和形无关，只与导体的大小和形状有关，此式被定义为孤立导体的电容。状有关，此式被定义为孤立导体的电容。电容的单位为法拉电容的单位为法拉(Farad)，简称法，简称法(F)，也用微法，也用微法(F)，皮法，皮法(pF)等更小的单位。等更小的单位。本讲稿第二十五页，共三十五页通常，由彼此绝缘相距很近的两导体构成电容器。通常，由彼此绝缘相距很近的两导体构成电容器。极板极板极板极板+Q-Q V使两导体极板带电使两导体极板带电两导体极板的电势差两导体极板的电势差2.电容器的电容电容器的电容电容器的电容电容器的电容电容器电容的大小取决于极板的形状、大小、相对位置以及极板间电容器电容的大小取
20、决于极板的形状、大小、相对位置以及极板间介质。介质。本讲稿第二十六页，共三十五页例例1：平行板电容器。平行板电容器是由两块靠得很近的金属板组成，平行板电容器。平行板电容器是由两块靠得很近的金属板组成，极板的面积为极板的面积为S，极板间距为，极板间距为d，两导体板之间是真空，求其电容。，两导体板之间是真空，求其电容。（可以将板看成无限大，板间场强是均匀的）（可以将板看成无限大，板间场强是均匀的）解：解：（1）令两导体板带电）令两导体板带电q、q，（2）求极板间的场强：）求极板间的场强：极板上的电荷面密度为：极板上的电荷面密度为：（3）求极板间的电势差：）求极板间的电势差：本讲稿第二十七页，共三十
21、五页例例2：球形电容器球形电容器由两个同心导体球壳组成，半径分别为由两个同心导体球壳组成，半径分别为a和和b，两个导体球壳之间为真空。求其电容。（两个导体球壳很薄，可忽，两个导体球壳之间为真空。求其电容。（两个导体球壳很薄，可忽路其厚度）路其厚度）解：解：（1）令两导体球壳带电）令两导体球壳带电q、q，（2）求极板间的场强：）求极板间的场强：（3）求极板间的电势差：）求极板间的电势差：本讲稿第二十八页，共三十五页3.电介质对电容器的的影响电介质对电容器的的影响（1）可以使电容）可以使电容C增加；增加；（2）极板间其间充满均匀的电介质可以）极板间其间充满均匀的电介质可以增加电容器的耐压能增加电容
22、器的耐压能力（与空气相比）。力（与空气相比）。物质物质真空真空空气空气云母云母玻璃玻璃纸纸钛酸钡钛酸钡113.77.55103.5物质物质空气空气云母云母玻璃玻璃纸纸钛酸钡钛酸钡介电强度介电强度3802005131640（KV/mm）其中其中是电容器极板间为真空时的电容。是电容器极板间为真空时的电容。本讲稿第二十九页，共三十五页2.5厘米厘米高压电容器高压电容器(20kV 521 F)(提高功率因数提高功率因数)聚丙烯电容器聚丙烯电容器(单相电机起动和连续运转单相电机起动和连续运转)陶瓷电容器陶瓷电容器(20000V1000pF)涤纶电容涤纶电容(250V0.47F)电解电容器电解电容器(16
23、0V470 F)12厘米厘米2.5厘米厘米70厘米厘米本讲稿第三十页，共三十五页4.电容器的并联、串联电容器的并联、串联（1）电容器的并联）电容器的并联并联等效电容器的电容等于每个电容的电容之和。并联等效电容器的电容等于每个电容的电容之和。（2）电容器的串联）电容器的串联串联等效电容器的电容的倒数串联等效电容器的电容的倒数等于每个电容的电容的倒数之等于每个电容的电容的倒数之和。和。本讲稿第三十一页，共三十五页9-5 9-5 静电场的能量静电场的能量(EnergyofElectrostaticField)我们可以根据电容器放电的整个过程中，电场力作了多少功来得我们可以根据电容器放电的整个过程中，
24、电场力作了多少功来得出电容器所具有的能量。出电容器所具有的能量。设放电过程中某时刻，两极板带电设放电过程中某时刻，两极板带电量为量为+q、-q，两极板间电压为两极板间电压为V，现在考虑一微小放电过程现在考虑一微小放电过程qq+dq（dq0）电量（电量（-dq）在电场力作用下沿导线从正极板经过灯泡与负极板的）在电场力作用下沿导线从正极板经过灯泡与负极板的负电荷中和，电场力的功为负电荷中和，电场力的功为本讲稿第三十二页，共三十五页这也就是电容器的能量这也就是电容器的能量,用用We表示表示它本质上说，是电场力作的功它本质上说，是电场力作的功,所以是电场的能量所以是电场的能量.也就是说也就是说电容电容
25、器的能量是储藏在电容器的电场中的器的能量是储藏在电容器的电场中的.电场越强，电场的能量也越大。那么电场越强，电场的能量也越大。那么We与与E是什么关系？我们是什么关系？我们以平行板电容器为例以平行板电容器为例:本讲稿第三十三页，共三十五页引入引入电场的能量密度电场的能量密度（单位体积内的电场能量）（单位体积内的电场能量）:知道了电场分布知道了电场分布,就可以用下式求出整个电场的能量就可以用下式求出整个电场的能量:本讲稿第三十四页，共三十五页例：例：一个半径为一个半径为a，带电量为，带电量为q的导体球的静电能。的导体球的静电能。解：解：由高斯定律可求电场强度由高斯定律可求电场强度E为为电荷电荷q只分布在外表面，且外表电势处处相等。只分布在外表面，且外表电势处处相等。另解：另解：本讲稿第三十五页，共三十五页